6.2.4 向量的数量积 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量数量积的基础巩固与梯度提升，通过三层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数量积定义、模长公式、垂直条件|选择1-3直接考查公式应用，填空9-10强化基础运算，夯实概念理解| |中档|数量积与模长综合、简单几何应用|选择4-5结合三角形外心、夹角计算，填空11-12及解答13提升运算推理，发展逻辑思维| |提升|复杂情境与多向量综合|选择6晶体结构、7-8概念辨析，解答14-15四边形与投影向量，体现数学建模与空间观念|

6.2.4　向量的数量积（同步检测） 一、选择题 1.若向量，满足||＝||＝1，与的夹角为60°，则·等于(　 ) A.　　　 B.　　　 C.1＋　　　D.2 2.已知向量，的夹角为45°，||＝1，||＝，则|2－|＝(　 ) A. B. C.　 D.5 3.已知⊥，||＝2，||＝3且向量3＋2与k－互相垂直，则k的值为(　　) A.－ B. C.± D.1 4.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·＝(　　) A. B.6 C.12 D.18 5.已知平面向量，满足||＝4，||＝6且(2－)·(＋2)＝－4，则向量，的夹角θ为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 6.如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝(　　) A.24 B.26 C.28 D.32 7.(多选)对于向量，，和实数λ，下列命题中错误的有(　　) A.若·＝0，则＝或＝ B.若λ＝，则λ＝0或＝ C.若2＝2，则＝或＝－ D.若·＝·，则＝ 8.(多选)若平面向量，，两两的夹角相等，且||＝1，|b|＝2，|c|＝3，则|＋＋|＝(　) A. B.3 C.5 D.6 二、填空题 9.已知，是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k＋，若·＝0，则实数k的值为________ 10.已知向量，的夹角的余弦值为，||＝1，且(2－)·＝－14，则||＝_______ 11.已知向量，满足||＝1，||＝3，|－2|＝3，则·＝_______ 12.已知向量，满足：||＝1，||＝6，·(b－a)＝2，则与的夹角为________；|2－|＝________ 三、解答题 13.已知非零向量，满足||＝1，且(－)·(＋)＝. (1)求||；(2)当·＝－时，求向量与＋2的夹角θ的值． 14.在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2． (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值． 15.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求： (1)在上的投影向量；(2)在上的投影向量． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析:因为向量，满足||＝||＝1，与的夹角为60°，所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝，故选A． 2.A 解析：由已知得·＝1××cos 45°＝1，所以|2－|2＝(2－)2＝42＋2－4·＝5，所以|2－|＝．故选A． 3.B 解析：因为3＋2与k－互相垂直，所以(3＋2)·(k－)＝0，所以3ka2＋(2k－3)·－2b2＝0．因为⊥，所以·＝0．又因为||＝2，||＝3，所以12k－18＝0，解得k＝．故选B． 4.D 解析：如图，过点O作OD⊥AB于点D，可知AD＝AB＝3，则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18，故选D． 5.C 解析：∵||＝4，||＝6，∴(2－)·(＋2)＝22－22＋3·＝32－72＋3·＝－4．∴·＝12．∴cos θ＝＝．又∵0≤θ≤π，∴θ＝．故选C． 6.B 解析：如图所示，建立以，为一组基底的基向量，其中||＝||＝1且，的夹角为60°，∴＝2＋4，＝4＋2，∴·＝(2＋4)·(4＋2)＝82＋82＋20·＝8＋8＋20×1×1×＝26．故选B． 7.ACD 解析：A中，若·＝0，则＝或＝或⊥，故A错；C中，若2＝2，则||＝||，故C错；D中，若·＝·，则可能有⊥，⊥，但≠，故D错．故只有选项B正确．故选ACD． 8.AD 解析：由平面向量，，两两的夹角相等，得夹角为0°或120°，当夹角为0°时，|＋＋|＝＝＝6，选项D正确；当夹角为120°时，|＋＋|＝＝＝，选项A正确．故选AD． 二、填空题 9.答案： 解析：由·＝0，得(－2)·(k＋)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝． 10.答案：4 解析：因为向量，的夹角的余弦值为，||＝1，所以·＝|||b|cos〈，〉＝||，因为(2－)·＝－14，所以2·－2＝－14，及||－||2＝－14，解得||＝4(舍负)． 11.答案：1 解析：因为||＝1，||＝，|－2|＝3，所以|－2|2＝a2－4·＋42＝9，所以1－4·＋4×3＝9，解得·＝1． 12.答案：，2 解析：由于·(－)＝·－2＝·－1＝2，则·＝3．设与的夹角为θ，则cos θ＝＝．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．因为|2－|2＝42－4·＋2＝28，所以|2－|＝2． 三、解答题 13.解：(1)因为(－)·(＋)＝，即2－2＝，即||2－||2＝， 所以||2＝||2－＝1－＝，故||＝. (2)因为|＋2|2＝||2＋4·＋4||2＝1－1＋1＝1，所以|＋2|＝1. 又因为·(＋2)＝||2＋2·＝1－＝，所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 14.解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0， 由＝2，得＝，＝＝－． 所以·＝(＋)·(＋)＝（＋）·（－）＝2－·－2 ＝36－×81＝18． (2)由题意，＝＋＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝－， 所以·＝（＋）·（－）＝2－·－2＝36－·－18 ＝18－·． 又因为·＝6，所以18－·＝6．所以·＝36． 设与的夹角为θ， 又因为·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝．所以与夹角的余弦值为． 15.解：如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形． 又因为D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°． 所以BD＝2．延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°． (1)设与向量方向相同的单位向量为，则在上的投影向量是||cos 135°＝4×＝－2． (2)设与向量方向相同的单位向量为，则在上的投影向量是||cos 135°＝2×＝－2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $