第10章《分式》单元测试卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 《分式》单元测试卷聚焦单元复习，全面覆盖分式概念、性质、运算及方程应用，融合《张丘建算经》等数学文化与实际情境，突出抽象能力、运算能力及模型意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|分式方程识别（第1题）、有意义条件（第2题）、性质应用（第3题）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|8/32|分式值为0（第9题）、最简公分母（第12题）、增根问题（第14题）|核心知识巩固，细节考查| |解答题|8/94|化简求值（第19题）、《四元玉鉴》应用（第15题）、“和谐分式”新定义（第24题）|综合能力提升，创新情境设计，体现数学思维与表达|

第10章《分式》单元测试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，的取值应满足（     ） A． B． C． D． 3．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 6．《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知，，当，时，、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（每题4分，共32分） 9．若分式的值为0，则实数的值为_____． 10．计算：______． 11．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 12．分式，，的最简公分母是____________． 13．已知，则的值为_______ ． 14．若分式方程有增根，则k的值是________． 15．我国古代数学专著《四元玉鉴》中记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈（1丈尺），各值（各自价值）钱八百九十六文．只云（已知）绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问：绫、罗尺价各几何？”若设绫有尺，根据题意可列方程为___． 16．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 三、解答题（共94分） 17．（共8分）计算： (1)； (2)． 18．（共8分）解下列方程： (1)； (2)． 19． （共8分）先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的数代入求值． 20．（共10分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下： (1)聪明的你请求出盖住部分的代数式； (2)当，等于何值时，原分式的值为5？ 21．（共10分）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 22．（共12分）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 23．（共12分）如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题． 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果． 题目：已知，求的值． 方法1：由，得，所以． 代入所求分式： 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以…… (1)“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是________________________． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若，（、都不为）请直接写出的值． 24．（共12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； (3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 25．（共14分）阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，. 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则_________，_________； (2)方程的两个解分别为，，求的值； (3)关于的方程的两个解分别为，求的值. 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．B 【详解】解：要使分式有意义， ∵分式有意义时分母不能为， ∴， 解得：． 3．C 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 4．A 【详解】∵， ∴原式， ， ， ． 5．A 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 6．D 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 7．C 【详解】解： ， ，， ，，， ， ． 8．D 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 9． 【详解】解：若分式的值为0， 则，解得：． 10． 【分析】先将异分母分式变形为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则进行计算，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 11． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 12． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 13． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 14．1 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 15． 【详解】解：∵3丈尺， 设绫有x尺，则罗有尺， 绫的总价值为896文，因此绫一尺的价格为文， 罗的总价值为896文，因此罗一尺的价格为文， 根据绫罗各一尺共值钱120文，列方程得：． 16．5 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．(1) (2)无解 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 19．， 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， 当时， ． 20．(1) (2) 【详解】（1）解： ∴盖住部分化简后的结果为； （2）解：∵时，原分式的值为5，即， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以当，时，原分式的值为5． 21．(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 22．(1)购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． (2)购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【详解】（1）解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元． 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 是此方程的解，且符合题意． ． 答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． （2）解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏． 根据题意得， 解得． 设购买总费用为w元． 根据题意得， ， ∴w随m的增大而减小， 时，． 答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 23．(1)分式的基本性质 (2)过程见解析 (3) 【详解】（1）解：分式的基本性质； （2）解：； （3）解：． 24．(1)② (2) (3) 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”； （2）解：． （3）解：， ∵为正整数，且分式值为整数， ∴是整数， ∴， ∴． 25．（1）−6，1；（2）161；（3）1. 【详解】（1）∵方程的两个解分别为，， ∴p＝−2×3＝−6，q＝−2＋3＝1， 故答案为−6，1； （2）∵方程的两个解分别为，， ∴ ab＝-2，a＋b＝3， ∴（a＋b）2= a2＋b2+2ab=9 故a2＋b2=9-2ab=13 ∴（a2＋b2）2= a4＋b4+2a2b2=169 ∴a4＋b4=169-2a2b2=169-2×（ab）2=169-8=161； （3）∵ ∴2x＋1＋＝2n＋1， 2x＋1＋＝（n＋2）＋（n−1）， ∴2x＋1＝n＋2或2x＋1＝n−1， x＝或， ∵x1＜x2， ∴x1＝，x2＝， ∴＝＝=1. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $