11.4一元一次不等式（组） 同步练习 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 该同步练习通过课前热身、典型例题、巩固练习三层设计，实现从基础概念到综合应用的梯度进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课前热身|不等式性质、解集计算、含参问题|基础选择填空为主，如用a+b=-2求最值，巩固单一知识点| |典型例题|新定义（母不等式）、绝对值不等式、方程组结合|综合解答题，如“母不等式”判定与参数求解，培养逻辑推理| |巩固练习|实际应用（电梯超重）、不等式组综合|选择填空解答结合，如用x+y+1=0求取值范围，强化知识迁移|

七下数学《一元一次不等式（组）》 【课前热身】 1．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 2．若不等式组的解集中的整数和为﹣5，则整数a的值为 　 　 ． 3．已知﹣2＜k＜1时，代数式kx+2k+1的值恒大于0，则x的取值范围为　 　 ． 4．关于x，y的二元一次方程ax+y＝b与cx+y＝d的部分解分别如表1，表2： x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 表1 表2 x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣1 2 5 … 则关于x的不等式ax﹣b≤cx﹣d的解集为　 　 ． 5．已知1≤ax+b＜3的解集为2≤x＜3，则1≤﹣a（x﹣1）+b＜3的解集为 　 　 ． 6．已知关于x的不等式x≤a有2024个非负整数解，若a是整数，则a为 　 　 ；若a不一定是整数，则a的取值范围是 　 　 ． 7．若关于x的一元一次不等式ax＜b的解集是，bx＜a的解集是，则a和b的取值范围分别是 　 　 ． 8．关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝1，且当x＝3时，y＝5．当x＞3时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n＜kx﹣1总成立，则n的取值范围是 　 　 ． 9．已知不等式组 （1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：　 　 ；当k＝3时，不等式组的解集是：　 　 （2）由（1）可知，不等式组解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集． 10．如图，在数轴上，点A、B分别表示数2a﹣1，1+a，且点A在点B的左侧． （1）求a的取值范围； （2）若点A、B表示的数是关于x的不等式x﹣2a＜2的解，求a的整数解． 【典型例题】 1．如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“母不等式”．特别的，一个不等式也是自身不等式的“母不等式”．例如：不等式x＞3的解都是不等式x＞1的解，则称不等式x＞1是不等式x＞3的“母不等式”．特别的，不等式x＞1也是不等式x＞1的“母不等式”． （1）判断：不等式x＜﹣1 　 　 x＜﹣2的“母不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若不等式x＜﹣5是关于x的不等式3（x﹣1）＜2x+m的“母不等式”，同时关于x的不等式3（x﹣1）＜2x+m也是不等式x＜﹣5的“母不等式”，求m的值； （3）若关于x的两个不等式x+4≤2a和（a﹣5）x＞a﹣5（a≠5），其中不等式x+4≤2a是不等式（a﹣5）x＞a﹣5（a≠5）的“母不等式”，则a的取值范围是 　 　 ． 2．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：1是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值； （3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集． 3．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式|x﹣5|＞3． 解：①当x﹣5≥0，即x≥5时，原式化为：x﹣5＞3，解得x＞8，此时，不等式|x﹣5|＞3的解集为x＞8；②当x﹣5＜0，即x＜5时，原式化为：5﹣x＞3，解得x＜2，此时，不等式|x﹣5|＞3的解集为x＜2； 综上可知，原不等式的解集为x＞8或x＜2． （1）请用以上方法解关于x的不等式：|5x﹣8|≥10； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+2y|≤16，求整数m的和． 4．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞t有解，求实数t的取值范围． 5．已知关于x、y的方程组，且﹣3≤a≤1． （1）若a＝﹣2，试求这个方程组的解； （2）若x、y的值互为相反数，试求a的值； （3）若x≤2，试求y的取值范围． 6．解一元二次不等式x2﹣4＞0． 请按照下面的步骤，完成本题的解答． 解：x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0． （1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组①或不等式组②　 　 ． （2）解不等式组①，得　 　 ． （3）解不等式组②，得　 　 ． （4）一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为　 　 ． 7．我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？ 例如：已知可得3+5＞1+2；已知可得﹣1+0＞﹣3﹣1；已知可得﹣2+1＜3+2． 请解答下列问题： （1）一般地，如果那么a+c　 　 b+d（用“＜”或“＞”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性． （2）已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，请直接写出x+y的取值范围． 【巩固练习】 1．已知实数a，b满足a﹣b＝﹣1，﹣1＜a+b＜0，则在下列判断中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足x+y+1＝0，0＜x﹣y+3＜2，则下列判断正确的是（　　） A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜y＜0 C．﹣2＜xy＜0 D． 3．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 4．若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 　 　 ． 5．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（　　） A．325＜x≤380 B．325＜x≤395 C．380＜x≤395 D．380＜x≤450 7．已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝3，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是9≤a＜11；④若不等式组有解，则a＞3．其中正确的结论是 8．已知4x+y＝1． （1）y＝　 　 ．（用含x的代数式表示） （2）当y为非负数时，x的取值范围是　 　 ． （3）当﹣1＜y≤2时，求x的取值范围． 9．已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 故答案为：﹣3≤x． 4．已知不等式组 （1）当k＝﹣2时，不等式组的解集是：　﹣1＜x＜1　 ；当k＝3时，不等式组的解集是：　无解　 （2）由（1）可知，不等式组的解集随k的值变化而变化，若不等式组有解，求k的取值范围并求出解集． 【解答】解：（1）把k＝﹣2代入，得 ， 解得﹣1＜x＜1； 把k＝3代入，得 ， 无解． 故答案为：﹣1＜x＜1；无解； （2）若k为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况： 当1﹣k≤﹣1即k≥2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为无解； 当1﹣k≥1即k≤0时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1； 当﹣1＜1﹣k＜1即0＜k＜2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k． 5．关于x，y的二元一次方程ax+y＝b与cx+y＝d的部分解分别如表1，表2： 表1 x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣1 2 5 … 表2 x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 则关于x的不等式ax﹣b≤cx﹣d的解集为x≥1　 ． 【解答】解：由表格数据可知，方程ax+y＝b与方程cx+y＝d的公共解为， 而方程ax+y＝b中y随x的增大而增大，方程cx+y＝d中y随x的增大而减小， ∴关于x的不等式ax﹣b≤cx﹣d的解集为x≥1， 故答案为：x≥1． 6．已知1≤ax+b＜3的解集为2≤x＜3，则1≤﹣a（x﹣1）+b＜3的解集为 　﹣2＜x≤﹣1　 ． 【解答】解：由题意解不等式组1≤ax+b＜3得， x 可得， 解得， 由题意得不等式组1≤﹣2（x﹣1）﹣3＜3， 解得﹣2＜x≤﹣1， 故答案为：﹣2＜x≤﹣1． 7．已知关于x的不等式x≤a有2024个非负整数解，若a是整数，则a为 　2023　 ；若a不一定是整数，则a的取值范围是 　2023≤a＜2024　 ． 【解答】解：因为关于x的不等式x≤a有2024个非负整数解， 当a是整数时， 显然a＝2023． 当a不一定是整数时， 2023≤a＜2024． 故答案为：2023，2023≤a＜2024． 8．若关于x的一元一次不等式ax＜b的解集是，bx＜a的解集是，则a和b的取值范围分别是 a＜0，b＞0　 ． 【解答】解：∵关于x的一元一次不等式ax＜b的解集是， ∴a＜0， ∵关于x的一元一次不等式bx＜a的解集是， ∴b＞0， 故答案为：a＜0，b＞0． 9．关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝1，且当x＝3时，y＝5．当x＞3时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+n＜kx﹣1总成立，则n的取值范围是 n≤2　 ． 【解答】解：当x＝3，y＝5代入kx﹣y＝1， 得3k﹣5＝1， ∴解得k＝2， ∵x＞3时，对于每一个x的值，x+n＜2x﹣1总成立， ∴n＜x﹣1，对于x＞3恒成立， ∴n≤2． 故答案为：n≤2． 10．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：1是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值； （3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集． 【解答】解：（1）解关于x的不等式A：1﹣3x＞0，得x， 解不等式B：1，得x， 由题意得：，解得：a＝1． 12．如图，在数轴上，点A、B分别表示数2a﹣1，1+a，且点A在点B的左侧． （1）求a的取值范围； （2）若点A、B表示的数是关于x的不等式x﹣2a＜2的解，求a的整数解． 【解答】解：（1）∵数轴上点A在点B的左侧， ∴2a﹣1＜1+a， 解得a＜2； （2）∵不等式x﹣2a＜2的解集为x＜2a+2， 又∵点A、B表示的数是关于x的不等式x﹣2a＜2的解， ∴2a+2＞1+a， 解得a＞﹣1， 又∵a＜2， ∴﹣1＜a＜2． 又∵a是整数， ∴a的值为0，1． 13．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式|x﹣5|＞3． 解：①当x﹣5≥0，即x≥5时，原式化为：x﹣5＞3，解得x＞8，此时，不等式|x﹣5|＞3的解集为x＞8；②当x﹣5＜0，即x＜5时，原式化为：5﹣x＞3，解得x＜2，此时，不等式|x﹣5|＞3的解集为x＜2； 综上可知，原不等式的解集为x＞8或x＜2． （1）请用以上方法解关于x的不等式：|5x﹣8|≥10； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+2y|≤16，求整数m的和． 【解答】解：（1）①当5x﹣8＞0，即x＞1.6时，原式化为：5x﹣8≥10，解得x≥3.6，此时，不等式|5x﹣8|≥10的解集为x≥3.6； ②当5x﹣8＜0，即x＜1.6时，原式化为：8﹣5x≥10，解得x≤﹣0.4，此时，不等式5|x﹣8|≥10的解集为x≤﹣0.4； 综上所述，原不等式的解集为x≥3.6或x≤﹣0.4； （2）关于x，y的二元一次方程组， ①+②×2得，x+2y＝6m+3， ∵|x+2y|≤16，即|6m+3|≤16， ∴﹣16≤6m+3≤16， 解得m， ∴整数m的和为﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣3． 14．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞t有解，则实数t的取值范围是t＜3　 ． 【解答】解：由于|x+1|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离， 故|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为3， 由题意可得，3＞t，即 t＜3． 故答案为：t＜3． 15．已知关于x、y的方程组，且﹣3≤a≤1． （1）若a＝﹣2，试求这个方程组的解； （2）若x、y的值互为相反数，试求a的值； （3）若x≤2，试求y的取值范围． 【解答】解：（1）， ①﹣②得：4y＝4﹣8a， 解得：y＝1﹣2a， 把y＝1﹣2a代入②得：x﹣（1﹣2a）＝7a， 解得：x＝5a+1， ∴原方程组的解为：， 当a＝﹣2时，x＝﹣10+1＝﹣9，y＝1+4＝5， ∴这个方程组的解为：； （2）由（1）可得， ∵x、y的值互为相反数， ∴x+y＝0， ∴5a+1+1﹣2a＝0， 解得：a， ∴a的值为； （3）∵x≤2，x＝5a+1， ∴5a+1≤2， 解得：a， ∵﹣3≤a≤1， ∴﹣3≤a， ∴2a≤6， ∴1﹣2a≤7， ∴y≤7， ∴y的取值范围为y≤7． 16．解一元二次不等式x2﹣4＞0． 请按照下面的步骤，完成本题的解答． 解：x2﹣4＞0可化为（x+2）（x﹣2）＞0． （1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组①或不等式组②　　 ． （2）解不等式组①，得x＞2　 ． （3）解不等式组②，得x＜﹣2　 ． （4）一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2　 ． 【解答】解：（1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组①或不等式组②． （2）解不等式组①，得x＞2． （3）解不等式组②，得x＜﹣2． （4）一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2； 故答案为：（1）；（2）x＞2；（3）x＜﹣2；（4）x＞2或x＜﹣2． 17．我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？ 例如：已知可得3+5＞1+2；已知可得﹣1+0＞﹣3﹣1；已知可得﹣2+1＜3+2． 请解答下列问题： （1）一般地，如果那么a+c　＜　 b+d（用“＜”或“＞”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性． （2）已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，请直接写出x+y的取值范围． 【解答】解：（1）结论：a+c＜b+d． 理由：∵a＜b， ∴a+c＜b+c， ∵c＜d， ∴b+c＜b+d， ∴a+c＜b+d． 故答案为：＜． （2）∵x﹣y＝2， ∴x＝y+2，y＝x﹣2， 又∵x＞1，y＜0， ∴1＜x＜2，﹣1＜y＜0， ∴0＜x+y＜2． 18．已知实数a，b满足a﹣b＝﹣1，﹣1＜a+b＜0，则在下列判断中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵a﹣b＝﹣1且﹣1＜a+b＜0， ∴b＝a+1， ∴﹣1＜a+a+1＜0， ∴﹣1，故选项A错误， 选项B正确； ∵a＝b﹣1， ∴﹣1＜b﹣1+b＜0， ∴0，故选项C、选项D错误； 故选：B． 19．已知实数x，y满足x+y+1＝0，0＜x﹣y+3＜2，则下列判断正确的是（　　） A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜y＜0 C．﹣2＜xy＜0 D． 【解答】解：∵x+y+1＝0， ∴y＝﹣x﹣1， ∴x﹣y＝x+x+1＝2x+1， ∵0＜x﹣y+3＜2， ∴0＜2x+1+3＜2， ∴﹣4＜2x＜﹣2， ∴﹣2＜x＜﹣1， 故A选项错误，不符合题意； ∵﹣2＜x＜﹣1， ∴1＜﹣x＜2， ∴1﹣1＜﹣x﹣1＜2﹣1， ∴0＜y＜1，故选项B错误，不符合题意； ∵﹣2＜x＜﹣1，0＜y＜1， ∴﹣2＜xy＜0， 故选项C正确，符合题意； ∵﹣2＜x＜﹣1，0＜y＜1， ∴1， 故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 20．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵关于x的不等式组的解集为x＜3， ∴m+1≥3， ∴m≥2． 故选：B． 21．若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 a≥2　 ． 【解答】解：解2x﹣1＜3 得：x＜2， ∵不等式组的解集为：x＜2， 根据“小小取小”得：a≥2． 故答案为：a≥2． 22．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【解答】解：解方程组得：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y， ∴2a+1＞a﹣2， 解得：a＞﹣3， ， ∵解不等式①得：x， 解不等式②得：x， 又∵关于x的不等式组无解， ∴a， 解得：a≤4， 即﹣3＜a≤4， ∴所有符合条件的整数a的个数为7个（﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，共7个）， 故选：B． 23．如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（　　） A．325＜x≤380 B．325＜x≤395 C．380＜x≤395 D．380＜x≤450 【解答】解：根据已知题意可得，， 解得：325＜x≤395． 故选：B． 24．已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7； ②当a＝3，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是9≤a＜11； ④若不等式组有解，则a＞3． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：解不等式x2得：x＞1， 解不等式2x﹣a≤﹣1得：， ∵若它的解集是1＜x≤3，即，解得：a＝7， ∴①正确， ∵当a＝3，x≤1，即不等式组无解， ∴②错误， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是9≤a＜11， ∴③正确， 第1页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $