专题1.1 认识特殊的平行四边形（举一反三讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的核心知识点，从定义出发，通过边角计算巩固性质，结合证明应用，再延伸至对称性（类型、对称轴、旋转角度），构建递进式学习支架。 资料以“知识点+题型归纳+变式训练”为特色，例题如菱形坐标计算、矩形折叠问题培养几何直观与空间观念，证明题发展推理意识，数学语言描述定义提升表达能力，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题1.1 认识特殊的平行四边形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 菱形定义下的边角计算】 2 【题型2 矩形定义下的边角计算】 3 【题型3 正方形定义下的边角计算】 6 【题型4 利用特殊的平行四边形的定义进行证明】 9 【题型5 判断图形的对称性类型】 14 【题型6 求图形对称轴的具体条数】 16 【题型7 确定中心对称图形的对称中心】 17 【题型8 求旋转重合的最小角度】 21 【题型9 利用对称性解决最短路径问题】 24 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．考点1 特殊的平行四边形的定义 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点2 矩形的定义 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形． 3. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点3 正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 【题型1 菱形定义下的边角计算】 【例1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据“菱形的四条边相等”，可知，结合“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，可证明为等边三角形． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． 又， ∴为等边三角形． ∴． 【变式1-1】在菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的邻角互补即可得到答案． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____． 【答案】 【详解】解：由题意，菱形的面积. 【变式1-3】（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标． 【详解】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上， ，，， 即轴， 在中，由勾股定理得：， 点的坐标是：． 【题型2 矩形定义下的边角计算】 【例2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图所示，将矩形绕其顶点A 逆时针方向转到如图所示位置，则旋转角可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、矩形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键；先通过平角的定义得到，进而可求出，从而可求出，最后可得到答案． 【详解】解：如图，点经过旋转到点，经过旋转到，与交于点， ∵， ∴， ∵矩形绕其顶点A 逆时针方向旋转，点经过旋转到点， ∴， ∴， ∴, ∴旋转角为：， 故选：B． 【变式2-1】如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：木条的长为， 故选A． 【变式2-2】如图所示，在矩形中，是上任一点，连接，是的中点，若的面积为，则矩形的面积为__________． 【答案】24 【分析】根据矩形的性质和三角形中线的性质，求解即可． 【详解】解：连接， 是的中线，的面积为， ， 又∵矩形与同底等高， 矩形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线三角形分成面积相等的两个三角形；求三角形或矩形面积充分运用底，高相等的关系解答是解题的关键． 【变式2-3】如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长_________________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 【题型3 正方形定义下的边角计算】 【例3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【变式3-1】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE=____． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得BF=DE=1，S△AFB=S△ADE，可求AD=4，由勾股定理可求AE的长． 【详解】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， ∴BF=DE=1，S△AFB=S△ADE， ∴S正方形ABCD=S四边形AECF=16， ∴AD=4， ∴AE= 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，求出AD的长是本题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键．根据翻折的性质可知和全等，则，连接，可证，则， ，在中，设，根据勾股定理列出方程，可求出的值，从而求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知和全等，， 连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理列出方程，， 即, 解得：， ∴，． 故答案为：8． 【变式3-3】如图1，有甲，乙两种大小不同的正方形纸片，把正方形甲放置在正方形乙中，连结，，得到图2，再将图2这样的四个图案不重叠，无缝隙地拼成如图3所示的正方形，若正方形中阴影区域面积和为12，且，则一张正方形甲和一 张正方形乙的面积和为 ___________________．    【答案】 【分析】如图，设，则，根据正方形的面积公式列方程得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：如图，设，则， ∵正方形中阴影区域面积和为12， ∴， 解得， ∴， ∴一张正方形甲和一 张正方形乙的面积和为． 故答案为：．    【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形面积公式，正确地识别图形是解题的关键． 【题型4 利用特殊的平行四边形的定义进行证明】 【例4】（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质得出，得出，利用等边对等角得出，根据角的和差关系可得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：四边形为正方形， ． 点分别为的中点， ， ． ， ， ， ， ． 【变式4-1】如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 【变式4-3】已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），连接，根据正方形的性质和平行四边形的性质得，，进而得，再根据“角角边”证明，可得答案； 对于（2），先根据正方形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案. 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 知识点4 菱形的对称性 1. 轴对称性：是轴对称图形，有2条对称轴．考点2 特殊的平行四边形的对称性 对称轴分别是：两条对角线所在的直线. 2.中心对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 旋转重合：绕中心至少旋转180°能与原图形重合. 知识点5 矩形的对称性 1. 轴对称性：是轴对称图形，有2条对称轴． 对称轴分别是：两条对角线所在的直线. 2.中心对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 旋转重合：绕中心至少旋转180°能与原图形重合. 知识点6 正方形的对称性 1. 轴对称性：是轴对称图形，有2条对称轴． 对称轴分别是：两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线. 2.中心对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 旋转重合：绕中心至少旋转 90° 能与原图形重合. 【题型5 判断图形的对称性类型】 【例5】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不一定是轴对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意； B、矩形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、菱形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、正方形是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，矩形，菱形，平行四边形，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 【变式5-1】如图，顺次连接矩形各边中点，得到由矩形和菱形组成的图形，则关于这个图形的描述正确的是（    ）    A．是轴对称图形但不是中心对称图形 B．不是轴对称图形也不是中心对称图形 C．不是轴对称图形但是中心对称图形 D．是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【分析】根据长方形和菱形的对称的特点求解． 【详解】解：根据长方形和菱形的对称的特点：它们既是轴对称图形，又是中心对称图形．则它们的这种组合图形，既是轴对称图形又是中心对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．在观察组合图形的对称性的时候，既要分别看每个图形的对称性，还要注意它们的组合方式是解题的关键． 【变式5-2】某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛学生中征集到的设计方案有平行四边形、等边三角形、等腰梯形、矩形四种方案，你认为符合条件的是（   ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．矩形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，A选项不符合题意； 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，B选项不符合题意； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，C选项不符合题意； 矩形是轴对称图形也是中心对称图形，D选项符合题意． 故选：D． 【变式5-3】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【题型6 求图形对称轴的具体条数】 【例6】在矩形、菱形、正方形、等边三角形的轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形有两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等边三角形有三条对称轴，为其三边的中垂线所在的直线． 【详解】解：A、矩形有两条对称轴； B、菱形有两条对称轴； C、正方形有四条对称轴； D、等边三角形有三条对称轴． 所以对称轴条数最多的是正方形． 故选C． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数为2的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，对称轴的条数，通过判断每个图形的轴对称性和对称轴数量，进行判断即可． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴，不符合题意； 平行四边形不是轴对称图形，不符合题意； 等腰直角三角形有1条对称轴，不符合题意； 矩形是轴对称图形且有2条对称轴，符合题意． 故选B． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：连接等边三角形各边中点得到的图形是等边三角形，共有三条对称轴； 连接平行四边形各边中点得到的图形是平行四边形，不是轴对称图形，没有对称轴； 连接矩形各边中点得到的图形是菱形，共有两条对称轴； 连接正方形各边中点得到的图形是正方形，共有四条对称轴； 所以对称轴条数最多的图形是D． 故选：D． 【变式6-3】下列图形中，对称轴有且只有3条的是（   ） A．菱形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了成轴对称的定义，一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫做对应点．根据对称轴的定义解答即可． 【详解】解：菱形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴． 故选B． 【题型7 确定中心对称图形的对称中心】 【例7】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 【变式7-1】如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心 C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴 【答案】A 【分析】由矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段的对称中心是线段的中点，矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案． 【详解】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意； 线段的对称中心是线段的中点，故B不符合题意； 矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线， 故C，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键． 【变式7-2】如图 1，四边形是正方形；如图2，四边形是矩形，是等腰三角形. 请只用无刻度的直尺按要求画图．      (1)在图1中，画出正方形的对称中心O； (2)在图2中，画出线段的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图与应用作图，正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质和中心对称图形的性质，中点的定义． （1）依据正方形的对称中心为对角线的交点进行作图； （2）利用矩形的对称中心为对角线的交点，等腰三角形的轴对称图形，即可得到点N． 【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点O即为所求；    （2）解：如图2所示，连接交于点O，连接并延长交于点N即为所求．    【变式7-3】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 【题型8 求旋转重合的最小角度】 【例8】如图所示的图案由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为3cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】3 【分析】由于∠AOB为120°，由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个菱形叶片的面积和的三分之一． 【详解】解：∵三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合， 而∠AOB为120°， ∴图中阴影部分的面积之和=（3+3+3）=3（cm2）． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（   ）能与自身重合． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新图形中心角的求法解答即可. 【详解】解：要使新图形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数是 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第 次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转和菱形的性质，根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是菱形，根据点可解决问题，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键． 【详解】∵， ∴每旋转八次，点的坐标重复出现， ∴， ∴秒旋转结束时点的位置，与第秒旋转结束时点的位置相同， ∵四边形是菱形，关于对称， 又， ∴第秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称即点， ∴此时点的坐标为， 即第秒旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 【变式8-3】（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型9 利用对称性解决最短路径问题】 【例9】（2025·安徽滁州·三模）如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接，当时最小，根据题意可知，，再由勾股定理即可解答． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线． 【详解】解：依题意，可知四边形是平行四边形，延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接， 当时最小， ∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式9-1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点，根据勾股定理可求得的长，再利用菱形的面积可求得的长，再次根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则， ，， ， 当点与点重合时，的值最小， 四边形为菱形，、， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 【变式9-2】矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为______，面积的最小值为_____．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值， 即点重合，的值最小，即可求出的最小值；延长相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点重合，求出，得到，进而得到，再根据三角形面积公式即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∴的最小值为为， ∴的最小值为； 延长相交于点，过点作的延长线于点，则，    ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【变式9-3】（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 认识特殊的平行四边形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 菱形定义下的边角计算】 2 【题型2 矩形定义下的边角计算】 2 【题型3 正方形定义下的边角计算】 3 【题型4 利用特殊的平行四边形的定义进行证明】 4 【题型5 判断图形的对称性类型】 6 【题型6 求图形对称轴的具体条数】 7 【题型7 确定中心对称图形的对称中心】 7 【题型8 求旋转重合的最小角度】 9 【题型9 利用对称性解决最短路径问题】 10 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形．考点1 特殊的平行四边形的定义 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点2 矩形的定义 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形． 3. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点3 正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 【题型1 菱形定义下的边角计算】 【例1】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在菱形中，，，则的长为______． 【变式1-1】在菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型2 矩形定义下的边角计算】 【例2】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图所示，将矩形绕其顶点A 逆时针方向转到如图所示位置，则旋转角可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，在矩形中，是上任一点，连接，是的中点，若的面积为，则矩形的面积为__________． 【变式2-3】如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长_________________． 【题型3 正方形定义下的边角计算】 【例3】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 【变式3-1】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE=____． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为______． 【变式3-3】如图1，有甲，乙两种大小不同的正方形纸片，把正方形甲放置在正方形乙中，连结，，得到图2，再将图2这样的四个图案不重叠，无缝隙地拼成如图3所示的正方形，若正方形中阴影区域面积和为12，且，则一张正方形甲和一 张正方形乙的面积和为 ___________________．    【题型4 利用特殊的平行四边形的定义进行证明】 【例4】（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 【变式4-1】如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【变式4-2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【变式4-3】已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 知识点4 菱形的对称性 1. 轴对称性：是轴对称图形，有2条对称轴．考点2 特殊的平行四边形的对称性 对称轴分别是：两条对角线所在的直线. 2.中心对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 旋转重合：绕中心至少旋转180°能与原图形重合. 知识点5 矩形的对称性 1. 轴对称性：是轴对称图形，有2条对称轴． 对称轴分别是：两条对角线所在的直线. 2.中心对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 旋转重合：绕中心至少旋转180°能与原图形重合. 知识点6 正方形的对称性 1. 轴对称性：是轴对称图形，有2条对称轴． 对称轴分别是：两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线. 2.中心对称性：是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 旋转重合：绕中心至少旋转 90° 能与原图形重合. 【题型5 判断图形的对称性类型】 【例5】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，不一定是轴对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式5-1】如图，顺次连接矩形各边中点，得到由矩形和菱形组成的图形，则关于这个图形的描述正确的是（    ）    A．是轴对称图形但不是中心对称图形 B．不是轴对称图形也不是中心对称图形 C．不是轴对称图形但是中心对称图形 D．是轴对称图形也是中心对称图形 【变式5-2】某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛学生中征集到的设计方案有平行四边形、等边三角形、等腰梯形、矩形四种方案，你认为符合条件的是（   ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．矩形 【变式5-3】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【题型6 求图形对称轴的具体条数】 【例6】在矩形、菱形、正方形、等边三角形的轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等边三角形 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数为2的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰直角三角形 【变式6-2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列图形中，对称轴有且只有3条的是（   ） A．菱形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 【题型7 确定中心对称图形的对称中心】 【例7】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【变式7-1】如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（    ）    A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心 C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴 【变式7-2】如图 1，四边形是正方形；如图2，四边形是矩形，是等腰三角形. 请只用无刻度的直尺按要求画图．      (1)在图1中，画出正方形的对称中心O； (2)在图2中，画出线段的中点N． 【变式7-3】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【题型8 求旋转重合的最小角度】 【例8】如图所示的图案由三个菱形叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为3cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为_______． 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（   ）能与自身重合． A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第 次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 【题型9 利用对称性解决最短路径问题】 【例9】（2025·安徽滁州·三模）如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（  ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为______，面积的最小值为_____．    【变式9-3】（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $