专题21 平面解析几何(选择题篇)专项训练 -2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 以直线、圆及圆锥曲线为逻辑主线，通过6大题型46道模拟题系统覆盖解析几何核心考点，注重数学思维的逻辑推理与空间形式的数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与方程|8题|聚焦倾斜角、距离、位置关系，含斜率公式与垂直判定|从点线关系到方程应用，构建解析几何基础| |圆的方程|10题|涉及弦长、位置关系、轨迹问题，含多选型与动态分析|承接直线知识，强化圆的几何性质与代数表达| |椭圆|9题|围绕离心率、定义、焦点三角形，结合几何性质应用|从椭圆定义出发，深化圆锥曲线的标准方程与性质| |双曲线|9题|考查渐近线、离心率、焦点距离，含轨迹与斜率问题|类比椭圆，突出双曲线特有性质（渐近线、离心率）| |抛物线|10题|聚焦焦点、准线、距离公式，结合最值与切线问题|以定义为核心，强化抛物线的几何特征与应用| |直线与圆锥曲线|10题|综合位置关系、弦长、面积，含切线与重心问题|整合前期知识，实现从单一曲线到综合应用的提升|

专题21平面解析几何 题型汇总 题型1：直线与方程的相关问题 题型2：圆的方程的相关问题 题型3：椭圆的相关问题 题型4：双曲线的相关问题 题型5：抛物线的相关问题 题型6：直线与圆锥曲线的关系 模拟题型 题型1：直线与方程的相关问题 1.(2026福建泉州模拟预测)己知点A0,2),向量=(-1,1)，若与直线：y=c垂直，则A到直线1的距离等 于() A.1 B.√2 C.2 D.22 2.（2026北京顺义：二模)已知直线1过点(0，，其倾斜角为0，设原点0到直线1的距离为d,当0<d≤5时，日 的取值范围是() A.o 6 c[&昏 3.(2026广东佛山模拟预别)已知直线y=+与图C:x-+y=4相交于点4,8，乙4CB=号，则k=(） A.±5 B. c.±1 D.3 3 4.(2026广东模拟预测)己知直线l:x-y=0,12:x+y-2=0,1:5x-y-15=0能构成三角形，设满足条件的 k值构成集合A,则RA的子集个数为() A.8 B.16 C.2 D.1 5.(2026陕西咸阳·二模)已知点P(-1,2),Q(2,1,若直线l:mx-y+2m=0与线段PQ的延长线相交，则实数 m的取值范围为() 1/7 A.-0,4 B. （2 c（ D.（}(3a） 6.(2026广东江门二模)若直线：25x+y-3=0,4:-y=0的倾斜角分别为a,a-牙，则=（) A.35 B.3 C.-3V5 D.3 7 > 11=1, 7.(2026湖北武汉三模)设点A0,1,B0,-,P为动点，记4P,BP的斜率分别为k，k,若店店 则点P的轨迹为() A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分 8.(2026上海黄浦·二模)若直线3x+y-2=0与x-ay+1=0垂直，则a的值为， 题型2：圆的方程的相关问题 9.(2026北京·模拟预测)已知坐标原点O,直线x-y+2=0与圆0：x2+y2=4交于A,B两点，则 c0s∠AOB=() A.2 2 B.0 C.-1 D.-2 2 10.(2026安徽合肥模拟预测)己知直线ax+y-1=0和曲线y=√4-x2交于A,B两点，则AB的最小值为() A.4v5 B.85 C.4 D.23 5 5 11.(2026陕西榆林.模拟预测)当直线1：mx+y-1=0(m∈R与圆C:x2+y2-2x-4=0相交所得弦长最短时，实 数m的值为() A.1 B.-1 C.√2 D.2 12.(2026浙江绍兴模拟预测)已知b是a,c的等差中项，若圆C:(x-1)2+(y-2)2=9上到直线1：ax+by+c=0的 距离为1的点有且仅有3个，则直线1的斜率为() A.或) B.3或-5 C.2或-2 2 D.5或- 3 3 13.(25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测)直线x-y+2=0被圆C:(x-a+(y-a)=4截得的弦长为() A.1 B.√2 C.2 D.2√2 14.(2026浙江绍兴模拟预测)已知直线1过点M(2,0)且与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4交于A,B两点，若ABC是 钝角三角形，则直线I的斜率可能为() A.-1 B.0 C.1 D.2 15.(2026陕西商洛·模拟预测)若圆x2+y2=9上总恰好存在两个点到点(1，b)的距离为4，则实数b的取值范围是 2/7 () A.(-1,1) B.(-45,45) C.(-1,0)U(0,1) D.(-4V3,0)U(0,4V5) 16.(2026河北二模)（多选）已知圆C:x-a)2+(y+1)2=2a+2的半径为2，则() A.a=2 B.原点在圆C的内部 C.圆x2+y2+4x-6y-36=0与圆C有且仅有1条公切线 D.直线y=x与圆C交于A,B两点，ABC的面积为2√2 17.(2026河南开封二模)（多选）已知点P是圆0：x2+y2=4上一动点，点M(-3,0),点N(0,-4),则() A,点P到直线MN的距离的最大值为身 B.满足PM⊥PN的点P有2个 C.过点N作圆O的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为y=-1 D.2PM+PN的最小值是210 18.(2026天津模拟预测)已知圆心为C的圆经过点A(-1,1)和B(-2,-2),且圆心在直线1：x+y-1=0上，设点P 在圆C上，点Q在直线x-y+5=0上，则PQ的最小值为 题型3：椭圆的相关问题 19,(2026云南曲靖三模)经过椭圆℃5± =1m>0,n>0)的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C n2 的离心率为() A号 c D. 4 5 20.(2026河南安阳模拟预测)已知椭圆C:。+广 a2+ ,=1a>7的焦距为2a,则4=<) A.2 B.√万 C.2√2 D.14 一2026加北张家国已知椭圆C。+片=Q>6>0的离心为号2，则C的方程可以为 A.+y=1B.号+1C.号+-1 2 D.+= 32 43 64 22.(2026广东广州模拟预测)若平面内有两个定点A,B,一动点P,则AP+BP为定值”是“点P的轨迹是椭圆 的() 3/7 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 23,(2026云南保山二模)设椭圆子+y a>b>0的路心率为R,乃，分别为其左、右焦点， 为椭圆E短轴的一个端点，且△PFF,的面积为2，则椭圆E的方程为() c.+=l D.+2=1 3 64 52 24(3026甘肃兰州楼报预测》已灯销圆C:三+发=口>0的左、右货点分别为，万，C上的两直4， B满足AF=2FB,F,F,=20A(0为原点)，且以C的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则C的方程 为() A.+y=1 c.+= D.+上-1 36 182 94 25.226江苏苏州模拟颜在平面直角坐标系0，中，已频F是将感C:号+卡=口b>0的右能点，直 x交C于A,B两点，若AF1BF,则C的离心率为() 线y=4 2 A. B.V5 C.v6 D.22 3 3 3 262026河南开封爽椒衡)已年，E分别是福丽C号+茶-Q>6>0的左、右焦点，从.N是精圆C上 y2 两点，且2MF=3F,MF,.MN=0,则椭圆C的离心率为() A.② B.3 c.3 D.Vi7 5 27.(2026河北三模)已知F,E分别是椭圆E:+长=1>b>0)的左、右焦点，P是E上位于x轴上方的一 点，直线P%交E于另点，c∠P所B=且8PR=2:3,则E的离心率为 28.(2026河南新乡三梭)已知F,E是椭圆C名+ 方-如>6>0)的航、右焦点，店是双曲线号P=1的右顶 点，过F的直线交椭圆C于M,N两点，且△MWF的周长为20，则椭圆C的离心率为 题型4：双曲线的相关问题 29。(226北京楼拟预测)已知双曲线C:my2-=1的高近线方程为=±，则m的馆为() A.√2 B.2 C.4 D. B0(2026浙江金华，三模)双曲线一y=1的焦点到渐近线的距离为( A.4 B.3 C.2 D.1 4/7 3引，（225候西泪南三模)已知双曲线C:号若=0>Q6>0的一个结点为P,且C的新近线上有在一点P, 使△OPF为等边三角形(O为原点)，则双曲线C的离心率为() 1 A.2 B.2 3 C.2 D.3 52(26里庆输中三模)已知发圃线C号茶-1的一条近线方程为，5厂，F分别为其左、右作点，点 M为双曲线C上一点，MF=8,则MF=() A.3 B.6 C.10 D.14 33.（2026四川广安模拟预测)在平面内动点P与定点F(0,4)的距离和它到定直线y=1的距离的比是2：1.则点P 的轨迹方程为() A.+-1 412 124 C. =1 D.y_x2 =1 412 412 4.226国训成都三核)已加双南线C:号若-a>06>0的奇近线方程为y=±片5AB分别为双曲线C的 2 左、右顶点，点P在双曲线上（异于A,B两点），则直线PA与直线PB的斜率之积为() A.4 B.-4 C.I 1 4 D.4 35。（②026河北保定二酸)已知F.5分5引是双曲线号芳-a>06>0的、右两个指点，dB是双南线上的 两点，丽=F万，Q心s∠48-，则双菌线的离心率为() A.7 B.10 2 C.7 D.V10 2 36.2026上海校拟预已知双由线C三云=a>06>0)的左、右焦点分别为R、,过5作一条斜车 a2 为5的直线1与双曲线C的右支交于本、B两点，若△AB的周长为16a,则双曲线C的离心率为 3 37(225山东泰安三楼)已知双曲线C:号若=a>06>0的离心率为2，F,R为C的两个货点，过5作C 的-条渐近线的垂线，垂足为M,O为坐标原点，则ME JOM 38.(2026甘肃兰州模拟预>过原点0的直线/与双曲线C:若片=川a>06>0交于4，B两点，点P在C 上，若直线PA与PB的斜幸之积为字则C的离心率为 题型5：抛物线的相关问题 39.(2026山西大同三模)若点Px,4V2为抛物线y2=8x上一点，则点P到其焦点的距离为() 5/7 A.2 B.4 C.6 D.8 40.(2026云南昆明模拟预测)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，0为坐标原点，点A在E上，若 |AF=2OFI,则IOA=() A.5 B.2 C.5 D.3 41.(2026河南二模)抛物线2x2+y=0的焦点坐标为() D.0 2026湖南张家界三模)已知损物践Ey=mx的焦点为F,准线为1，过E上一点P),4作 42. 作1的垂线，垂足 为Q,则直线FQ的一般式方程为() A.4x+4y-1=0 B.2x+4y-1=0 C.2x+2y-1=0 D.4x+4y+1=0 43.(2026湖南永州三模)己知F是抛物线C:x2=6y的焦点，M是C上一点，直线FM交x轴于点N,若M为 FN的中点，则FW=() B.? D. 9 A.3 C.4 44.(2026陕西咸阳模拟预测)己知点M(1,-2),点P在抛物线y2=8x上运动，点Q在圆(x-2)+y2=1上运动， 则PM+PQ的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 52026河北跳部三楼)知椭暖C:名+片>6>0的左、右焦点分别为，月，且为揽物塑 y=2pr(p>0)的焦点设抛物线与C在第一象限的交点为P,若P-PF=,FE,则C的离心率为() A. B.3 3 D青 46.(2026江苏二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线C:y2=2pxp>0)的准线为l,点P(1,t在C上， 以P为圆心的圆与1相切且截y轴所得的弦长为4√2，则p= 47.(2026河南开封模拟预测)己知抛物线C:y2=8x的准线为1，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线1的 距离和点P到直线y=3x+6的距离之和的最小值为· 48.(2026安微模拟预测)已知M是抛物线x2=8y上的一点，F是抛物线的焦点，若FM=8,则直线FM的倾 斜角为 6/7 题型6：直线与圆锥曲线的关系 49.(2026重庆沙坪坝·模拟预测)点M在抛物线C:y2=2px(p>0)上，F为C的焦点，MF1x轴，过M且与x轴 平行的直线与C的准线交于点N,△MNF的面积2，则P=() A.1 B.2 C.3 D.4 50.(2026福建莆田·模拟预测)若直线y=x-1交抛物线y2=4x于A,B两点，则AB=() A.2√2 B.4 C.4W2 D.8 5引.（202s天律模拟预》已奥双自线C:号手-Ka>06>0左顶点为4-35.0，袋距为2历，过点4作 直线与C的一条渐近线垂直，垂足为H,则△OHA的面积() A.54 B. 27 C.2V26 D.V26 13 13 13 13 52.(2026陕西咸阳·模拟预测)过抛物线C:x2=16y的焦点F作直线1与C相交于A,B两点，过A,B两点分别作 C的切线，两切线相交于点M,则点M的纵坐标为() A.-2 B.-4 C.-8 D.-16 53。（2026北京石景山二预)设双曲线C:2-片=1b>0,若直线=2x与双曲线C无公共点，则6的一个取 值为 54.(2026山东潍坊一模)过点(2,0)且倾斜角为45的直线与抛物线y2=4x相交于AB两点，则4AB= 55.(2026广西模拟预测)椭圆+广=1的四个顶点围成四边形的周长与面积的比值为 42 56.(2026贵州模拟预测)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为1，点P在抛物线C上，PH⊥1，垂足为H, 且直线HF的倾斜角为5π，则APHF的面积为 6 57.(2026浙江·三模)抛物线y2=4x上的A,B两点均位于第一象限，点C在x轴正半轴上，满足AC=BC.且 AC⊥BC.若ABC的面积为9，则点C坐标为 58.(2O26湖北模拟预测)已知椭圆C:+y=1的上顶点为A,直线1交椭圆C于M,N两点。若&4MN的重 心坐标为1,0)，则直线1的斜率为 7/7 专题21 平面解析几何 题型1：直线与方程的相关问题 题型2：圆的方程的相关问题 题型3：椭圆的相关问题 题型4：双曲线的相关问题 题型5：抛物线的相关问题 题型6：直线与圆锥曲线的关系 题型1：直线与方程的相关问题 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 2．（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 4．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 5．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 6．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 7．（2026·湖北武汉·三模）设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 8．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 题型2：圆的方程的相关问题 9．（2026·北京·模拟预测）已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 12．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．2或-2 D．或 【答案】D 【分析】先根据等差中项性质得到的关系，再由圆上点到直线距离为1的点的个数确定圆心到直线距离，最后结合点到直线距离公式求出直线斜率. 【详解】 因为是的等差中项，所以，即， 由题意可得圆的圆心为，半径， 若圆上到直线距离为的点恰好有个， 则圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式，圆心到的距离： ，又因为， 所以，整理得，即，， 所以 直线的斜率，因此，即. 13．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，在直线上， 圆的半径为，两平行直线与的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆C截得的弦长. 14．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合是钝角三角形，则需为钝角，从而得到不等式，求出答案 【详解】的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆无交点，不合要求，舍去； 设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角， 则圆心到直线的距离， 其中，即，故， 解得，其中，解得，只有B满足要求. 15．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 16．（2026·河北·二模）（多选）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 17．（2026·河南开封·二模）（多选）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 18．（2026·天津·模拟预测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 题型3：椭圆的相关问题 19．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 20．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 21．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 22．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 23．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 24．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 25．（2026·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是椭圆：的右焦点，直线交于，两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线和椭圆均关于原点对称，结合直角三角形中线性质，将两交点坐标表示成关于的式子，代入椭圆方程建立等量关系，化简求值即可. 【详解】解：由题意得，， 由，为直线与椭圆的交点，则，在直线上，且关于原点对称， 设，则为， 因为，则为直角三角形，又为中点， 所以，因此，解得， 所以点为，代入椭圆方程得，即， 又因为，，则，所以， 化简整理得，即，解得或（舍）， 又，所以. 26．（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以. 27．（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用表示出的长度，再利用余弦定理构造关于的齐次式即可求得离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：， 整理可得：，（舍）或， ，，， ，，即， 的离心率. 28．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和性质，结合的周长得出a，再应用离心率公式计算求解． 【详解】由椭圆的定义 则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 题型4：双曲线的相关问题 29．（2026·北京·模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】双曲线方程标准化，由，得. 渐近线方程，所以，即，解得. 30．（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据题意得到焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解． 【详解】解：双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 31．（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 32．（2026·重庆渝中·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为分别为其左、右焦点，点为双曲线上一点，，则（    ） A．3 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【分析】先由双曲线标准式得，结合渐近线斜率求出，再利用双曲线定义，代入求出两个解，再根据双曲线焦点距离的范围舍去不合理解，得到的值. 【详解】由双曲线得，. 渐近线得，可求. 由，得. 由双曲线定义得 ，代入 解得 或 . 若 ，则 ，此时点 在双曲线右支上. 而右支上的点到右焦点 的距离不小于 ，故 舍去. 因此 . 33．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 34．（2026·四川成都·三模）已知双曲线的渐近线方程为分别为双曲线的左､右顶点，点在双曲线上（异于两点），则直线与直线的斜率之积为（    ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以． 又，，设，所以， ， 所以直线与直线的斜率之积为． 35．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 36．（2026·上海·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过作一条斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】先利用双曲线定义，结合的周长，求出弦长，再联立直线与双曲线方程，用弦长公式建立关于的等式，进而求出离心率. 【详解】根据双曲线的定义得：，两式相加得：， 因为在右支上，所以，所以， 因为的周长为，即， 所以，即. 因为直线过，斜率为，则方程可设为， 联立方程组，整理得：， 设，由韦达定理得：， 所以 ， 整理得：，所以. 37．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 【答案】 【分析】根据已知条件求出的长度，进而在和，分别求出和，从而求出即可得解. 【详解】因为，一条渐近线方程为，如图，作出符合题意的图形， 则，， 又，所以， 即，， 在中，， 在中， ， 所以. 38．（2026·甘肃兰州·模拟预测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【分析】设过原点直线与双曲线交点关于原点对称，取双曲线上点，利用点差法得出，结合已知斜率之积为得到关系，再由双曲线离心率公式及即可求出离心率. 【详解】设，，. 由在双曲线上得，. 两式作差得. ，，. 由题意，离心率，. 代入得，故. 题型5：抛物线的相关问题 39．（2026·山西大同·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得. 因为抛物线的准线为， 所以点P到其焦点的距离为． 40．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 41．（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把抛物线化为标准方程， 因为抛物线开口向下，且焦点坐标是， 则，即，可得，所以焦点坐标是. 42．（2026·湖南张家界·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线方程，进而得出焦点坐标和准线方程，即可得出，再计算直线的一般式方程． 【详解】把点坐标代入的方程可得， 所以，故点， 则直线的斜率为， 于是，转化为一般方程为． 43．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】 由抛物线得焦点，设， 因为是的中点，所以的坐标为， 因为在抛物线上，将坐标代入得： ， 再由两点间距离公式： . 44．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 45．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 46．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 47．（2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 【答案】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，所求最小值即为焦点到给定直线的距离，通过点到直线距离公式计算即可。 【详解】 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ， 故所求最小值为. 48．（2026·安徽·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为______________． 【答案】或. 【分析】由抛物线的几何性质求的纵坐标，再求的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】    抛物线的准线为，设直线的倾斜角为， 过M向抛物线的准线作垂线交准线于，由抛物线的几何性质得，所以的纵坐标为， 又因为M是抛物线上的一点，所以，所以， 所以，或. 题型6：直线与圆锥曲线的关系 49．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由抛物线的定义可得， 所以. 50．（2026·福建莆田·模拟预测）若直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 51．（2026·天津·模拟预测）已知双曲线左顶点为，焦距为，过点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为则的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，，又，解得， 双曲线的标准方程为，其渐近线方程为. 如图任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 52．（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 53．（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 54．（2026·山东潍坊·一模）过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于AB两点，则_______ 【答案】 【详解】因为直线过点且倾斜角为， 所以该直线的斜率为，即该直线的方程为. 与抛物线方程联立得，， ， 设，， 所以. 55．（2026·广西·模拟预测）椭圆的四个顶点围成四边形的周长与面积的比值为__________. 【答案】 【分析】求出椭圆的顶点坐标，进而求出周长与面积的比. 【详解】椭圆的顶点依次为，这4个顶点围成菱形， 其周长为，面积为， 所以所求比值为. 故答案为： 56．（2026·贵州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，，垂足为，且直线的倾斜角为，则的面积为__________. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义和直线的倾斜角可判断出为等边三角形，再根据和求出，最后根据三角形面积公式计算答案. 【详解】设准线与轴的交点为，直线的倾斜角为，，. 又，. ，为等边三角形. . 故答案为： 57．（2026·浙江·三模）抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出并设出点的坐标，借助复数乘法与旋转关系确定坐标关系，再利用点在抛物线上列出方程组求解. 【详解】在中，，由的面积为9，得， 则，设，不妨令， ，所对复数分别为， 可视为绕点逆时针旋转而得，则， 因此，即，由点都在抛物线上， 得，两式相减得，整理得， 于是，整理得， 则，，， 所以，点坐标为. 58．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】/ 【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得. 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $