湖南衡阳市衡阳县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年上学期衡阳县第一中学高一期中考试 数学试题 分值150分，时量120分钟 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．设全集，集合，则中元素个数为（ ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．复数与的积为实数的充要条件是（ ） A． B． C． D． 3．下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．函数的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则（ ） A． B． C．3 D．12 6．如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形的面积是（ ） A．14 B． C．28 D． 7．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 8．如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ） A． B．3 C． D． 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分）． 9．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．对应的点在第三象限 B． C．为纯虚数 D．的共轭复数为 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A． B．为函数的一个对称中心点 C．为函数的一个递增区间 D．可将函数向右平移个单位得到 11．在中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的面积为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为_________ 13．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面的直径为_________． 14．在中，已知，，，则_________． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 15．（满分13分）已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限． （1）求； （2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求． 16．（满分15分）已知函数，． （1）求的值； （2）求的最小正周期及单调递减区间． 17．（满分15分）已知三个互不相同的平面向量，与夹角为，与夹角为， （1）求与的夹角． （2），求的范围．（注：） 18．（满分17分）如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 19．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济．如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为，设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台．现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记． （1）当时，求矩形观赏台的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上学期衡阳县第一中学高一期中考试 数学试题 分值150分，时量120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求 1.C2.A3.B4.B 5.C6.C7.C 8.D 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分)· 9.AB 10.ABD 11.BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12.48c13.2214,5+1或5-1 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15.【答案】(1)z=1-i:(2)∠0AB=90°」 【详解】 (1)设：z=x-i(x,y∈R), 因为：zz=2,所以x2+1=2,得x=1或x=-1, 又2在复平面内所对应的点在第四象限，所以z=1-i: (2)z2=(1-i)2=-2i 所以A(1,-1),B(0,-2),0(0,0),A0=(-1,1),AB=(-1,-1), 所以Cos∠OAB= A0.AB1-1 40*@V2xV2=0, 所以∠OAB=90° 16.【解析】 (1(sino-imweosxsin22sin) 所以f 3=-V2sin 2x=-2sinn=0. 、8 84 (2)f(x)的最小正周期为T 2二， 2 +2km≤2x+≤7+2keZ,得- 由一 42 _3π+km≤x≤及+km,keZ, 8 所以∫(，)在R上的递减区间为 8 因为x42],所以fx)的诚区间为48] 17.解：(1)因为a-b)c=a·c-b.c=1x1xcos60°-1x1×cos60°=0， 所以(a-b)1c:即a-6与的夹角为90°. (2)因为a与i夹角为60°+60°=120，且ka+6+>V6 所以(ka+b+)2>6,即k2a2+b2+2+2ka.b+2ka.c+2b·c>6, 所以k2+1+1+2k×1×1×cos120°+2k×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°>6， 化简得2>3，解得k<-5或k>V5,所以k的取值范围是(-0，-5)U(V3,+∞)】 18.解(1)因为3 acosB-bcosC=ccosB, 由正弦定理可得， 因为4e0动则gn1>0成o6写则B为版角：所以，B=-eosB 2V2 3, 因为<ADC=3 4,则∠ADB= AD AB 4,在△ABD中，由正弦定理得 sinB sin∠ADB' AD 2 2平夏、得0- 32 (BC.simBxx 2V2_4W2 2 3=3，则BC=2 由BD2DC,0D-手0C-号 2 3 由余弦定理可得， AC2=AB2+BC2-2AB.BCcosB 1_43 /4+4-2×2×2×号= 33 BD AB 2 在△ABD中，由正弦定理可得sin∠BADsin.∠ADB,故sin<BMD in∠ADB, 3 CD AC 在△ABD 中，由正弦定理可 sn<CAD"sin/ADC,放sin∠CAD= 2sin∠ADC, 6 sin∠BAD3Sin∠ADB 945 因为 ,所以sin∠CAD 3 3 sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC in∠ADC 6 19.解：(1)当∠AOM= 6时，过M作OA的垂线，交40于点E: 则ME=OM-sinz-20x=10, 6 2 OE=OM.cos20x 2=105, 6 2 过N作OA的垂线，交AO于点F,NF=ME :∠AOB=T 4’OF=NF=10' .MW=OE-OF=10W3-10.NP=5. 矩形MNPg的面积S=MW.NP=5x10W3-10)=50(V3-l)平方米 所以矩形观赏台MNPQ的面积50(N5-)平方米。 B 由题金可知，∠AOM-x∠40B-子∠MoN-牙-x,∠0-证 4 4 MN OM 在△OMN中，由sin∠MON sin/MNO' MN=OMcosx-OMsinx=20(cosx-sinx). 矩形MWPQ的面积S,=MN.NP=5×20(cosx-sinx)=l00(cosx-sinx). 观资台△A0C的面积S,=201-0C-sin∠4A0C=×20x20sin2x=20sin2x 整个观赏台面积S=S,+S,=100(cosx-sinr)+200sin2.x 段t=cosx-sinr=V2cosx+,元≤x≤Ay 46 40sts 3-1 2 2=(cosx-sinx)2 cos2x+sin2x-2sinxcosx =1-sin2x. .'sin2x=1-t2 .S=100(cosx-sinx)+200sin2x =10w+20w0-f-2an- +212.5 整个观赏台观赏台取得最大值为。，。平方米。 212.5 ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米.