精品解析：2026年四川广元市利州区九年级第二次学业水平质量检测数学试题

2026年利州区九年级第二次学业水平质量检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的算术平方根在数轴上对应的位置是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B. 了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C. 数据2、3、4、2、3的众数是2 D. 甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 5. 我国古代数学在方程领域有着辉煌的成就．《九章算术》中记载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈．问门的高和宽各是多少？设宽为尺，则依题意列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 ( ） A. B. C. D. 8. 如图1，在矩形中，，，动点P以的速度自A点出发沿折线方向运动，动点Q以的速度自A点出发沿折线方向运动，若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，两点相遇时都停止运动，记的面积为，且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以为直径作，点在上，是劣弧上一点，与相交于点．，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数 （），抛物线与轴交于，两点 ，与轴交于点，顶点为有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式 对全体实数恒成立，则 下列判断中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共计24分） 11. 根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数431840000000用科学记数法可以表示为 _____________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 13. 若是方程的根，则代数式的值是____． 14. 关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则a的取值范围是______ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上．以、为边，在第二象限内作矩形，点的纵坐标为，点、分别在线段、上，沿将四边形翻折，点与点恰好重合，点的对称点为．若点和线段的中点都在双曲线上，则_______． 16. 如图，在Rt中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的最小值为_____． 三．解答题（共10小题，共计96分） 17. 先化简，再求代数式的值，其中． 18. 如图，在 中，，将 绕点 A 顺时针旋转 得到，点 C 的对应点 E 落在线段 上，连接 ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，，求四边形 的面积． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转的对应点Q； （2）在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H． 20. 某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查．本次选考科目分为四项（项目：跳绳；项目：足球；项目：立定跳远；项目：篮球），要求每名学生必须选择且只能选择其中一项．调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了 名学生，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 ，所对的圆心角为 度； （3）请用画树状图法或列表法，求小明和小红选择同一个项目的概率． 21. 如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为，坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为，所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：， ， ，， ， ，） 22. 某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售．已知每个型水杯的进价比型水杯贵元，且用元购进型水杯的数量与用元购进型水杯的数量相等． （1）求型、型水杯每个的进价； （2）该店计划购进型水杯个．已知型水杯每个售价元时可全部售出；市场调查发现，型水杯每涨价 元，销量就减少个．设型水杯涨价元，销售完这批水杯的总利润为元．求与之间的函数关系式，并求出最大总利润． 23. 如图将直角三角板（）如图放置于平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的横坐标为，，且点与线段的中点均在双曲线（）上． （1）求的值； （2）设直线的解析式为，求关于的不等式的解集． 24. 如图1，A，B，C在上，F是延长线上一点，且，取的中点G，连接并延长，交过点A且与平行的直线于点D．连接，交于点E(点E不与点B重合)，已知． （1）求证：是的切线； （2）如图2，当圆心O在线段上且时，求线段的长． 25. 平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【特例探究】 如图1，在矩形中，，点E是矩形内一动点，且．将绕点C逆时针旋转，并放大为原来的3倍后，点E的对应点为点F．连接，交的延长线于点G，连接． （1）判定四边形的形状，并说明理由； （2）求的最小值； 【类比探究】 （3）如图2，四边形中，，，．连接，若，直接写出的最大值． 26. 若抛物线（是常数，）经过点，． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足，当对于任意的，满足时，都有．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年利州区九年级第二次学业水平质量检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的算术平方根在数轴上对应的位置是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再求出的算术平方根为，估算出的大小，结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵，的算术平方根为， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的算术平方根在数轴上对应的位置是点． 2. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义（轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合）． 依次分析每个选项的图形，判断是否同时满足轴对称和中心对称的条件． 【详解】A、图形沿中间竖直线折叠后两边能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，同时满足两个特征； B、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； C、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； D、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形． 故选：A． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则运算即可求出答案． 【详解】解：（A），故错误； （B），故错误； （C），故错误； （D） ，故D正确； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则的应用，熟练运用运算法则是解决本题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B. 了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C. 数据2、3、4、2、3的众数是2 D. 甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率意义、调查方式选择、众数定义、方差性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．中奖率反映的是每次抽奖中奖的可能性大小，做100次游戏也不一定会中奖，即选项A错误； B．一个班的同学数量较少，全面调查可以得到准确的身高数据，适合用全面调查，即选项B正确； C．数据2、3、4、2、3中，2和3都出现2次，众数是2和3，即选项C错误； D．当平均数相同时，方差越小数据越稳定，又，即乙组数据更稳定，故选项D错误． 5. 我国古代数学在方程领域有着辉煌的成就．《九章算术》中记载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈．问门的高和宽各是多少？设宽为尺，则依题意列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，一元二次方程的应用，设门宽为尺，则高为尺，对角线为10尺，根据勾股定理，宽与高的平方和等于对角线平方即可列出方程． 【详解】解：设宽为尺，则高为尺，对角线为10尺， ∴根据勾股定理得， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，，根据平行四边形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出点是的中点，，根据三角形中位线的定义和性质得出，结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即点是的中点，， ∴是的中位线。 ∴， ∴平行四边形的面积为． 7. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 ( ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的概念得出点在上，根据圆周角定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵，点是的中点，为的直径， ∴点到点的距离等于的半径， 即点在上， ∴， ∴． 8. 如图1，在矩形中，，，动点P以的速度自A点出发沿折线方向运动，动点Q以的速度自A点出发沿折线方向运动，若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，两点相遇时都停止运动，记的面积为，且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第一阶段在上、在上，由为直角三角形直接求出,令得，第二阶段，用割补法求出，由顶点式知该阶段恒成立；第三阶段都在上，令得，从而． 【详解】解：当时，在上，在上，， ， 由图知时，， ， 解得， ， 令， 解得，即， 当时，在上， 在上，， ， ， ， ， 当时取最大值4，当时, 当时，恒成立， 当时，在上， 在上，， ， ， ， 令， 解得，即， ． 9. 如图，以为直径作，点在上，是劣弧上一点，与相交于点．，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，根据圆周角定理得出，根据勾股定理求出，根据圆周角定理推得，，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：连接，，如图： 根据题意可得，， ∵，， ∴， 在中，， 故， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 10. 已知二次函数 （），抛物线与轴交于，两点 ，与轴交于点，顶点为有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式 对全体实数恒成立，则 下列判断中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式求得对称轴为直线即可判断①②，根据当时，抛物线与x轴有交点，得出，分别求得和时的函数值，即可得出，即可判断③，根据 对全体实数恒成立，可得，，解不等式即可求解． 【详解】解：二次函数对称轴公式为，本题中，代入得：，与结论一致，①正确． 二次函数开口由决定，时抛物线开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，②正确． ∵ ，顶点在第一象限，在对称轴右侧，且顶点纵坐标为正，故抛物线必须开口向下． 当时，， 当时， ∵抛物线在时与x轴有交点， ∴ ， 构造关于a的函数， ∴当时，可得；③正确． ∵ 对全体实数恒成立． ∴，且 解得，与矛盾，故不存在这样的，④错误． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共计24分） 11. 根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数431840000000用科学记数法可以表示为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可解答． 【详解】解：将改写为时，可得，小数点向左移动了位， 原数的绝对值大于， ，即． 12. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 13. 若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【解析】 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 14. 关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则a的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先写出不等式的解集，再根据有3个整数确定a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ∴该不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有三个整数解， ∴这三个整数解为0、、， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上．以、为边，在第二象限内作矩形，点的纵坐标为，点、分别在线段、上，沿将四边形翻折，点与点恰好重合，点的对称点为．若点和线段的中点都在双曲线上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，，结合题意设，，则点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据折叠的性质得出，，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，求出线段的中点的坐标为，根据反比例函数上点的坐标特征得出，结合勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，， 则点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 由题可知，四边形沿翻折得到四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴点的坐标为； ∴线段的中点的坐标为 ∵点和线段的中点都在双曲线上， 故将、代入，得，， 整理，得； 在中，， 即， 故 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 故将代入，得． 16. 如图，在Rt中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，由翻折得到．在上取点G，使得，连接，，证明可得，因此，从而．过点G作于点H，通过解直角三角形求出，即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴． 如图，在上取点G，使得，连接，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长． 过点G作于点H， ∵，， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，． ∴的最小值为． 三．解答题（共10小题，共计96分） 17. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入特殊角的三角函数值计算，再代入求解即可． 【详解】解： , ∴原式. 18. 如图，在 中，，将 绕点 A 顺时针旋转 得到，点 C 的对应点 E 落在线段 上，连接 ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，，求四边形 的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，，进而证明； （2）过点B作于点，证明是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点B作于点， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转的对应点Q； （2）在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，根据矩形的性质可得点O即为圆心；连接延长交于点N，连接和，交于点Q，可证明，有，结合，直径所对的圆周角为直角即可知点Q即为所求； 取格点M，连接，分别与交于点G和点K，则，，根据垂径定理知，，可证，有，即可判定；连接，延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，进一步证得，则，则，结合三线合一即可证明即可． 【小问1详解】 解：如图，取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，，根据矩形的性质可得点O即为圆心； 连接延长交于点N，连接和，交于点Q， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点Q即为所求； 【小问2详解】 解：取格点M，连接，分别与交于点G和点K，如图， 则，， 根据垂径定理知，， ∴， ∴， ∴， 连接，延长交于点H，连接，如图， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 则点H为的中点． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到所需的格点，再结合三角形和圆的性质求解． 20. 某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查．本次选考科目分为四项（项目：跳绳；项目：足球；项目：立定跳远；项目：篮球），要求每名学生必须选择且只能选择其中一项．调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了 名学生，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 ，所对的圆心角为 度； （3）请用画树状图法或列表法，求小明和小红选择同一个项目的概率． 【答案】（1），图见解析 （2）， （3）小明和小红选择同一个项目的概率为 【解析】 【分析】（1）根据项目的人数除以百分比求出学生的总人数，进而求出项目的人数，即可解答； （2）根据项目的人数除以学生的总人数，即可求出的值，进而求出项目所对的圆心角即可； （3）列表求出所有结果总数和符合条件的结果数，再用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：（名）， 故一共调查了名学生． 样本中选考科目是“足球”的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， 即； ， 即D所对的圆心角为度． 【小问3详解】 解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： 小明 小红 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由表格可知共有种等可能结果，其中小明，小红选择同一个项目共有种结果， 因此他们选择同一个项目的概率为． 21. 如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为，坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为，所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：， ， ，， ， ，） 【答案】的高度约为121米 【解析】 【分析】过作于，过作于，先证明四边形，是矩形，由坡度的定义求出、的长，得的长，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过作于，过作于，由题意可知，，米，米，米， 如图所示： ∴四边形，是矩形， ∴，，米，，， ∵当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为， ∴，， ∵， ， 斜坡的坡度为，米， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， 米，米， 米， （米）， 在中，， （米）， 米， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， 即的高度约为121米． 22. 某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售．已知每个型水杯的进价比型水杯贵元，且用元购进型水杯的数量与用元购进型水杯的数量相等． （1）求型、型水杯每个的进价； （2）该店计划购进型水杯个．已知型水杯每个售价元时可全部售出；市场调查发现，型水杯每涨价 元，销量就减少个．设型水杯涨价元，销售完这批水杯的总利润为元．求与之间的函数关系式，并求出最大总利润． 【答案】（1）型水杯每个进价元，型水杯每个进价元 （2），最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设型水杯每个进价为元，则型水杯每个进价为元，根据题意，列出分式方程求解即可； （2）涨价元时，每个水杯利润为元，销量为个，据此得出与的函数关系式，结合抛物线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设型水杯每个进价为元，则型水杯每个进价为元． 根据题意，可得：， 解得：， 检验：当时， 、， 故是原分式方程的解，且符合实际意义． 则型水杯进价：（元） 故型水杯每个进价元，型水杯每个进价元． 【小问2详解】 解：涨价元时，每个水杯利润为（元），销量为（个）． 则， 整理，得， ∵， 故抛物线的开口向下， 当时，的值最大， 因为为整数，所以可以取或， 结合抛物线的对称性可得取或，利润相同， 时，， 故当涨价或元时，总利润最大，最大为元． 23. 如图将直角三角板（）如图放置于平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的横坐标为，，且点与线段的中点均在双曲线（）上． （1）求的值； （2）设直线的解析式为，求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据题意设，，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据直角三角形的性质和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据中点坐标求出点的坐标为，根据反比例函数上点的坐标特征求出，联立方程组求出、的值，即可求解； （2）先求出点和点的坐标，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图， 根据题意设，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， 即， 整理，得①； ∵点为线段的中点，且点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点、均在双曲线上， 故将、代入，得，， 即， 整理，得②， ∴联立①②得， 解得（负值舍去）， 故． 【小问2详解】 解：由（1）可得点的坐标为，点的坐标为， 结合图象可知：不等式的解集为或． 24. 如图1，A，B，C在上，F是延长线上一点，且，取的中点G，连接并延长，交过点A且与平行的直线于点D．连接，交于点E(点E不与点B重合)，已知． （1）求证：是的切线； （2）如图2，当圆心O在线段上且时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，得到，进而证明； （2）过点B作于点，连接，证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点， ∵，， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是 的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点B作于点，连接， 由题意及（1）知为直径，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， 在中，有， 即， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 解得． 25. 平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【特例探究】 如图1，在矩形中，，点E是矩形内一动点，且．将绕点C逆时针旋转，并放大为原来的3倍后，点E的对应点为点F．连接，交的延长线于点G，连接． （1）判定四边形的形状，并说明理由； （2）求的最小值； 【类比探究】 （3）如图2，四边形中，，，．连接，若，直接写出的最大值． 【答案】（1）矩形，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点C逆时针旋转并放大为原来的3倍得到，证明，进而解题； （2）过点A作于点H，设，交于点，证明 ，得到，进而解题； （3）过点作，使，连接，，证明及 ，得到 ，进而求解． 【小问1详解】 解：由题意，将绕点C逆时针旋转并放大为原来的3倍得到， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， 即， 又 ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 过点A作于点H，设，交于点， 在矩形中，， ∴ ， 在矩形中， ， ∴ ， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，有 ， 当点E与点H重合时，， ∴ ， ∴ ，即最小值为3； 【小问3详解】 解：如图3，过点作，使，连接，， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， 即， ， ， ， ， ， 的最大值为7， 的最大值为． 26. 若抛物线（是常数，）经过点，． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足，当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）把点，代入即可求解； （2）根据根的判别式解题； （3）用含和的式子表示出，根据证明即可． 【小问1详解】 解：把点，代入， 得：， ，得 ， ∴； 【小问2详解】 解：原抛物线为，向上平移2个单位长度后为 ， ∵该抛物线与轴没有交点， ∴ ， 由且，可得， ∴ ， 解得； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵对于任意，都有 ， ∴恒成立， ∵时，， ∴必有， 此时的最小值在处取到， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $