广东珠海市麒麟中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

20251“2026§CET§，%5′‘元 。 S “￡"c"e^ “￡”一》”，￡ 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、试室、座位号和准考证号填写 在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知复数z满足1-i)z=1+i(1是虚数单位)，则z的值为( ) A.-i B.1 C.-1 D.i 2.已知向量a=(1,m),b=(2,-1),若ā/1a+2b),则实数m的值为( ) A.2 B.-2 D. 3为了得到函数)=s血2x+的图象，只要把函数y=5x的图象上所有的点() A.横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 日。横坐标伸长到原来的2信，向右平移名个单位长度，纵坐标不变 C.横坐标缩短到原来的，向左平移”个单位长度，纵坐标不变 6 D.横坐标缩短到原来的子，向右平移个单位长度，纵坐标不变 3 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a-b2-c2=bc=1,则△ABC的面积为( A B号 C.3 2 D.3 4 试卷第1页，共4页 5.四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对 应的复数为() A.3-5i B.5-3i C.3+5i D.5+3i 6.如图，△O'A'B是水平放置的△OAB的直观图，其中OA=3,OB=4,则△OAB的周长是 ) A.10+4V13 B.10+2√13 C.32 D.12 B￥ 7.如果α，b是空间中的两条直线，，B是空间中的两个平面，下列命题错误的是() A.直线a与b要么相交，要么不相交 B.当直线a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面 C.直线a与平面B，,要么a与B平行，要么a在B内 D.平面与B要么相交，要么不相交 8.已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点，且满足PA.PC=PA.PB=PB.PC,则P为三角形的 (). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.己知函数f)=3sn3x+4),则下列结论正确的是（） A.函数f)的最小正周期是2严 兀兀 B.函数f(x)在区间 44 上是增函数 C.直线x= 是函数f)图象的一条对称轴 12 D.函数f()的图象可以由函数8(w)=3sin3x的图象向左平移亚个单位长度而得到 12 1O.如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC/IDE.设CD,BE,AE,AD的 中点分别为M,N,P,Q,则() A.PO=IMN B.PO/IMN C.M,N,P,O四点共面 M D.四边形NPO是梯形 试卷第2页，共4页 11.已知a,6,c是任意的非零向量，则( A.若d>且a与5同向，则a>b B.a-b≤ldl5l c.若ac=6c,则a-b不与c垂直D.a+≤+5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量ā，6的夹角为写，且同=1，同-2，则向量ā在向量5上的投影向量为一 13.定义：|a×ba‖bsim0,其中0为向量a与b的夹角，若|a=2,1=5,a.b=-6,则|a×b 等于」 14.己知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积 最大时，该球的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 在复数集C中，解方程x2+x+1=0 16.(本小题15分) 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为 了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高约为36，在它们之 间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°， 在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，试估算圣·索菲亚教堂的高度 15 ▣ 6024459 M 试卷第3页，共4页 17.(本小题15分) 如图所示，O'A'B'C为四边形0ABC的斜二测直观图，其中0'A'=3,O'C'=1,B'C'=2. (1)求平面四边形0ABC的面积： (2)若四边形0ABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. A 18.(本小题17分) 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,点P为DD1的中点. (1)求证：直线BD1/平面PAC; D B (2)求异面直线BD1与PC1所成角的余弦值. P 19.(本小题17分) 近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场 需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模， 某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMW内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在OM上，点C在 圆弧MW上，点D在边Qw上，且∠MON= 5,0M=30米，设∠C0M=. (1)求扇形OMW的面积： (2)求矩形ABCD的面积S(a): D (3)当a为何值时，S()取得最大值，并求出这个最大值. 0 M A B 试卷第4页，共4页2025-2026SC正T§，》5元°§t.乙.·， 1.【答案】D 【分析】复数除法/乘法/代入法 【详解】由已知可得中-0+矿1+-i,故选：D一 1-i1-i01+i) 2.【答案】C 【详解】因为a=(1,m),b=(2,-1),所以a+2b=(5,m-2), 因为a1/(a+2b),所以5m=m-2,解得m=-1 3.【答案】C 【详解】将函数y=sinx图象上所有的点横坐标缩短为原来的号，纵坐标不变得到函数y=sin2x的 图象， 再将y=sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y=sim2x+的图象.故选：C 3 4.【答案】D 【详解】△ABC中，由a2-b2-c2=bc,得b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理cosA=公+c-c:-1,Ae0,,得A= 2bc2bc 2 3 又c-l,所以see-bcsin=5 1 故选：D 2 4 5.【答案】c 【详解】由在复平面内，点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i,2+i, 可得点A,B,C在复平面内对应的点的坐标为A1,3),B(0,-1),C(2,1), 设D在复平面内对应点的坐标为(x,), 因为ABCD为平行四边形，所以AB=DC, 又因为AB=(←1，-4，DC=(2-x,1-),所以 「2-x=-1 1-y=-4?解得x=3,y=5, 所以点D对应的复数为3+5i.故选：C 6.【答案】B 【详解】作出△OAB,如下图所示： 由题意可知0A=6,0B=4,∠A0B=90°， 由勾股定理可得AB=VOA2+OB2=V62+42=2V13, 故△OAB的周长为0A+0B+AB=6+4+2V13=10+2V13.故选：B 7.【答案】C 0 B 【详解】对于AB,空间中的两条直线α，b的位置关系有共面和异面两种情况， 共面时有相交和平行两种情况， 所以直线a与b要么相交，要么不相交，故A正确： 当a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面，故B正确： 对于C,直线a,平面B,要么a与B平行，要么a在B内， 还有可能直线a与平面B相交，故C错误： 对于D,空间两个平面“与B的位置关系为相交或平行， 空间两个平面要么相交，要么不相交，故D正确.故选：C 8.【答案】D 【详解】由PA.PC=PA.PB,所以PAPC-PAPB=PA(PC-PB=PA.BC=0, 则PA⊥BC,同理可证PB⊥AC,PC⊥AB, 所以P为三角形的垂心.故选：D. 罗定、暨实、麒麟、二中联考答案第1页，共4页 9.【答案】ACD 【详解】对于A,易知函数f)的最小正周期是T=2 ,可得A正确： 3 对于B,当x [到时3，易知y=血在刘上不单两。 4’4 4 所以西数了)在区间[年上不单调即B销误： 对于c因为日)3m3是+)-n分3=m 因此直线x= 乃是函数)图象的一条对称辅，即C正确： 对于将g=3如3x的图象向左平移后个单位长度可得y=3血+哥引-3m3x+引。 因此D正确.故选：ACD 10.【答案】BCD 【详解】由题意知PQ=DE,且DE≠N,所PQ号N,放A错误， 又PQ//DE,DE/MN,所以PQIIMN,又PQ≠MN, 所以M,N,P,O四点共面，且四边形NWPQ是梯形.故BCD正确.故选：BCD 11.【答案】BD 【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误： 对于B中，由向量的数量积的定义，可得.6=cos(a,）, 因为五方e[0,而，可得-1≤cos(a,b)sl,所以āb≤同，所以B正确： 对于c中，由a.c=i.c,可得(a-万c=0,所以a-或(a-lc,所以c错误： 对于D中，la+=+5f+2a.6=d+5+25cos(a,6）, 又同+=武++2， 因为-1≤cos(a,)s1,所以a+≤+，所以D正确.故选：D, 12.【答案】5 【详解】~向量a,5的夹角为a=写，且同=1，=2， a.6=网cos-1x2×}-1,向量a在向量5上的投影向量为 ab b 3 b 13.【答案】8 【详解】由已知a-石=2×5c0s0=-6,c0s0=-3 所以sm8=V1-cos0=5' 4 所以ax=2x5x4=8. 14.【答案】722m 【详解】设圆柱底面半径为r,高为，则轴截面周长为2(2r+)=24,即2r+=12.侧面积 S=2rh=π(2)h≤π"的2=元×62=36，当2r=h=6,即r=3,h=6时等号成立，此 罗定、暨实、麒麟、二中联考答案第2页，共4页 时侧面积最大.外接球直径等于轴截面对角线长√(2r)2+h2=V36+36=6W2,所以球半径 R=3V2,体积V=π3V2)3=72W2n 15.【答案】-+5：-1B 22 1,-22 22 …8分 所以在复数集C中，方程x2+x+1=0有两个解，依次为-+5，-】 …5分 22 22 16.【答案】54m 【详解】由题可得在直角△MBM中，∠AMB=45°，AB=36,所以AM=4B =36√2，…3分 sin45° 在△AMC中，∠AMC=180°-60°-45°=75°，∠MAC=15°+45°=60°， 所以∠ACM=-180°-75°-60°=45°， …6分 所以由正弦定理可得M=CM 362x3 sin45°sin600,所以CM 2=365, V2 …10分 2 则在直角△CDM中，CD=CM·sim60°=54， …14分 即圣.索菲亚教堂的高度约为54m. …15分 17.【答案】(1)面积为5：（②）体积为28 ,表面积为(12+2√5)π. 【详解】(1)把直观图还原为原平面图形，则四边形0ABC是直角梯形， 其中0A=0'A'=3,0C=20'C'=2,BC=B'C'=2,如图所示： …4分 所以平面四边形0ABC的面积SOABC=×(2+3)×2=5. …7分 (2)四边形0ABC以OA为旋转轴，旋转一周， 旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为2，高为2， 圆锥的底面半径为2，高为1，母线长为V5, 则旋转体的体积为 V=V圆鞋+V圆维=r×2×2+×2×1=28, A 3 …11分 表面积为S旋转体=T×22+2T×2×2+π×2×√5=12π+2√5π-(（12+2W⑤)元.…15分 18.【答案】(1)证明见解析：（②） 【详解】(1)设AC∩BD=O,连接0P, …1分 因AB=AD=2,且ABCD-A1B1C1D1为长方体， 则四边形ABCD为正方形，故O为线段AC中点， 3分 因点P为DD的中点，则OP为△D1DB的中位线，则OP/DB, …5分 又OPC平面PAC,DB￠平面PAC,则D1B/平面PAC …7分 (2)连接PC1,OC1,由(1)可知0P/D1B,则直线BD1与PC1所成角是L0PC1或其补角， 因AB=AD=2,AA1=4,点P为DD1的中点， D OC=OD=BD=2,DP=DP=2, …9分 在Rt△PD0中，P0=VDP2+0D2=√22+(V2)=V6, …11分 P 在Rt△D1PC1中，PC1=√D1P2+D1CZ=V22+22=2W2, …13分 在Rt△C0C中，0C1=√CC2+0C=42+(2)2=3V2, …15分 在APG:0中由会弦定理得，cos<0PG-P800-0。-日 8+6-18 ⊙ 2C1P.OP 罗定、暨实、麒麟、二中联考答案第3页，共4页 故直线BD,与PC,所成角的余弦值为 …17分 19.【答案10150m平方米：②30w5sm2a+-150N5,0<a<号(3a=若：1505 6 【详解】(1)由思意，AM0N-子扇形半径即OM=30米， …1分 则院形g的面积为分号30=150：半方米 …3分 (2)在Rt△OBC中，BC=30sima,OB=30cosa, 在Rt△OAD中，AD=BC=30sima, …6分 则0-背 -×30sina, .AB=OB-OA=30cosa-10v3 sin a …9分 则停车场面积 S(a)=AB.BC=30sina(30cosa-10/3sina) =300/3(3sinacosa-sina)=150(3sin2a+cos2a-1) =30051 =05m2a8-15o6.0ka …14分 所以，s(a)=3005sim2a+-1505,其中0<a< 6 3)sa=305m2a+君-150w5,其中0<&<3 由死<2a+亚<5π …15分 6 66 则当2a+石时，即a=石时.sa=15w5 π兀 当a-若时，S(@取得最大值，最大值为1505 …17分 罗定、暨实、麒麟、二中联考答案第4页，共4页