2026年浙江省中考数学第21-23题硬软冲刺练习

**基本信息** 聚焦浙江中考21-23题，以“基础应用-探究拓展-实际建模”为逻辑链，融合统计、几何、函数核心题型，提炼可迁移解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与数据分析|1题|月增量/增长率计算、图表信息提取|从基础概念（增量定义）到综合应用（平均数、最值判断）| |几何探究|4题|构造全等（延长法）、旋转性质、菱形性质应用|等腰三角形性质→四边形/五边形延伸→动态几何（翻折/动点）| |函数综合|5题|二次函数参数求解、对称轴应用、韦达定理|解析式求解→性质探究（增减性、最值）→函数与几何综合| |实际应用建模|2题|坐标系建立、抛物线表达式求解|实际问题抽象为数学模型（喷水池、道闸）→函数关系构建|

浙江中考数学21-23题冲刺练答案 1. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下． 注：月增量＝当月的销售量一上月的销售量，月增长率100%，例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆，那么9月份销售的月增量为2.4﹣2＝0.4（万辆），月增长率为20%． （1）下列说法正确的是 　B　． A.2月份的销售量为0.4万辆 B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆 C.5月份的销售量最大 D.5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了多少万辆？ （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 【答案】（1）B；（2）1.3万辆；（3）不同意这种观点，理由见解． 【解】：（1）A．∵月增量＝当月的销售量一上月的销售量，不知道1月份的销售量， ∴无法得到2月份的销售量，故选项错误，不合题意； B．∵（0.4+0.2﹣0.2+0.5+0.4）÷5＝0.26， ∴2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆，故选项正确，符合题意； C．∵6月份的月增量为0.4＞0，∴5月份的销售量小于6月份的销售量， 即5月份的销售量不是最大，故选项错误，不合题意； D．因为不知道1月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率，则不能判断5月份销售的月增长率最大，故选项错误，不合题意；故选：B； （2）设1月份销售量为x可得：x+0.4+0.2﹣0.2+0.5+0.4＝x+1.3， ∴x+1.3﹣x＝1.3，∴增加了1.3万辆； （3）不同意这种观点，理由如下：月增长量为正，即当月销售量比上月增加，月增长量为负，即当月销售量比上月减少，3月份增长量为0.2＞0，即3月份相比2月份销售量增加，4月份增长量为﹣0.2＜0，即4月份相比3月份销售量减少，即销售量不是持续减少． 2. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　35°　；若∠B＝70°，则∠A＝ 　40°　． 【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由． 【答案】见下解答 【新知应用】解：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠A＝110°，∴∠B＝∠C（180°﹣110°）＝35°， 若∠B＝70°，则∠A＝180°﹣2×70°）＝40°，故答案为：35°，40°； 【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE， ∴∠ADC+∠ADE＝180°， ∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠AED， 在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB＝∠D，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠D，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD； 【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下：如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF， ∴∠AED+∠AEF＝180°， ∵∠B+∠AED＝180°，∴∠B＝∠AEF， ∵AB＝AE，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC＝AF，∠ACB＝∠F， ∵BC+DE＝CD，BC＝EF，∴CD＝FD， 在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ACD＝∠F， ∴∠ACD＝∠ACB，∴AC平分∠BCD． 3. 已知，在平面直角坐标系中，有二次函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）的图象． （1）若该图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式； （2）（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两个不同点． ①若x1+x2＝4时，有y1＝y2，求a的值；②当x1＞x2≥﹣3时，恒有y1＞y2，试求a的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；（2）①a；②0＜a． 【解】：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，解得a＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x； （2）①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x， ∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2， ∴（x1+x2）＝2，∴a； ②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x， ∵x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2， 当a＞0，3时，0＜a；∴0＜a； 当a＜0时，不符合题意舍去；∴0＜a． 4. 如图，是由小正方形组成的网格，的三个顶点、、都在格点上．在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1中作的中线； （2）在图2中作的高线； （3）在图3中边上确定点，使得． 【答案】 见解析 【解析】解：如图： 5. 如图①所示，在、两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程，与行驶时间之间的函数图象． （1）填空：的值为 　120　，的值为 　　，两地的距离为 　　． （2）请直接写出乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式． （3）请求出乙车到达地前，两车与车站的路程之和等于时行驶时间的值． 【答案】 （1）：120，1.5，480；（2）；；（3）； 【解析】解：（1）甲的速度， 的距离，， 乙车速度，， 答案：120，1.5，480； （2）设1.5小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式， ，解得：， 函数关系式为； 1.5小时之前的函数解析式； （3）时，，， ，两车与车站的路程之和等于． 6. 已知二次函数，为常数）的顶点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值差为5，则的值为　　． 【答案】 （1）：；（2）m=4；（3）； 【解析】解：（1）二次函数的顶点坐标为．， ； （2）将顶点平移后的坐标为：， 则，解得， 的值为4； （3）的对称轴为直线：，当时， 函数最大值为：，函数最小值为， ，即， 解得：，（舍去），； 当时，函数最大值为：，函数最小值为， ，不符合题意； 当时，函数最大值为：，函数最小值为， ，即， ，（两个都不符合题意，舍去）； 的值为： 7. 如图所示，一次函数y＝k1x+3（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A和点B，过A点作x轴的垂线，垂足为点C（﹣2，0），若△AOC的面积为4． （1）分别求出k1和k2的值； （2）求B点坐标； （3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集：　x＜﹣2或0＜x＜8　． 【分析】（1）根据点C坐标及△AOC的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题． （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点C坐标为（﹣2，0）， ∴OC＝2． ∵AC⊥x轴，且△AOC的面积为4， ∴， ∴AC＝4， ∴点A的坐标为（﹣2，4）． 将点A坐标代入y＝k1x+3得，； 将点A坐标代入y得，k2＝8． （2）由（1）知， 一次函数解析式为y，反比例函数解析式为y， 则， 解得x1＝﹣2，x2＝8， 经检验x1＝﹣2，x2＝8是原方程的解． 当x＝8时，y1， 所以点B的坐标为（8，﹣1）． （3）由函数图象可知， 当x＜﹣2或0＜x＜8时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜8． 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜8． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 8. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，点F为CD边上的动点． （1）E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，点D恰好落在BC边的中点G处， ①求DE的长； ②求tan∠GFC的值． （2）如图2，延长CD到M，使DM＝DF，连接BM与AF，BM与AF交于点N，连接DN，设DF＝x（x＞0），DN＝y，求y关于x的函数表达式；当点F从点D沿DC方向运动到点C时，直接写出点N运动路径的长． 【分析】（1）①连接AC，AG，证出△ABC为等边三角形，BC＝AB＝4，由折叠的性质及勾股定理可得出答案； ②过点G作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，设FG＝FD＝m，则FC＝2﹣m，FHm，利用含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； （2）延长DN交AB于点K，连接AC交DK于点P，连接BP交CD的延长线交于点Q，利用相似三角形的判定与性质得到AK＝BKAB＝1，；过点D作DL⊥AB交BA延长线于L，利用勾股定理求得线段KD，代入化简运算即可得到y关于x的函数表达式；利用相似三角形的判定与性质得到DQ＝CD，即点F与点C重合时，点N与点P重合，则点N运动路径的长为线段DP，利用解答即可得出结论． 【解答】解：（1）①连接AC，AG，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2． ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵BG＝GC， ∴AG⊥BC，BG＝GC＝1． ∴AG． ∵AD∥BC， ∴AG⊥AD． 由题意得：ED＝EG． 设EG＝ED＝x，则AE＝2﹣x， 在Rt△AEG中，∠GAE＝90°， ∴AG2+AE2＝EG2． ∴， ∴x． ∴DE； ②过点G作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图， ∵AB∥CD， ∴∠BCH＝∠B＝60°． ∴∠CGH＝30°， ∴CHCG，GH． 由题意得：FD＝FG， 设FG＝FD＝m，则FC＝2﹣m，FHm， 在Rt△FHG中，∠GHF＝90°， ∴GH2+FH2＝FG2， ∴， ∴m． ∴FH， ∴tan∠GFC； （2）延长DN交AB于点K，连接AC交DK于点P，连接BP交CD的延长线交于点Q，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB//CP， ∴△AKN∽△FDN，△BKN∽△MDN， ∴，， ∴． ∵DM＝DF， ∴AK＝BKAB＝1． ∴． 过点D作DL⊥AB交BA延长线于L， 在Rt△ALD中， ∵∠ALD＝90°，∠LAD＝60°，AD＝2， ∴ALAD＝1，DL． ∴KL＝AL+AK＝2． ∴KD， ∵DF＝x（x＞0），DN＝y， ∴， ∴y． ∵AB//CP， ∴△AKP∽△CDP，△BKP∽△QDP， ∴，， ∴， ∴DQ＝2BK＝AB， ∴DQ＝CD， ∵点F从点D沿DC方向运动到点C， ∴点F在点C处时，点N与点D重合，点F在点C处时，点N与点P重合， ∴点N运动路径的长为线段DP的长． ∵， ∴， ∴DP． ∴点N运动路径的长为． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解题的关键． 9. 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米 素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围． 【分析】任务1．易得左侧抛物线的顶点坐标为（﹣7，5）以及点A的坐标（﹣10，0）．用顶点式表示出所求的抛物线解析式，把点A的坐标代入即可求得二次函数的二次项系数，即可求得抛物线的解析式； 任务2．设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）．可设甲喷水头形成的抛物线解析式为：yx2+m．根据任务1中的抛物线解析式可得点M的坐标，进而可得FM的长度，根据GMFM，可得GM的长度，即可求得点G的坐标，代入所设的抛物线解析式，即可求得m的值，也就求出了OP的最高高度； 任务3．乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：（h，m+0.8）．用顶点式表示出乙喷水头喷出的抛物线的解析式，把点P的坐标代入可得h的值，进而根据OP喷出的水柱高度不低于5m，取顶点的纵坐标不低于5可得m的一个范围，进而根据水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．取点M的坐标代入所求的抛物线解析式可得m的值，即可求得m的取值范围，也就求得了喷水装置OP高度的变化范围． 【解答】解：任务1．如图以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系． ∵A、B之间的距离为20米， ∴点A的坐标为（﹣10，0）． ∵水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m， ∴左侧抛物线的顶点坐标为（﹣7，5）． ∴设左侧抛物线的解析式为：y＝a（x+7）2+5． ∴a（﹣10+7）2+5＝0． 解得：a． ∴左边抛物线的函数表达式为：y（x+7）2+5． 任务2．设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）． ∵甲喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同． ∴甲喷水头形成的抛物线解析式为：yx2+m． 由任务1得：左边抛物线的函数表达式为：y（x+7）2+5． 当y＝1.8时，1.8（x+7）2+5． 解得：x1＝﹣9.4（不合题意，舍去），x2＝﹣4.6． ∴点M的横坐标为：﹣4.6． ∵CD为12m， ∴OC＝6m． ∴FM＝6﹣|﹣4.6|＝1.4． ∵GMFM， ∴GM＝0.4． ∴点G的横坐标是﹣4.6+0.4＝﹣4.2． ∴点G的坐标是（﹣4.2，1.8）． ∴1.8（﹣4.2）2+m． 解得：m． ∴OP的最高高度为米． 任务3．如图，建立平面直角坐标系．以y轴左侧的抛物线为例． 设OP长m米，则点P的坐标为（0，m）． ∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8 m， ∴乙喷水头喷出的抛物线的顶点坐标可设为：（h，m+0.8）． ∵乙喷水头喷射与图2中形状相同的抛物线，并且两个抛物线的开口方向相同． ∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：y（x﹣h）2+m+0.8． 把点P的坐标代入得：m（0﹣h）2+m+0.8． 解得：h＝﹣1.2或h＝1.2（不合题意，舍去）． ∴乙喷水头形成的抛物线解析式为：y（x+1.2）2+m+0.8． ∵OP喷出的水柱高度不低于5m， ∴最高点（h，m+0.8）的纵坐标不低于5m． ∴m+0.8≥5． 解得：m． ∵水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． ∴取点M的坐标（﹣4.6，1.8）代入y（x+1.2）2+m+0.8． 1.8（﹣4.6+1.2）2+m+0.8． 解得：m． ∴m． ∴m． ∴喷水装置OP高度的变化范围为：OP． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的形状相同，且开口方向相同，则二次函数的二次项的系数相同． 10. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长． 【分析】（1）由AB∥CD，得∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，而DE＝FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD＝AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形； （2）由BC＝6CE＝12，得CE＝2，由平行四边形的性质得AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，所以AC＝4，由勾股定理求得AB4，则BF＝AB﹣AF＝2． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF， 在△ECD和△EAF中， ， ∴△ECD≌△EAF（AAS）， ∴CD＝AF， ∵CD∥AF，CD＝AF， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵BC＝6CE＝12， ∴CE＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴AE＝CE＝2，AF＝CD＝2， ∴AC＝2AE＝4， ∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， ∴AB4， ∴BF＝AB﹣AF＝422， ∴BF的长是2． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ECD≌△EAF是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案； ②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分两种情况，利用t﹣2≤x1≤t+1，x2＝1﹣t，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）； （2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的对称轴为x＝t， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵t﹣2≤x1≤t+1， ∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t， ∵y1的最小值是﹣2， ∴t＝2， ∴x2＝1﹣t＝﹣1，抛物线表达式为y＝x2﹣4x+2， ∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7； ②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上， ∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t， ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0， ∴或， Ⅰ、当时， ∵x2﹣x1＞0， ∴x2＞x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≥t+1， ∴t≤0， ∵x2+x2t＞0， ∴x2+x1＞2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≤﹣1， ∴t， 即t； Ⅱ、当时， 由x2﹣x1＜0得：x2＜x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≤t﹣2， ∴t， 由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≥2， ∴t≥1， 即t； 即满足条件的t的取值范围为t或t． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 12. 在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究． 【特例分析】 （1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值为 　1　，∠MCN的度数为 　60°　； 【变形探究】 （2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，求得∠BAM＝120°，根据旋转的性质得到MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°，推出△BMN是等边三角形，得到BM＝BN，∠MBN＝60°，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，求得∠BAM＝90°，根据旋转的性质得到BM＝MN，∠BMN＝90°，求得∠MBN＝∠MNB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠MAB＝∠BCN，；求得∠MCN＝45°； （3）过A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BHAB＝4，求得BC＝8，根据旋转的性质得到BM＝MN，∠BMN＝120°，求得∠MBN＝∠MNB＝30°，根据相似三角形的性质得到，∠BAM＝∠BCN＝60°，过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E，设AMx，CN＝3x，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAM＝120°， ∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数， ∴MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM＝BN，∠MBN＝60°， ∴∠ABM＝∠CBN， ∴△ABM≌△CBN（SAS）， ∴AM＝CN，∠BAM＝∠BCN＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠MCN＝120°﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°； ∴1， 故答案为：1，60°； （2）变化，，∠MCN＝45°； 理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAM＝90°， ∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数， ∴BM＝MN，∠BMN＝90°， ∴∠MBN＝∠MNB＝45°， ∴∠ABM＝∠CBN， ∵， ∴△ABM∽△CBN， ∴∠MAB＝∠BCN，； ∴∠MCN＝45°； （3）过A作AH⊥BC于H， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝8， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BHAB＝4， ∴BC＝8， ∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数， ∴BM＝MN，∠BMN＝120°， ∴∠MBN＝∠MNB＝30°， ∵BM＝7， 同理得BN＝7， ∴∠MBN＝∠ABC∠BMN＝∠BAC， ∴∠MBA＝∠CBN， ∴△MBN∽△ABC， ∴， ∴△ABM∽△CBN， ∴，∠BAM＝∠BCN＝60°， 过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E， 设AMx，CN＝3x， ∵∠MAB＝60°， ∴AFx，FMAMxx， ∴BF＝8x， ∵BF2+FM2＝BM2， ∴（8x）2+（x）2＝72， 解得x或x， ∴CN＝3或5， ∵∠ACB＝30°，∠BCN＝60°， ∴∠ACN＝30°， 当CN＝3时，EN， 当CN＝5时，EN， ∴点N到AC的距离为或． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 13. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E， （1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长． （2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD． （3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值． 【答案】（1）8；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出，，求出，即可得出结果； （2）证明，得出，证出，由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）连接，证明，得出，和的面积相等，得出S1﹣S2=S△CGE，，由勾股定理得出AE==4，设，则，由勾股定理得出方程，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE=30°， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴菱形的周长=2×4=8； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴∠=∠，， ∵，， ∴∠=∠=90°， 在和中，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∥； （3）解：连接CG，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，和的面积相等， ∴S1﹣S2=S△CGE， ， ∵， ∴=4， 设，则， ∵， ∴2+2=2，即：x2+42=(4﹣x)2， 解得：x=，即EG=， ∴S1﹣S2=S△CGE=CE•EG=×4×=． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14. 数学实验 生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？ 小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示，，，角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：    (1)如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形画出来，并分别作边，的延长线，．小聪发现：①四边形是菱形；②．请证明这两个结论． (2)小聪发现，在（1）的基础上，表示，，，角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当时，，则有，因此表示角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：，，）． (3)在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角的直角边的长度m；第二步，计算出的值，这个值恰好是的正切值，即；第三步，利用计算器算出的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)见解析 (2)约为 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查菱形的判定，解直角三角形的应用． （1）由题易得四边形是平行四边形，再根据面积相等证明，即可证明菱形，根据对顶角相等和菱形的对角线平分对角即可证明； （2）根据计算即可； （3）根据计算即可． 【详解】（1）由题意可知四边形是平行四边形， 因为，两张纸条一样宽，所以两组对边间的距离不变， 所以，根据面积不变的原理可以得到， 所以，四边形是菱形． 因为（对顶角相等）， 又因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以表示角的位置与点的距离约为． （3）因为， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 15. 如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． (1)求证：ABF≌BCE； (2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）用同角的余角相等判断出，再利用AAS定理判定三角形全等； （2）先证出，进而得出PD是CG的垂直平分线，即可得出结论； （3）先证出，进而得到，得出，再证明，得出，再判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵BF⊥CE， ∴∠CGB＝90°， ∴∠GCB＋∠CBG＝90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB， ∴∠FBA＋∠CBG＝90， ∴∠GCB＝∠FBA． 在和中， ， ∴； （2）证明：如下图，过点D作DH⊥CE于H， 设AB＝CD＝BC＝2a， ∵点E是AB的中点， ∴， ∴， 在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB， ∴， ∴． ∵∠DCE＋∠BCE＝90°，∠CBF＋∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠CBF． ∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°， ∴△CQD≌△BGC（AAS）， ∴， ∴． ∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°， ∴△DGQ≌△CDQ（SAS）， ∴CD＝GD； （3）解：如下图，过点D作DH⊥CE于H， ， ∴， 在Rt△CHD中，CD＝2a， ∴． ∵∠MDH＋∠HDC＝90°，∠HCD＋∠HDC＝90°， ∴∠MDH＝∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴， ∴， 在Rt△CHG中，，， ∴． ∵∠MGH＋∠CGH＝90°，∠HCG＋∠CGH＝90°， ∴∠QGH＝∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段的中垂线定理，三角形的中位线定理，构造出相似三角形是解本题的关键． 16. 阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题： (1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键． （1）由题意根据正弦定理即可得到结论； （2）由题意得到，根据正弦定理即可得到结论； （3）先求出以及的长，根据正弦定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）解：如图： 由题意可知，，，海里，， ∴， ∴，即， ∴， ∴B处与灯塔的距离为海里， 故答案为：． （3）解：如图： 由题可知，海里，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，海里， 海里， 在中， 海里， ∴海里， 由前面定理可知：， 则， ∴， ∴的正弦值． 17. 如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D， (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据圆心角与弧之间的关系得出即可； （2）连接，证明，得出，即可证明； （3）连接，交于点H，证明，得出，求出，得出，根据为的中点，得出，求出，根据解析（2）求出，设的半径为r，根据勾股定理得出，求出，最后求出圆的周长即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∴， ∵E是弦中点， ∴， ∴． （2）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，交于点H，如图所示：    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 设的半径为r， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， 即的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂径定理，圆心角、弧之间的关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 18. 已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值； (3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，即可得抛物线解析式为：，问题得解； （2）由（1）可知，即有抛物线解析式为：，配成顶点式为：，可得新抛物线的顶点坐标为：，即，，则有，问题随之得解； （3）在上取一点E，使得，连接，，与抛物线对称轴交于点F，四边形是平行四边形，即有，，结合图形可知：，当且仅当E、N、D三点共线时取等号，即当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，即点N与点F重合，利用待定系数法求出直线的解析式为：，即，则有，问题随之得解． 【详解】（1）根据题意：当时，， ∵， ∴抛物线解析式为：， 配成顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）由（1）可知， ∴抛物线解析式为：， 配成顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线向右平移2个单位， ∴抛物线的顶点也向右平移2个单位， ∴新抛物线的顶点坐标为：， 即，， ∴， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，在上取一点E，使得，连接，，与抛物线对称轴交于点F， ∵M，N为抛物线对称轴上的两个动点， ∴轴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵结合图形可知：，当且仅当E、N、D三点共线时取等号， ∴当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为， 即点N与点F重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴F点横坐标为2， ∴当时，，即， ∵点N与点F重合， ∴， ∵抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N， ∴点为新抛物线的顶点， ∴新抛物线解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，平行四边形的判定与性质等知识，构造辅助线，得出当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，进而求出，是解答本题的关键． 19. （10分）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计． （1）求道闸升起的最大角的正切值； （2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【分析】（1）道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上，延长Q1R1交EF于点X，分别计算出ER1和R1X的值，利用勾股定理求得EX的值，即可求得最大角∠R1EN的正切值； （2）设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，画出相关图形，求得EB′的长，利用∠R1EN的正切值可得R1X的值，加上0.2即为可通过的汽车的最高高度，与1.8比较即可判断一个道闸升起能否通过． 【解答】解：（1）如图：道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上， 延长Q1R1交EF于点X，则∠R1XE＝90°， ∵FG＝EP＝1米，道闸升起过程中对边始终保持平行， ∴Q1R1＝1米， ∵AD＝3.6米，FH＝EW＝0.2米， ∴R1X＝3.6﹣1﹣0.2＝2.4米， ∵AB＝6.6米，AH＝BW＝0.3米， ∴ER13米， ∴EX1.8米， ∴tan∠R1EN． 答：道闸升起的最大角的正切值为； （2）需要同时升起两个道闸．理由如下： 设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，汽车应从如图位置进入． ∴B′N＝1.9米， 由（1）得：ER＝3米， ∴EB′＝3﹣1.9＝1.1米， ∵tan∠R1EN， ∴A′B′＝1.1米， ∴点A′到地面的距离为：0.2米， ∵1.8， ∴需要同时升起两个道闸． 20. （10分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线段AD与AC的比例中项，∠BAN＝∠CAM，AM、AN分别交BD于点E、F． （1）求证：； （2）若点O为BD边的中点，联结ON，且BD2＝2BN•BC，求证：ON∥AB． 【分析】（1）先证明△ABD∽△ACB，得到，∠ABD＝∠ACB，再根据∠BAN＝∠CAM，得出∠BAM＝∠CAN，得到△BAE∽△CAN，得出，从而得证； （2）根据BD2＝2BN•BC，O为BD中点，∠OBN是公共角，得到△BON∽△BCD，得出∠BON＝∠C，再根据△ABD∽△ACB，得出∠ABD＝∠C，得到∠BON＝∠ABD，从而得证ON∥AB． 【解答】证明：（1）∵AB是线段AD与AC的比例中项， ∴， ∵∠BAC是公共角， ∴△ABD∽△ACB， ∴，∠ABD＝∠ACB， ∵∠BAN＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAE∽△CAN， ∴， ∴， ∴； （2）∵BD2＝2BN•BC，O为BD中点， ∴BD2＝BN•BC＝BO•BD， ∵∠OBN是公共角， ∴△BON∽△BCD， ∴∠BON＝∠C， ∵△ABD∽△ACB， ∴∠ABD＝∠C， ∴∠BON＝∠ABD， ∴ON∥AB． 21. （12分）法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”． （1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立两个函数表达式得：kx+b，设方程的解为m，2m，则m+2m，m×2m，即可求解； （3）由新定义得到b＝2a+2，确定点P在对称轴的右侧，a＞0，则y随x增大而增大，即可求解． 【解答】解：（1）（x﹣2）（2x+k）＝0， 解得x＝2或， 由题意得：2×2或2＝2×（）， 解得：k＝﹣2或﹣8； （2）联立两个函数表达式得：kx+b，设方程的解为m，2m， 则m+2m，m×2m， 整理得：b2＝27k； （3）设的解为m，2m， 则m+2m，m×2m， 整理得：b＝2a+2， 则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx， 则抛物线的对称轴为直线x1， ∵（﹣1）0， 即点P在对称轴的右侧， ∵a＞0，则y随x增大而增大， 当x时，ymax＝a（）2+（2a+2）（）， 当x时，ymin＝a（）2+（2a+2）（）， ∵yp的最大值和最小值的差是3， 即a（）2+（2a+2）（）a（）2+（2a+2）（）3， 整理得：（4a﹣2）+2a+2＝3， 解得：a． 22. （10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得OF＝5m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，还测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度． 【分析】连接CD，由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，再根据垂直定义可得∠ABO＝∠DOE＝90°，然后证明A字模型相似△ABE∽△DOE，△ABF∽△COF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：连接CD， 由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF， ∴∠ABO＝∠DOE＝90°， ∵∠BEA＝∠OED， ∴△ABE∽△DOE， ∴， 即， ∴． ∵∠CFO＝∠AFB， ∴△ABF∽△COF， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：OB＝2， ∴ABOB+12+1（m）， ∴围墙AB的高度为m． 23. （10分）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式kx+6的解集． 【分析】（1）用含k代数式表示出A，B两点的坐标，然后根据OB＝2OA即可求出k，然后再将点C的横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入即可求出m； （2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点E的坐标，然后即可计算△BOE的面积； （3）根据点E和点C的横坐标，结合图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方时对应的x范围即可． 【解答】解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得， 故，B（0，6）， ∵OB＝2OA∴， ∴k＝2， ∴一次函数解析式为：y＝2x+6， ∵OD＝2， ∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10， 即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得， ∴m＝20， ∴反比例函数的解析式为：； 故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：． （2）将一次函数与反比例函数联立得， 解得或， 故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，； （3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10）， ∵， ∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2． 24. （12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． （1）求b的值； （2）当c＞﹣1时，求该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值； （3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，求a的取值范围． 【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值； （2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值； （3）当a＞0时，x＝﹣1，y＝﹣3a＜0；x＝3，y＝5a﹣4＞0；当a＜0时，x＝﹣1，y＝﹣3a＞0；x＝3，y＝5a﹣4＜0． 【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中， 得：， 两式相减得﹣4＝4b， ∴b＝﹣1； （2）把b＝﹣1代入1＝4a﹣2b+c得：1＝4a+2+c， ∴a， ∴顶点的纵坐标cc+11， ∵c＞﹣1， ∴c+1＞0， 下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b， ∵（）2＝a+b﹣20， ∴a+b≥2，当a＝b时取等号， ∴c+11＝21＝1， ∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1； （3）由题意得：am2﹣m+c＝0， 且c＝﹣1﹣4a， ∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0， Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2， 若﹣1＜m＜2， 则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下， ∴a＜0，且2， 解得a＜0， ∴a＜0， 若2＜m＜3， 则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上， ∴a＞0，且3， 解得a； ∴a＜0或a时满足题意． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江中考数学21-23题冲刺练 1. （本题8分）某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下． 注：月增量＝当月的销售量一上月的销售量，月增长率100%，例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为2.4万辆，那么9月份销售的月增量为2.4﹣2＝0.4（万辆），月增长率为20%． （1）下列说法正确的是 　B　． A.2月份的销售量为0.4万辆 B.2月份至6月份销售的月增量的平均数为0.26万辆 C.5月份的销售量最大 D.5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了多少万辆？ （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 2. （本题10分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　 °；若∠B＝70°，则∠A＝ 　 °． 【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由． 3. （本题10分）已知，在平面直角坐标系中，有二次函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）的图象． （1）若该图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式； （2）（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两个不同点． ①若x1+x2＝4时，有y1＝y2，求a的值；②当x1＞x2≥﹣3时，恒有y1＞y2，试求a的取值范围． 4. 如图，是由小正方形组成的网格，的三个顶点、、都在格点上．在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1中作的中线； （2）在图2中作的高线； （3）在图3中边上确定点，使得． 5. 如图①所示，在、两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程，与行驶时间之间的函数图象． （1）填空：的值为 　　，的值为 　　，两地的距离为 　　． （2）请直接写出乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式． （3）请求出乙车到达地前，两车与车站的路程之和等于时行驶时间的值． 6. 已知二次函数，为常数）的顶点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值差为5，则的值为　　． 7. 如图所示，一次函数y＝k1x+3（k1≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A和点B，过A点作x轴的垂线，垂足为点C（﹣2，0），若△AOC的面积为4． （1）分别求出k1和k2的值； （2）求B点坐标； （3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集：　 　． 8. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，点F为CD边上的动点． （1）E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，点D恰好落在BC边的中点G处， ①求DE的长； ②求tan∠GFC的值． （2）如图2，延长CD到M，使DM＝DF，连接BM与AF，BM与AF交于点N，连接DN，设DF＝x（x＞0），DN＝y，求y关于x的函数表达式；当点F从点D沿DC方向运动到点C时，直接写出点N运动路径的长． 9. 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m，高CF为1.8米 素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置OP（OP⊥CD），要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱（如图3），乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为0.8m（如图4）． 问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置（图3），为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，OP不能再升高，求此时OP的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置（图4），为了美观，要求OP喷出的水柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范围． 10. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长． 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 12. 在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究． 【特例分析】 （1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值为 　 　，∠MCN的度数为 　 　； 【变形探究】 （2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离． 13. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E， （1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长． （2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD． （3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值． 14. 数学实验 生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？ 小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示，，，角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：    (1)如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形画出来，并分别作边，的延长线，．小聪发现：①四边形是菱形；②．请证明这两个结论． (2)小聪发现，在（1）的基础上，表示，，，角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当时，，则有，因此表示角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据：，，）． (3)在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角的直角边的长度m；第二步，计算出的值，这个值恰好是的正切值，即；第三步，利用计算器算出的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．（参考数据：，，，，，）． 15. 如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． (1)求证：ABF≌BCE； (2)如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值． 16. 阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题： (1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 17. 如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D， (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长. 18. 已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值； (3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式． 19. （10分）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计． （1）求道闸升起的最大角的正切值； （2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 20. （10分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线段AD与AC的比例中项，∠BAN＝∠CAM，AM、AN分别交BD于点E、F． （1）求证： ； （2）若点O为BD边的中点，联结ON，且BD2＝2BN•BC，求证：ON∥AB． 21. （12分）法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”． （1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知 是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数 图象上一点，且 ，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值． 22. （10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得OF＝5m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，还测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度． 23. （10分）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式kx+6的解集． 24. （12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． （1）求b的值； （2）当c＞﹣1时，求该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值； （3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $