第15卷 对数的概念及其运算-考点训练卷 2027年四川省（对口招生）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的对数专项基础层训练，以微目标拆解构建从概念理解到运算应用的完整逻辑链，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-8、12|聚焦对数定义及基本性质辨析|从对数概念生成切入，夯实符号意识| |运算性质|选择3-7、9-10、13-15，填空16-18，解答21、23|覆盖四则运算、换底公式及代数式表示|以运算规则推导为核心，培养推理能力| |综合应用|选择11、19，填空20，解答22、24-26|结合实际问题（如半衰期、进步率）及函数应用|从数学建模角度拓展，发展应用意识|

编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第15卷 对数的概念及其运算 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（  ） A．0 B．1 C．10 D． 4．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．设，，其中m，n是正实数，则（    ）． A． B． C． D． 7．计算（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（且） D． 9．已知，则用a，b表示为（   ） A． B．2ab C．3ab D． 10．若（   ） A． B． C． D．2 11．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天（参考数据：） A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 12．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 13．已知，那么（    ） A． B． C． D． 14．设，则（    ） A．3 B．1 C． D． 15．设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．______． 17．若，则_________ 18．__________． 19．一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为______年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，） 20．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______． ①对、，；②在其定义域内单调递增． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．用表示下列各式 (1) (2) 22.解关于的方程：. 23．计算： (1). （2）； 24．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围． 25．解下列不等式： (1)； (2). 26．(1)设，用表示的值. （2）已知，，用，表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第15卷 对数的概念及其运算 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式和对数式的互化，求解即可. 【详解】， 故选：C. 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算法则计算即可. 【详解】，故A错误， ，故B错误， ，故C错误， ，故D正确， 故选：D. 3．（  ） A．0 B．1 C．10 D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据积商幂的对数公式即可得解. 【详解】. 故选：. 4．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的概念判断与求值、指数幂的运算 【分析】先进行指数式与对数式的转化，再解方程即可. 【详解】由题意得，，则，且， 即，且，解得. 故选：C. 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用对数与指数的互化即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 6．设，，其中m，n是正实数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数式与指数式互化，再根据指数幂的运算即可求解. 【详解】将对数式，分别转化为指数式有：，， ∴． 故选：. 7．计算（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据对数和分数指数幂的运算法则即可计算. 【详解】. 故选：A. 8．下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（且） D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质判断选项即可. 【详解】A：，故错误， B：，故错误， C：（且），故错误， D：，故正确. 故选：D. 9．已知，则用a，b表示为（   ） A． B．2ab C．3ab D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得. 故选：A. 10．若（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】将进行变形得，结合对数的运算公式即可得解. 【详解】由， 所以． 故选：C． 11．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天（参考数据：） A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】由题设有，应用指对数互化及对数的运算性质求值即可. 【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍， 则，即天. 故选：D. 12．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的概念判断与求值 【分析】根据自变量的取值范围代入即可. 【详解】已知， 根据自变量的取值范围， 因为，， 因为，， 因为，， 因为，， 因为， ， 故. 故选：D. 13．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的性质及指数幂的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，， 故选C. 14．设，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】先求出，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 【详解】因为，所以，则， 所以则. 故选：B. 15．设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果. 【详解】因为，，则， 可得，，则， 又因为， 所以. 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．______． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算即可得解. 【详解】， 故答案为：. 17．若，则_________ 【答案】5 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数的运算 【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答. 【详解】因函数， 所以. 18．__________． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算法则求解即可. 【详解】， 故答案为： 19．一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减．则这种放射性元素的半衰期为______年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，） 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化 【解析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为年，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以. 20．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______． ①对、，；②在其定义域内单调递增． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【知识点】对数的运算性质的应用、研究对数函数的单调性 【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果. 【详解】取，、，则，满足①， 在定义域内单调递增满足②， 故答案为：（答案不唯一，均满足）． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．用表示下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）. （2）. 22.解关于的方程：. 【答案】或 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】令，解一元二次方程即可. 【详解】即， 令，则，即，得或， 则或，得或. 23．计算： (1). （2）； 【答案】(1)1 （2） 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质，特别是 进行化简. 【详解】（1） . （2） 24．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2．(2)． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、对数的概念判断与求值、由分段函数的值域或最值求参数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据分段函数的性质，从内而外依次计算． （2）先根据括号内的范围选择对应法则，再根据不等式求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，故． （2）因为，所以， 由得，即， 解得，用区间表示为， 故实数的取值范围为． 25．解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数函数的定义域、对数的概念判断与求值 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求解； （2）分、两种情况，根据对数函数的单调性可求解. 【详解】（1）由得，， 所以，即,解得， 所以原不等式的解集为； （2）由得， ①当时，原不等式可化为，即，所以； ②当时，原不等式可化为，即，所以. 综上所述，原不等式的解集为. 26．(1)设，用表示的值. （2）已知，，用，表示． 【答案】（1） （2）； 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则计算即得； 【详解】（1）因为，所以. （2）由，， 则； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $