21.3 第1课时 图形面积问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

3 21.3实践与探索 第1课时 图形面积问题 01基础达标 易错点忽视条件中对图形边长的限制 知识点 几何图形问题 5.如图，一农户要建一个矩形平 1.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画 猪舍，猪舍的一边利用长为 的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅 12m的住房墙，另外三边用 矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面 25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直 积是5400cm,设金色纸边的宽为xcm,那么 于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪 x满足的方程是 舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m? A.x2+130x-1400=0 80cm B.x2+65.x-350=0 C.x2-130x-1400=0 50cm D.x2-65x-350=0 2.如图，将一块正方形空地划出部 3m 分区域进行绿化，原空地一边减 20m2r',1 少了2m,另一边减少了3m,剩 余一块面积为20m的矩形空 2m7 地，则原正方形空地的边长是 3.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm的小正形，做成一个无盖的盒子.已知 02能力提升 盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为6.如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四 部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩 4.如图，某农场有一块长40m,宽32m的矩形 形ABCD,则AB的长为 种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方 DI 向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面 ③ ② ① 30 积为1140m,求小路的宽 ②/① ④ ④ 24 图1 图2 第6题图 第7题图 7.如图，某小区有一块长为30m,宽为24m的矩 形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿 地，它们的面积之和为480m,两块绿地之间 及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的 宽度为 m. 32 8.小林准备进行如下操作实验：把一根长为 03思维拓展 40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成 10.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC 个正方形 4cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿 58cm,小林该怎么剪？ 着AC边以2cm/s的速度运动，P,Q两点同 (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和 时出发，运动时间为t(s). 不可能等于48cm,”他的说法对吗？请说明 理由. (1)若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t 的值？ (2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一 半？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 9.如图，某课外活动小组准备围建一个矩形生物 苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m),其 余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分 隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的 门，已知篱笆的总长度为34m. (1)设图中AB(与墙垂直的边)的长为xm,请 用含x的代数式表示AD的长 (2)若整个苗圃园的面积为96m,求AB的 长 20m…AB=√B+ (2)若斜边为4，可令另两直角 边分别为3和k.∴.32十2= .AD 42,k2=7,k>0.k=√7； 4 2 若直角边为4，则令斜边为k, √/4b2+a2-a 另直角边为3..42十32=k2, 2 k>0.∴.k=5, (2)用配方法求得： 综上所述：k=√7或k=5. -4b+a2-a 方法技巧专题一元二次方程的解法 2 1.C2.D x2=V46+a-a 3.(1)x1=2+√3，x2=2-√3； 2 正确性：AD的长就是方程的 (②x7+E.=7-E 6 6 正根. 4.D 遗憾之处：图解法不能表示方 5.(1)x1=0,x2=2; 程的负根， 微课堂 (2)=3 23 【示例】一4 【变式】子 5 （8)z=4-号 6.A7.y2-2y-3=0 21.2.3公式法 8.x1=-1,x2=1. 1.A2.C 21.2.4一元二次方程根的判别式 3.4,-3,-2,41,4=3十4厘 1.A2.A3.D 8 4.(1)方程有两个相等的实数根； x2=3-4 (2)方程没有实数根； 8 (3)方程有两个不相等的实数根. 4.3x2+9x-1=0 5.4m-4>1=1<1 5.(1)x1=3,x2=-1;(2)方程无 6.A7.m=5;x1=x2=2. 实数根， 6.D &D2号 7.(1)因式分解法，(2)公式法，过 10.A11.A12.D 程略.x1=3,x2= 3 13.(1)证明：原方程可变形为x2 -5x+6-m=0, 8.D9.A10.A .△=(-5)2-4(6-m)=1十 11.x1=4,x2=-112.2 4ml,又.m≥0，∴.△>0， 13.(1)0=-1+√6，x2=-1√6； .方程总有两个不相等的实 1 (2)x1=12=一29 数根. (2)由题意，得|m=2,∴.m (3)=2+10 3 2=2-10 土2，.原方程为：x2-5x十4 3 =0,解得x1=1,x2=4, 14.有错误，错在没有化成一般形 故m的值为士2，方程的另一 式.正确的结果为x1=一√6十 个根是4. 22,x2=-√6-2√2. 15.(1)证明：b2一4ac=(k-3)2, 141025:@}m+; x= k+3士√/(k-3)2 (2)证明mr+2x+之=0， 2 ,解得 x1=3,x2=k, 这里，a=m,b=2t,c=21, ∴.无论k为何值，此方程总有 一个根是x=3. ∴A=(2)2-4m·2n=4 40 2mn, 阶段提升自测（一） .2= m+=m 1-5 CDCAA 6-8 BCB 9.-310.±√711.1212.0 +n2-2mn=(m-n)2≥0， 13.x1=x2=5 ∴.关于x的“菱系一元二次方 14.(1)x1=2+√5，x2=2-√5； 程”mx+2x+2n=0必有 5 (2)x=2,x=1:(3)= 实数根。 21.2.5一元二次方程的根与 1 系数的关系 15.原方程化为m.x2-(3m-1)x 1.A2.B【变式】2020 +2m-1=0, 4(1)0:(2) 2 5.D 由题意，得m≠0，△=b-4ac =[-(3m-1)]2-4m(2m 6.另一个根是2十√5，c的值是一1. 1)=1,解得m=0(不符合题 7.A8.D9.C10.D 意，舍去)，m2=2,∴.原方程化 11.1412.x2-6.x+6=0 为：2x2-5.x+3=0, 13.(1)k的取值范围为k>-1; (2)1 解得山=1=号 14.（1)证明：，△=[-(2m+1)]2- 16.(1)等腰三角形，理由略； 4(+m)=4m2+4m+1 (2)直角三角形，理由略； 4m2-4m=1>0, (3)x1=0,x2=-1. ∴.无论m取何值时，方程都有 17.(1).△=[-(2k+1)]2-4× 两个不相等的实数根， (2)由题意，得a十b= 1X(分-2)=4级+4+1 -(2m+1)=2m+1, 2k2+8=2k2+4k+9=2(k 1 +1)2+7>0, ab-mitm-m+m. 无论k为何实数，方程总有 1 两个不相等的实数根； (2a十b)(a+2b)=20,即2(a (2)由根与系数的关系得出x1 +b)2+ab=20, ∴.2(2m十1)2十m2十m=20, 十=+1函=2-2. 整理得：m十m一2=0，解得：m x1-x2=3,.(x1-x2)2= =-2,2=1, 9,.(x1十x2)2-4x1x2=9, .m的值为一2或1. 15.(1)5123 (2+1)-4×(号2-2) (2)因为s,t满足2s2一7s+1 =9,化简得k2十2k=0, =0,t2-7t十2=0，且st≠1， 解得k=0或k=-2. 则2()-7·+1=0. 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 所以、和可看成方程2x2 1.B2.7m3.16cm 4.小路的宽应是2m. 7x十1=0的两个根， 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽 i=2 为8m时，猪舍面积为80m. 6.√5-17.2 则1一名即1=。2，所8小林应把绳子剪成12m t 和28cm两段； 以 2st+2 7t-2+2 st+31+1= 71一2+3t+1 (2)小峰的说法是对的.理由略. 2 9.(1)36-3x;(2)8米 14 1 13 10.(1):S△m=21(8-21), 41 SAABC-2X4X8=16. 2.A 3.(1)(680一10x);(2)当该种书 2(8-20)=16× 包销售单价为42元或56元 时，销售利润是3120元. 整理得t2-4t十4=0. 4.有盖纸盒的底面边长为8cm. 解得t=2. 5.(1)利用待定系数法易求y与x 答：当t=2s时△PCQ的面积 之间的函数表达式y=一x十 1 为△ABC面积的 100; (2)根据题意得：x(一x+100) L2)当SAo=)SA时 =2500, 24(8-20=16×2, 整理得：x2-100x+2500=0, 解得：x1=x2=50. 整理得t2一4t十8=0， 答：每个拉布布盲盒的售价为 △=(-4)2-4×1×8=-16 50元. <0,此方程没有实数根， 6.(1)(120-2x) ∴.△PCQ的面积不可能是 (2)①由题意得：(x-15)(120 △ABC面积的一半. -2x)=900, 第2课时传播问题和增长率问题 整理得：x2-75x十1350=0， 1.C2.C3.D4.A5.10% 解得：x1=45,x2=30(不符合 6.3月份到5月份营业额的月平 题意，舍去)， 均增长率为20%. 答：该雕花剪纸文创画每幅的 7.C8.D9.D10.B 售价应为45元； 11.20% ②当x=45时，每天销售量为 12.(1)每轮传染中，平均一个人 120一2×45=30（幅）， 传染10个人； ∴.30×0.8=24（元）， (2)按照这样的速度传染，第 答：商家每天通过销售该雕花 三轮将新增1210名感染者. 剪纸文创画捐款24元. 13.任务1： 7.选择方案二 设第一季度到第三季度生产 综合与实践（一）数形结合 量的每季度增长率为x,根据 与方程思想 题意得：200(1+x)2=288, 【理解应用】② 解得x=0.2=20%,x=-2. 【类比迁移】十 (x+x+2) 31 2(不符合题意，舍去)， 答：第一季度到第三季度生产 -4X1+()”= 量的每季度增长率为20%； 【拓展应用】士231或3 任务2： 综合与实践（二）数形规律 设增加a条生产线，则每条生 与方程思想 产线产能为(300一20a)万个/ (1)设S=1+2十3+…十n-1+n 季度，根据题意得：(1十a) ①，由①式倒序：S=n十n一1十… (300-20a)=1200,整理得a +2+1②， -14a+45=0,即(a-5)(a ①+②，得：2S=(n+1)+(n-1 9)=0,解得a1=5,a2=9, +2)+…+(n+1)=n(n十1)， 在增加产能同时要节省投 入成本，.a=5. 2n(n十1)，.前n行的点 答：应增加5条生产线， 第3课时营销与方案问题 数和为2(n十1D: 1.(3+x)0.5x(4-0.5.x) (2)15 (3+x)(4-0.5x)=15 (3)①这个点阵的点数和能是 42