精品解析：浙江温州市平阳县万全综合高级中学等校2025-2026学年高一下学期第一次联考数学试题

2025学年第二学期高中联考高一数学试卷 考生须知： 1.本卷共5大题， 14小题，满分150分，时间120分钟. 2.试卷分为试卷(共 4页)和答题卡(共4 页).请在答题卷上写上考生姓名、学校、班级、考号. 3.请考生将所有答案写在答题卷上，写在其他上无效. 4.本次考试不得使用计算器，请耐心解答.祝你成功！ 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. “函数是幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 4. 已知命题：，则命题的否定为（    ） A. B. C. D. ， 5. 如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（ ） A. B. C. D. 6. 设函数则（　　 ） A. —2 B. C. D. 7. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的一条对称轴 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数的周期为 D. 函数的单调递增区间为， 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的不等式的解集是 C. D. 关于x的不等式的解集为或 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. ，都有 B. 且，都有 C. 的值域为 D. 关于的方程有3个不等实数根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知且 ，则的最大值是______________． 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14. 如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数为虚数单位． （1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； （3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 16. （1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 17. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 18. 已知偶函数和奇函数满足. （1）求，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围. 19. 某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示： （1）在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）； （2）求方案一中矩形面积的最大值； （3）欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高中联考高一数学试卷 考生须知： 1.本卷共5大题， 14小题，满分150分，时间120分钟. 2.试卷分为试卷(共 4页)和答题卡(共4 页).请在答题卷上写上考生姓名、学校、班级、考号. 3.请考生将所有答案写在答题卷上，写在其他上无效. 4.本次考试不得使用计算器，请耐心解答.祝你成功！ 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示，再根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为， 又，， 所以，所以. 故选：D 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数 ， 所以. 3. “函数是幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若函数是幂函数， 则，解得或； 则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立； 所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C 4. 已知命题：，则命题的否定为（    ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出结论即可. 【详解】命题：，是一个全称量词命题， 说明对任意的正数，使成立， 则它的否定是：存在正数，使成立， 所以，命题的否定为为：，. 故选：D. 5. 如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与相似，得到，得到，由，求出和，代入到即可得解. 【详解】在平行四边形中，，故与相似， 所以，即， 所以， 又，， 所以， 所以. 故选：B 6. 设函数则（　　 ） A. —2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以 ， 因为，所以， 所以. 7. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 8. 已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为方程解的问题，进一步可转化为求函数的零点问题，利用零点存在性定理即可得解. 【详解】令，则由题意知， 因为， ，， 又函数在上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间内有零点，即方程有解， 所以函数与图象交点的横坐标所在的区间是． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的一条对称轴 B. 函数的图象关于点成中心对称 C. 函数的周期为 D. 函数的单调递增区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性逐一判断A，B，应用正切函数周期及单调区间判断C，D. 【详解】对于A，因为， 所以直线不是函数的对称轴，故A不正确； 对于B，因为， 所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，函数的周期为，故C正确； 对于D，令，得， 所以函数的单调递增区间是，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于x的不等式的解集是 C. D. 关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. ，都有 B. 且，都有 C. 的值域为 D. 关于的方程有3个不等实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，判断A、B，分、和讨论函数的解析式，通过分离常数项求得的值域，判断C；求解关于的方程，判断D. 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为. ，，且，所以，所以A正确. 设且， ， 因为，且，所以，. 所以，即，所以函数在上单调递增. 由A知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以在上单调递增. 所以函数在上单调递增. 且，都有与同号，所以B正确. 当时，； 当时，；. 所以的值域为.所以C错误. 关于的方程等价于，即，即. 所以或，所以关于的方程有3个不等实数根，分别为，所以D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知且 ，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和. 【详解】由 可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为 . 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列方程求得，根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】由于，所以，解得， 所以， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 14. 如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】根据两点之间的距离以及对应图象的单调性可得出，再将代入可求得的值. 【详解】令，结合两点处的单调性可得， 又，所以，又， 可得，因此， 又，且在处函数图象单调递增， 因此，解得， 又，所以. 故答案为：4；； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数为虚数单位． （1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围； （3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据复数实部与虚部的定义列出方程即可求解； （2）根据复数的几何意义，列出方程组求解即可； （3）将复数代入方程，结合复数的运算列出方程组求解即可． 【小问1详解】 由题意得，解得． 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得，． 16. （1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 【答案】（1）（i）， ；（ii）；（2）最小值为 【解析】 【分析】（1）（i）依托向量线性运算的坐标相等构建方程组求解参数； （ii）利用向量平行的坐标判定公式建立方程求实数； （2）将向量模长表达式转化为二次函数，借助二次函数性质求解最小值. 【详解】（1）（i）由，代入向量坐标得， 可得方程组，解得，. （ii）由（i）得，故，则，， 由两向量平行的坐标关系得， 化简得，解得. （2）由，，得， 则， 令，其对称轴为， 当时，， 因此，的最小值为. 17. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知； （ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围． 【小问1详解】 ， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 （ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ， 由△ABC是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 18. 已知偶函数和奇函数满足. （1）求，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的性质，构造方程，解方程组得函数解析式； （2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性解不等式即可； （3）由题意转化为，换元后求的最大、最小值，求的最大值，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，，所以， 解得，. 【小问2详解】 由可得定义域为， ，在上单调递减， 因为，所以，解得 所求不等式的解集为. 【小问3详解】 存在满足 即； 令，，在上单调递增，得在上单调递增，所以，； 在上单调递减，所以， 所以， 则，即， 解得或(舍)，综上可得 19. 某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示： （1）在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）； （2）求方案一中矩形面积的最大值； （3）欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方案一 【解析】 【分析】（1）利用扇形面积公式结合已知条件求出半径和圆心角，利用已知条件表示边长，再利用矩形面积公式求解； （2）利用正弦函数的性质，结合的取值范围求面积最大值； （3）利用扇形的几何性质，结合等边三角形性质，利用已知条件表示边长，再利用矩形面积公式表示方案二的面积，结合角的取值范围求最大值，比较方案二和方案一的最大面积大小，进而确定选择方案． 【小问1详解】 设扇形弧长为，半径为，面积为，圆心角为， 则，即，解得，， ，， ， ， ． 【小问2详解】 ，则， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大， ． 【小问3详解】 方案二：设矩形的面积为， 由对称性可知，， 是等边三角形， ， 四边形是矩形，，故， 扇形中，，过作的垂线，垂足为，设， 则， 在中，，， ， ， ， ，， 当，即时，取到最大值1， 此时矩形的面积最大， ； ，， 故选择方案一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $