山东泰安市东平县东平高级中学2026届普通高等学校招生全国统一考试考前自测数学试题

2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（五） 数学·参考答案 1.A因为A={x|-2<x≤1}，B={-3,-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1}.故选A. 2.D由平面a∥平面B,得平面a,3无公共点，而直线aCa,直线bC3,所以直线a,b无公共点.故选D. 3.B由样本数据2a,10,12的平均数为8，得+a+10+12=8,解得a=8,当a=8时，l1og.10=1og10>1:由 4 log.10>1,知必有a>1成立，不等式loga10>1台log10>loga,因此1<a<10,所以“样本数据2，a,10,12 的平均数为8”是“1oga10>1”的充分不必要条件.故选B. 4A函数/x)=inr-3x+aa∈k)的定义坡为0，十).则了()=-3=.因为x>0,由了(x -3L>0,可得0<r<3,故函数f(x)的单调递增区间为(0，分）故选A. 5.A由sin9 Bcos(a-A)-eosin(g-a）=nos(a-A)+cosin(a)=sin+(am]=sina=青， 又a为锐角，则osa=号放ana一识。青放选A 6.B由已知，圆M:(x-1)2+(y一2)2=1的圆心为M(1,2),因为点M在抛物线C:4x-y2=0上，所以 4×1一m×22=0,解得m=1,所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点在x轴正半轴上，且2=4，所以焦点坐标 为(1,0).故选B. 7.C由每行中任意两个相邻数字之和为偶数，即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另 一个数需为偶数，因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况：①第一行为奇数，第二行为 偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，所以共有A×A×2=72(种)不同的填法.故选C. 8.Bsin'B=cos A-cos C.sin'B=cos'A-cos'C-1-sin'A-(1-sin'C)= sinC-sin2A,由正弦定理可得2c2-2a2=b,如图，作BD⊥AC于D,设AD=x,CD= y,BD=h,因为2a2+b2=2c2,所以2(y2+h2)十(x十y)2=2(x2+h2),化简得x2-2xy D Y 3y=0,解得x=3y,易知an(A+C)=-tanB,A+nC三tamB,所以 h2 m界B风此adc十十卿2-若++a 1-tan Atan C 1 兴+-1紧+套，当且仅当=y时取得最小值四放连B h 4yh 4h 4y 9AcD-得98-11+1：1-D-1与-4与2-2+i因比=2+ 12-12 1-(-1) 2 i,其共轭复数之=2一i.选项A:之=2十i,虚部为1，故A正确；选项B:x=√22十1？=√5≠5，故B错误；选 项C:之=2-i,对应点(2，一1)位于第四象限，故C正确；选项D:代人之=2十i得：(2十i)2一4(2+i)+5=(4 +4i+)一8-4i+5=3十4i-8-4i+5=0.满足方程，故D正确.故选ACD. 10.AC因为f(x)=xlnx-x的定义域为(0，+o∞)，f'(x)=lnx,令f'(x)=0得x=1,所以当x∈ (0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，故当x=1时，f(x)取 【冲刺压轴卷（五）·数学参考答案第1页（共6页）X】 得极小值，A正确；因为f(x)=xlnx一x=x(lnx一1)，且x>0,所以当f(x)=0时，x=e,f(x)只有一个 零点，B错误；因为f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以当x=1时，f(x)取得极小值， 也是最小值，故f(x)的最小值为f1)=-1,C正确：令g(x)=f(x)-fD=lnx-x-(n-1),则 g(x)=lnr一，易得g(x)在(0，十©)上单调递增，又g1)=-1<0,g(e)=1-。>0,故g()在 (1,e)内有唯一零点x,当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(xo,十∞)时，g(x)>0,g(x) 单调递增，故g(x)=f(x)一fC只有一个极值点xo,D错误.故选AC. .ACD若C是内切圆与x轴的切点，PP十PF=2a,PA=PB=2a, AF=CF,BF2=CF2,PA+AF+PBI+BF2=2a,AF 十1BF,=a,即1CF+1CF.=2c=a,所以离心率e台=号A对：若D0) 为P1延长线与x轴的交点，P(x2,2),I(x,y)且x,y≠0，则+兰=1，故6 由角平分线的性质可得=册=，则卧- a'y P-后=所以之-=mma千则= DI PF+PF2 a DPA则山=故终=a+所以西放 e 又pF=a+e=PF a+e2 bc2 十y1,则令士一1且xy≠0，所以动点1的轨迹是一个不含xy轴交点的椭圆曲壁 (a十c) b2c2 y2 完整椭圆锁迹，B错：由上分析，，一十：一产。则，X,一之之 x2-c2 (a十)为定值，C对：由图，由于P不在坐标轴上，而内切圆1的半径在P靠近x轴时趋向于0，靠近y轴 时趋向于。午。即内切圆I的半径rE(0,。年)，故其面积不存在最值，D对：放选ACD, 12.2 f)的定义域为K.因为fx)为奇函数，则0)=0.即n=0,此时f)=车有f(一x)= 一)于一千一f(),则此时f(x)为奇函数，满足题意.则f(1)= 13.是将函数f(x)=2sin(2x+号)的图象向左平移9个单位长度，可得g(x)=2sin[2(x+p)+号] 2sn(2x+2g+5）因为g()为偶函数，放2g+号=受+kx(k∈Z),可得9=经+臣（伪∈Z).k=0时9 瓷k=一1时g=一受可得1的最小值为受 14.128第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即2的倍数；第二轮报数，标签号2,4,6，…，200的报数结 果分别为1,2,3，…，100，剔除标签号2,6,10，…，198，剩余的标签号为4的倍数；第三轮报数，标签号4,8， 12,…,200的报数结果分别为1,2,3，…，50，剔除标签号4,12,20，…，196，剩余的标签号为8的倍数；重复 以上步骤可得，当门数M∈[2,2+1)(k∈N)时，最后留下的一道门的标签号为2，故标签号为128. 【冲刺压轴卷（五）·数学参考答案第2页（共6页）X】 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, 则由等差数列求和公式得：Sw=10a1十10X9.4=65, 2 2分 又因为a1=2,所以可得10X2+45d=65→d=1,……………4分 即数列{an}的通项公式为Qm=2十(n一1)X1=n十1.……………6分 (2)由1 1 1 1 am·aa+1(n+1)(n+2)n+1n+2' …9分 a1·a2a2·a3 Tn十1n十2-2n+22(n+2) …………………13分 16.解：(1)甲队获得本场比赛胜利分：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，…2分 则甲队获得本场比赛胜利的概率P= 号)+号×1-号)×号+(1-)×号×号-器 …6分 (2)由题意知X可取：2,3，… …7分 当X=2时，甲队胜的概率为： 号)=专，乙队胜的概率为(1-号)=则P(X=2)-号+- 当X=3时，P(X=3)=1-P(X=2)=1-号=9 …………11分 所以X的分布列为： X 2 3 P 5 4 9 13分 数学期望B(X)=2X号+3X号-得 15分 17.解：(1)取PB的中点E,连接EA,EN, 在△PBC中，EN∥BC且EN=BC,又AM=AD,AD∥BC,AD=BC, 所以EN∥AM,EN=AM,所以四边形ENMA是平行四边形，所以MN∥AE.…2分 又MN在平面PAB,AEC平面PAB, 所以MN∥平面PAB.……3分 (2)过点A作PM的垂线，垂足为H, 因为平面PMC⊥平面PAD,平面PMC∩平面PAD=PM,AH⊥PM,AHC平面PAD, 所以AH⊥平面PMC,又CMC平面PMC,所以AH⊥CM. 因为PA⊥平面ABCD,CMC平面ABCD,所以PA⊥CM.…5分 因为PA∩AH=A,PAC平面PAD,AHC平面PAD, 【冲刺压轴卷（五）·数学参考答案第3页（共6页）X】 所以CM⊥平面PAD. 又ADC平面PAD,所以CM⊥AD.… …7分 (3)设AC∩BD=O,过O点作OZ⊥ABCD,以O点为坐标原点，OB,OC,OZ为坐标轴建立空间直角坐 标系， 因为CM LAD,M为AD的中点，所以AC=CD=2, 设PA=a,BD=AB2+AD2-2AB·ADcos120°=12，所以BD=2√5， P(0,-1,a),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-√3,0,0)，PC=(0,2,-a),BC=(-5,1,0),Ci= (-5,-1,0）,…9分 n1·PC=0, 2y1-a21=0, 设平面PBC的一个法向量n1=(x1,y1,1)→ m.BC=0 -√5x1+y1=0, 取y1=5a→x1=a,刘=2√3→1=(a,W5a,2W5)；…10分 n2·PC=0,f2y2-az2=0, 同理设平面PCD的法向量n2=(x2,y2,2)→ n:.CD=0 -√5x2-y2=0, 取y2=5a→x2=-a,之2=25→n2=(-a,W3a,2W3)，…11分 设平面PBC与平面PD的夹角为0.cos-lcos(mm)一一 -a2+3a2+125 a2+3a2+12 8 所以a2=9(a>0)→Q=3,…13分 Sxwwn-2ACXBD-jX2X2/3-2/3. VP-ABCD=- S花形w0h三X3X23空23.……15分 3 18.解：(1)由题可得：a=1,b=√2，c=√a+b=√5， 所以双曲线C的左顶点为P(一1,0)，… …2分 双曲线的离心率为e=仁=√尽.… ……4分 [y=kx+m, (2)由 消去y整理得(k2-2)x2+2km.x+(m2+2)=0, 2x2-y2=2, 则△=(2km)2-4(m2十2)(k2-2)=8(m2+2-k2)>0,且k≠土√2， 【冲刺压轴卷（五）·数学参考答案第4页（共6页）X】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2= -2km k3-2 2k+m=1, 由M(2,1)为AB的中点，可得 一2km=4, k2-2 解得=4，=7，满足△>0，……9分 所以直线l的方程为y=4x-7,即4x-y-7=0.…………10分 -2km 2知，x1十4=0,12=2，且PA=（+1y,PB(x2+12,… 则PA·PB=(十1)(x2十1)+y12=(1+1)(x2十1)+(kx1+m)(kx2十m) =(k2+1)x1x2+(km十1)(x1十x2)+(m2+1) =(+1)…紧号+m+1)·2+(m+1 =3k2-2km-m2=3k+m)(k-m2 k2一2 k2一2 13分 因为以AB为直径的圆恒过点P,则有PA·PB=0, 即(3k十m)(k-m)=0,解得m=k或m=-3k, 15分 当m=k时，直线l:y=k(x十1)过P(一1,0)，不符合题意；……… 16分 当m=-3k时，直线l:y=(x-3)过定点(3,0)， 所以直线l过定点，该定点坐标为(3,0).…… 17分 19.解：(1)x∈（-1，+∞)，令t=1十x,则t>0,f(x)=n 设g)=.求导得g()=1,令g(a)=0解得=e, 当t∈(0，e)时，g'(t)>0,g(t)单调递增，当t∈(e,十o∞)时，g(t)<0,g(t)单调递减，…2分 “g)在=e时取得最大值，最大值g(e)=已，即了(x)的最大值为。 …………4分 (2):l为A(a,f(a))处的切线，∴.切线l1的方程为：y=f(a)(x-a)十f(a), 令h(x)=f(x)-[f(a)(x-a)+f(a)],则h(a)=f(a)-[f(a)(a-a)+f(a)]=0, 求导得(x)=f(x)-f(a)=n1十x)_n(1十a, 6分 1十x 1+a 由(1)知，f(x)=g(t)(t=1十x),g(t)在(0，e)上单调递增， 当-1<a<0时，0<1十a<1,则g(t)在(0,1)上单调递增，…7分 若a<x<0,即1+x>1十a,则h'(x)>0,h(x)单调递增； 若-1<x<a,即1十x<1十a,则h'(x)<0,h(x)单调递减； 若x≥0，即1+x≥1，则g(1十x)≥g(1)=0,而g(1十a)<0,故h'(x)>0,h(x)单调递增， .h(x)在x=a处取得最小值h(Q)=0,………………9分 【冲刺压轴卷（五）·数学参考答案第5页（共6页）X】 ∴.当x≠a时，h(x)>0,即曲线在切线上方（除A点外），命题得证.…10分 (3:F(x)=(1+x)ef'(x)=1+x)e.血+2=e1n(1+x. 1+x 求导得F()=e[n1+x)+十]， 令F)-Gx).则G)c[n1t)t品，a] 令H(x)=n(1+x)+1千x1+x) 2 1 12 2 x2+1 求导得H'(x)=1十x1千)+Q于x)=1+), x>-1,.H′(x)>0, .H(x)在[0，十∞)上单调递增，∴.H(x)≥H(0)=1>0, ∴.G(x)>0在[0，十∞)上恒成立，故G(x)在[0，十∞)上单调递增，…12分 F(0)=0, .原不等式F(s十t)>F(s)十F(t)等价于F(s十t)-F(s)>F(t)-F(0),…13分 4p(x)=F(z+t)-F(x)=e+'In (1+x+t)-e"In (1+x), p)=e[na++)十1十+】e[n1+)+十z]=G)Gx,15分 .G(x)在(0，十∞)上单调递增，t>0, ∴.G(x+t)>G(x),p'(x)=G(x+t)-G(x)>0,(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴.对任意的s,t∈(0，十∞)，p(s)>p(0),即F(s十t)-F(s)>F(t)-F(0), .对任意的s,t∈(0，十∞)，有F(s十t)>F(s)十F(t),命题得证.…17分 【冲刺压轴卷（五）·数学参考答案第6页（共6页）X】绝密★启用前 2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（五） 数学 全卷满分150分考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区城内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A=(x|一2<x≤1)，B={-3、-1,0,1,2),则A∩B= A.{-1,0,1)》 B.{-1,0) C.{1) D.(0,1) 2.若平面a∥平面B,直线aCa,直线bCB,那么直线a,b的位置关系一定是 A.相交 B.平行 C.异面 D.无公共点 3.“样本数据2，a,10,12的平均数为8”是“1oga10>1”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)=lnx-3x十a(a∈R),则∫(x)的单调递增区间为 A.(o.) B(合+∞) C.(0,3) D.(3,十∞) 4 5.已知a为锐角，且sin Bcos(a一B)-cos Bsin(B-a)=5,则tana= A B是 c号 D号 6.已知抛物线C:4x一my2=0恰好经过圆M:(x一1)2+(y-2)2=1的圆心，则抛物线C的焦点 坐标为 A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(0,-1) 7.将数字1,2,3,4,5,6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相 同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有 A.36种 B.48种 C.72种 D.108种 【冲刺压轴卷（五）·数学第1页（共4页）X】 回▣ a^“"1.%。a 可只 &在锐角△ABC巾，已知分inB=coA-cosC,则alA十alB+alC的最小值为 A.5 B.v13 2 C.3 3 D.13 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数：=+3（其中1是虚数单位），之为之的共轭复数，则 1+i A.之的虚部为1 B.x|=5 C.之在复平面内对应的点位于第四象限 D.之是方程x2一4x十5=0的一个复数根 10.已知函数f(x)=xlnx一x,则 A.f(x)有一个极值点 B.f(x)有两个零点 C.f(x)的最小值为一1 D.f(x)一fC有两个极值点 1.给定椭圆后+芳=1(a>6>0)上有一动点P(不在坐标轴上)，R,R分别是椭圆的左右焦 点，△PFF2的内切圆I与PF1,PF2分别切于A,B两点，则 A若PA=a,则椭圆的离心率为司 B.动点I的轨迹是一个椭圆 C.直线IF1,IF2的斜率之积为常数 D.内切圆I的面积无最大值也无最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,若函数f)=牛为奇函数，则f1)= 13.将函数f(x)=2sin(2x十)的图象向左平移9个单位长度后，得到函数g(a)的图象，若 g(x)为偶函数，则|的最小值为 14.如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“1,2,3，…，200”的标签号，某人从第一道 门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打 开.数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为 起点123…20网 -+ 【冲刺压轴卷（五）·数学第2页（共4页）X】 回 al“"1…%o¤ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知等差数列(an)的前n项和为Sn,且a1=2,S1o=65. (1)求数列(an)的通项公式； (2)求数列/1 的前n项和Tm an·an+1 16.(15分) 拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先 胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲、乙两队进行一场拔河比赛，已知每 局比赛甲队胜的概率为号，且每局比赛的结果相互独立。 (1)求甲队获得本场比赛胜利的概率； (2)记X为本场比赛结束时比赛的局数，求X的分布列及数学期望E(X). 17.(15分) 如图，已知四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥ 平面ABCD,M是AD的中点，N是PC的中点. s,M (1)求证：MN∥平面PAB; (2)若平面PMC⊥平面PAD,求证：CM⊥AD; (3)在(2)的条件下，且平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为号，求四棱锥P-ABCD的 体积. 【冲刺压轴卷（五）·数学第3页（共4页）X】 al“"1…%oa 18.(17分) 如图，设双曲线C:x一号=1的左顶点为P,直线：y=x十m与双曲线 2 C相交于A,B两点，且A,B两点均异于点P. (1)求点P的坐标，及双曲线C的离心率； (2)若线段AB的中点为M(2,1),求直线1的方程： (3)若以线段AB为直径的圆恒过点P,试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的 坐标；若不过定点，请说明理由， 19.(17分) 已知函数f(x)的定义域为(-1，十o0),其导函数f(r)=血+，1为点A(a,f(a)处的 1十x 切线 (1)求f(x)的最大值； (2)证明：当一1<a<0时，除点A外，曲线y=f(x)均在l1上方； (3)若F(x)=(1+x)ef'(x),证明：对任意的s,t∈(0，十∞)，有F(s十t)>F(s)+F(t). 【冲刺压轴卷（五）·数学第4页（共4页）X】 a^“x"1%o¤