第17卷 指对数函数综合应用-考点训练卷 2027年四川省（对口招生）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 该专项卷聚焦指对数函数综合应用，以实际情境为载体，通过选择、填空、解答题系统考查指对数运算、函数性质及模型应用，体现用数学眼光观察现实世界、用数学思维解决实际问题的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|实际情境应用题（细胞分裂、衰减率等）|从指对数概念到实际模型应用| |填空|5题|指对数运算与函数关系题|运算规则到数量关系推导| |解答|6题|函数性质与综合应用题|性质探究到问题解决|

编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第17卷 指对数函数综合应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（   ） A．5 B．9 C．6 D．8 2．某机械零件的磨损量与使用时间（单位：月）满足函数关系.若该零件磨损量达到时需要更换，那么大约使用多少个月后需要更换零件（    ）. A． B． C． D． 3．如果一种放射性元素每年的衰减率是，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于（    ） A．lg B．lg C． D． 4．成都市某公司为了提高销售部业务水平，制订了一个激励销售人员的奖励方案.在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额（万元）与奖励金额（万元）之间函数关系为.若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（    ） A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1024万元 5．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间.对数运算对估算“天文数字”具有独特优势，已知，，则的估算值为（   ） A．1000 B．10000 C．2500 D．25000 6．在一个安静的图书馆环境中，噪音强度（单位：）与距离噪音源的距离（单位：米）的关系为.当噪音强度为时，距离噪音源大约多远（    ）.（参考数据：） A．10 米 B．50 米 C．100 米 D．1000 米 7．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 8．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B．8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C．3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D．8等星的亮度是3等星亮度的10倍 9．2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度、燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量之间M的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 10．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（    ）. A．24 B．26 C．8 D．16 11．研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 12．很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及这个数，请你估算大致所在的区间是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 13．某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（    ） （参考数据：，，） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 14．潮乡地区响应“绿水青山就是金山银山”号召，大力整治环境，加大绿化投入，已知绿化面积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图象大致为（    ） A．B．C．D． 15．生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（   ） 参考时间轴： A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________． 17．现有某种型号的玻璃，光线每通过一层光线强度都会降低，要使光线强度减弱为原来的，则至少要通过该型号玻璃的层数是_______. 18．在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______． 19．我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过_____天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍. 20．已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据： ） 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，燕子两岁时的飞行速度（单位：）可以用函数表示，表示燕子的耗氧量． (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当已知燕子的耗氧量是个单位时，它的飞行速度是多少？ 22．在25℃室温下，某种绿茶用85℃的水泡制，等待茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳的饮用口感．经过研究发现，茶水的温度从85℃开始，经过x（单位：min）后的温度为y（单位：min），且． (1)求常数k的值； (2)经过多次试验得出，求在25℃室温下，刚泡好的绿茶大约需要放置多长时间才能达到最佳的饮用口感？（结果精确到1min，参考数据：，） 23．已知函数． (1)求的定义域； (2)若的值恒为负数，求x的取值范围． 24．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存，每分钟后病毒所占内存是原来的倍．记分钟后的病毒所占内存为． (1)求关于的函数解析式； (2)如果病毒占据内存不超过时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长． 25．已知是定义在R上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围. 26．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)证明：在上为增函数； (3)若，求实数t的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第17卷 指对数函数综合应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（   ） A．5 B．9 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数函数的应用 【分析】根据指数增长模型，先计算分裂10天细胞的总数，再计算充满一半容器的时间. 【详解】根据题意可得，经过10天细胞数量为， ∴细胞充满容器一半时，细胞数量为， 令细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是，则，即天. 故选：B． 2．某机械零件的磨损量与使用时间（单位：月）满足函数关系.若该零件磨损量达到时需要更换，那么大约使用多少个月后需要更换零件（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数函数的应用 【分析】将代入函数的关系式，再根据指数的运算求解即可. 【详解】已知，当时，即，所以，则，解得. 故选：B. 3．如果一种放射性元素每年的衰减率是，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于（    ） A．lg B．lg C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数的应用、指数式与对数式的互化、指数函数的应用 【分析】根据对数运算的性质求解即可. 【详解】设akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t， 因为这种物质每年的衰减率是， 可得，即， 两边取对数，，即， ∴. 故选：C． 4．成都市某公司为了提高销售部业务水平，制订了一个激励销售人员的奖励方案.在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额（万元）与奖励金额（万元）之间函数关系为.若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（    ） A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1024万元 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用、求对数函数的解析式 【分析】根据题意结合对数函数的性质列出方程求解出销售额与奖励金额的函数关系式，再求解时，的取值即可. 【详解】由题意可得，即，解得，，所以， 若时，即，解得. 故选：B. 5．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间.对数运算对估算“天文数字”具有独特优势，已知，，则的估算值为（   ） A．1000 B．10000 C．2500 D．25000 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数运算性质可得答案. 【详解】令，则， 所以，所以的估算值为. 故选：B. 6．在一个安静的图书馆环境中，噪音强度（单位：）与距离噪音源的距离（单位：米）的关系为.当噪音强度为时，距离噪音源大约多远（    ）.（参考数据：） A．10 米 B．50 米 C．100 米 D．1000 米 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数函数的应用 【分析】将代入表达式再根据对数的运算求解即可. 【详解】已知，代入，得到. 移项得，即.解得. 故选： B. 7．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【知识点】指数函数的应用、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据平均增长率的函数模型可得结果. 【详解】解：设湖泊原来的蓝藻量为，依题意得 经过天后的蓝藻量则为 ， 所以经过天后的蓝藻量为. 即该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍. 故选：C 8．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B．8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C．3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D．8等星的亮度是3等星亮度的10倍 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】设3等星的亮度是x，8等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案. 【详解】设3等星的亮度是x，8等星亮度是y，则， 即3等星的亮度是8等星亮度的100倍. 故选：A 9．2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度、燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量之间M的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数的应用 【分析】将代入到函数关系式，再根据参考数据计算即可. 【详解】因为，当时，则. 所以. 故选：C. 10．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（    ）. A．24 B．26 C．8 D．16 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用、简单的指数方程、对数的运算性质的应用 【分析】依题意有= ，解得，得到，再令,求解得到的值，减去最初的即得所求． 【详解】依题意有= ，即 ， 两边取对数得 ， 当容器中只有开始时的八分之一，则有， 两边取对数得，所以再经过的时间为． 故选:． 11．研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依题意，列出关于的方程组，利用对数的运算性质，求出的值，即得函数的关系式，将代入，利用指对数互化计算即得答案. 【详解】依题意，， 解得，，则时，， 则焦耳. 故选：C. 12．很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”）都涉及这个数，请你估算大致所在的区间是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数与对数互化运算即可得出结论. 【详解】设，两边同时取常用对数得， . 故选：B. 13．某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（    ） （参考数据：，，） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据对数、指数的性质及运算规则，运用换底公式，结合已知函数解析式计算求解． 【详解】， 当时，，解得， ，解得， 此时汽车大约行驶了（公里），故B正确． 故选：B． 14．潮乡地区响应“绿水青山就是金山银山”号召，大力整治环境，加大绿化投入，已知绿化面积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、指数函数的应用、指数函数图像应用 【分析】先根据已知条件建立函数关系式，再根据函数的性质判断其图象. 【详解】设原绿化面积为，因为绿化面积每年平均比上一年增长，即. 经过1年，绿化面积为； 经过2年，绿化面积为； 以此类推，经过年，绿化面积为. 已知经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则. 所以为指数函数，且，所以根据指数函数的图像可知，函数过点，且在上单调递增. 所以函数大体如图；故选：D. 15．生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期，若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（   ） 参考时间轴： A．战国 B．汉朝 C．唐朝 D．宋朝 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】由半衰期为5730年，可得，再由，求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得当时，，即，解得， 所以， 由，可得，所以，解得， 又，可推断该文物属于唐朝. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________． 【答案】 1 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【解析】根据幂的运算性质可知，，即可求出的值； 用对数式表示出和，根据对数运算性质和换底公式即可求出． 【详解】因为，所以，即，， 故． 故答案为：；1． 17．现有某种型号的玻璃，光线每通过一层光线强度都会降低，要使光线强度减弱为原来的，则至少要通过该型号玻璃的层数是_______. 【答案】16 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数函数的应用 【分析】利用函数模型，结合不等关系，即可求解. 【详解】设至少要通过层该型号玻璃，则，即， 而，即. 所以至少要通过16层玻璃. 故答案为：16. 18．在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、列出对数函数模型的解析式 【详解】由于当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，解得； 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒， 则，即，解得. 19．我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过_____天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍. 【答案】230 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】设大约经过天，“进步值”大约是“退步值”的100倍.进步值为，退步值为，由对数的运算计算求解即可. 【详解】设大约经过天，“进步值”大约是“退步值”的100倍. 此时进步值为，退步值为， 即，则， 故答案为：. 20．已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间月满足函数关系式其中为非零常数.若经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为，那么当利润率达到以上，至少需要经过________________个月用整数作答，参考数据： ） 【答案】40 【知识点】对数的概念判断与求值、指数函数的应用、指数式与对数式的互化、求指数函数解析式 【分析】根据利润与时间的函数关系式，结合题意求出，即可求解. 【详解】因为利润与时间的函数关系式为， 由题意知，，解得， 令，解得， 由，解得，所以至少需要经过40个月， 故答案为：40 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，燕子两岁时的飞行速度（单位：）可以用函数表示，表示燕子的耗氧量． (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当已知燕子的耗氧量是个单位时，它的飞行速度是多少？ 【答案】(1)10 (2) 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】（1）令，解对数方程即可求解； （2）将代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）由，解得，故燕子静止时耗氧量为个单位； （2）当时，，即飞行速度为． 22．在25℃室温下，某种绿茶用85℃的水泡制，等待茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳的饮用口感．经过研究发现，茶水的温度从85℃开始，经过x（单位：min）后的温度为y（单位：min），且． (1)求常数k的值； (2)经过多次试验得出，求在25℃室温下，刚泡好的绿茶大约需要放置多长时间才能达到最佳的饮用口感？（结果精确到1min，参考数据：，） 【答案】(1) (2)7min 【知识点】指数函数模型的应用、对数的运算、指数函数的应用、待定系数法 【分析】（1）根据待定系数法结合题意即可求解. （2）根据题意，代入数值，结合对数的运算即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，，解得． （2）由（1）得， 令，即，解得. 所以. 则在25℃室温下，刚泡好的绿茶大约需要放置7min才能达到最佳的饮用口感． 23．已知函数． (1)求的定义域； (2)若的值恒为负数，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意，结合对数函数的定义域和指数函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合对数函数和指数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以，即，解得， 即函数的定义域为； （2）因为的值恒为负数，所以，即， 所以，所以，即，所以， 即x的取值范围是. 24．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存，每分钟后病毒所占内存是原来的倍．记分钟后的病毒所占内存为． (1)求关于的函数解析式； (2)如果病毒占据内存不超过时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长． 【答案】(1) (2)分钟 【知识点】指数函数的应用、由指数函数的单调性解不等式、求指数函数解析式 【分析】（1）根据题意，先列举出开机后3分钟，6分钟，9分钟后病毒占据的内存，根据规律即可写出开机x分钟后的占据的内存，即可写出函数解析式. （2）根据题意，列出不等式，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为病毒开机时占据内存，每分钟后病毒所占内存是原来的倍， 所以，1个3分钟后，它占据的内存是, 2个3分钟后，它占据的内存是, 3个3分钟后，它占据的内存是, …… x分钟后，它占据的内存是， 所以关于的函数解析式为 （2）因为病毒占据内存不超过，计算机能够正常使用， 又, 故有 ，即，解得 ． 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟． 25．已知是定义在R上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数型复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）利用的奇偶性求解析式即可得解； （2）利用的单调性与奇偶性解抽象不等式，从而得解. 【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，所以， 因为当时，， 当时，，所以， 所以当时，， 所以. （2）因为当时，，所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，所以，解得，所以实数a的取值范围为. 26．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)证明：在上为增函数； (3)若，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、定义法判断或证明函数的单调性; 【分析】（1）根据定义在上的奇函数有，将其代入中求值即可. （2）根据函数单调性的定义结合指数幂的运算法则证明即可. （3）根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）由于是上的奇函数，且， 则，即,解得. （2）证明：设，，且， 则 由得，且，， 所以，即， 所以在上为增函数. （3）若，则， 又为上的奇函数，即， 由（2）得为上增函数，可得，即， 由为增函数，可得， 即t的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $