专题01 概率与统计（5大考点期末真题汇编，辽宁专用）高二数学下学期人教B版

**基本信息** 聚焦概率统计5大高频考点，汇编辽宁多地区高二期末试题，以真实情境和梯度设计实现知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|19题|条件概率、正态分布性质、回归方程计算等|结合AI水质监测、“一带一路”茶叶出口等真实情境| |多选题|7题|事件独立性、分布列性质、相关系数等|设置跨考点综合判断，如概率与统计结合| |填空题|9题|期望计算、残差分析、相关系数等|融入生活场景，如考试猜题概率、药物浓度代谢| |解答题|17题|分布列与期望、回归分析、独立性检验等|设计多问梯度，如竞赛方案选择、生产线质量分析，体现数学建模与数据分析素养|

专题01 概率与统计 地 城 考点01 条件概率与事件的独立性 一、单选题 1．B. 2．C 3．C 4．B 5．D. 6．C 二、多选题 7．ACD 三、填空题 8．. 9．. 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．D 2．C 3．D 二、多选题 4．ABD 三、填空题 5．0.6/ 6．4 7． 四、解答题 8．【详解】（1）依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为，从乙箱开始的概率为，且每次“交换”后箱子总球数仍然为9个， 要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球， 若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为； 若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为； 设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件， 所以. （2）因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球， 所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球， 所以的可能取值为 ， ， ， X 7 8 9 p 9．【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 10．【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 地 城 考点03 正态分布 一、单选题 1．B 2．B． 3．D 4．B 二、多选题 5．BC 三、填空题 6．. 四、解答题 7．【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为人. （2）由题意可知，的可能取值为，，，， 则； ； ； ； 所以. 8．【详解】（1）由， 可知， 由题意可知的取值范围是，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 ξ 0 1 2 3 则． （2）若采用方案一，获得学习用品价值金额的期望为元． 若采用方案二，当成绩低于时，获得学习用品价值金额的期望为元； 当成绩不低于时，设获得学习用品价值金额为，则的取值范围为， ，， 所以获得学习用品价值金额的期望为元． 综上，若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．A 2．D 3．D 4．D 5．D 6．C 二、多选题 7．ABD 8．ACD 9．ABC 三、解答题 10．【详解】（1），， ，，， ， . 所以. （2）当时，. （3） 11．【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以. （2）因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 地 城 考点05 独立性检验 一、单选题 1．D 二、解答题 2．【详解】（1）调查了500名高中生中，愿意选历史方向的学生的人数为， 则估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； （2）零假设：该市高中生选科情况与性别无关； ， 故有99%的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关； （3）因为选历史方向与性别有关，故采用分层抽样能使样本有代表性， 所以调查时，先确定该市高中生中男、女生的比例， 再把高中生分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好． 3．【详解】（1），解得； （2） 性别 男生 女生 A类 18 8 B类和C类 7 12 ； 故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关． 4．【详解】（1）由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品数有，B生产线生产的100件产品中一等级产品数有， 所以列联表如下： 一等级 非一等级 合计 A生产线 20 80 100 B生产线 30 70 100 合计 50 150 200 零假设一等级产品与生产线无关， 由列联表得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据可以推断不成立， 则可以推断成立，即没有的把握认为一等级产品与生产线有关. （2）设A，B两条生产线单件产品获利分别为元， 则由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 X 0.2 0.6 0.2 所以， 所以， 由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 Y 0.3 0.4 0.3 所以， 所以， 因为，所以A生产线的获利更稳定. 5．【详解】（1）完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． （2）根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 6．【详解】（1）依题意填写的列联表如下： 比较了解 不太了解 合计 男生 40 20 60 女生 20 20 40 合计 60 40 100 ， 没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”. （2）抽取的女生人数为（人），男生人数为（人）. 所以X的可能取值为， 则 . 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望为. 7．【详解】（1）解：由列联表中的数据，可得， 因为，所以有的把握认为性别与是否了解云计算有关． （2）解：由的取值依次为1，2，3，4，5，6，可得， 因为回归方程为， 所以， 所以， 所以，故该回归方程有价值． 8．【详解】（1），故. （2）由题设的数据可得， 故与具有较强的线性相关关系. （3）完善列联表如下： 甲车间 乙车间 合计 优等品 40 45 一等品 60 55 设甲、乙两车间的优等品率无差异， 则， 故肯定，不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 9．【详解】（1）完善列联表如下， 一级品 二级品 总计 甲机床 30 15 45 乙机床 45 10 55 总计 75 25 100 根据列联表计算可得 ． 所以没有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． （2）①由列联表得抽到二级品的频率为， 将频率视为概率，即从生产线中抽取一件产品为二级品的概率是． 由题意可知，的取值范围是． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以，． ②由列联表得抽到一级品的频率为， 将频率视为概率，即从生产线中抽取一件产品为一级品的概率是． 由题意可知，，，所以， 因为是正整数，所以，即当最大时，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率与统计 5大高频考点概览 考点01条件概率与事件的独立性 考点02离散型随机变量的分布列 考点03正态分布 考点04回归方程 考点05独立性检验 地 城 考点01 条件概率与事件的独立性 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A， 则，解得，故B正确. 故选：B. 2．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得. 【详解】由题知，，， ， 又， 则. 故选：C 4．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 5．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（    ） A．0.03 B．0.04 C．0.06 D．0.05 【答案】D 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为. 故选：D. 6．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)某工业园区安装了一套AⅠ水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为（    ） A．0.095 B．0.45 C．0.14 D．0.1 【答案】C 【分析】根据题意，设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报， 由题意，可得， 所以． 故选：C． 二、多选题 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误； 对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确； 对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 8．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 【答案】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题” 则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为： . 故答案为：. 9．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知甲、乙参加驾照考试时，通过的概率分别为，，而且这人之间的考试互不影响．则在恰有人通过考试的条件下，甲通过考试的概率为________． 【答案】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式及条件概率公式直接计算. 【详解】设事件：恰有人通过考试，事件：甲通过考试， 则， ， 则， 故答案为：. 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 2．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】由于，故， 则. 故选：C 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 二、多选题 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)（多选）已知随机变量X满足，则（    ） A． B． C． D．记，则 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质，列出方程，求得的值，可判定A正确；根据互斥事件的概率加法公式，可判定B正确；利用期望的公式，求得，可判定C错误；根据，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D正确. 【详解】由随机变量X满足， 根据分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 由 ，所以B正确； 由期望公式，可得，所以C错误； 由，则，， ，所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题 5．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6/ 【分析】根据两点分布的性质可求得，进而由 得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则 . 故答案为：0.6. 6．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____. 【答案】4 【分析】由时，的可能取值为2，3，4，时，的可能取值为0，1，2，分别求得概率，再利用期望公式求解. 【详解】当时，的可能取值为2，3，4， 则， ，所以； 当时，的可能取值为0，1，2， 则， ，所以； 则， 故答案为：4 7．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 【答案】 【分析】由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，所以， 则X的分布列为： X 1 2 … 6 P … 所以，， ． 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先拋掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”. (1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率； (2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分第一次“交换”从甲箱开始与从乙开始两种情况讨论，利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2） 首先分析现在箱子中各种颜色球的数量，列出的可能取值，求出相应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为，从乙箱开始的概率为，且每次“交换”后箱子总球数仍然为9个， 要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球， 若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为； 若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为； 设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件， 所以. （2）因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球， 所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球， 所以的可能取值为 ， ， ， X 7 8 9 p 9．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小明应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 10．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 地 城 考点03 正态分布 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数； 【详解】解：因为，所以本班在100分以上的人数约为. 故选：B 2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性质，求得，进而求得的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以． 故选：B． 3．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，，现给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由正态分布的性质可逐项求解. 【详解】由，， 则得随机变量的分布关于对称，，随机变量的分布关于对称，. 由对称性得，故①正确； 由对称性得， 所以，故②正确； 有对称性得，， 所以，故③正确； 因为， 及， 所以，故④正确. 综上所述：正确结论的个数是：. 故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（   ） A．6895 B．8400 C．9545 D．9973 【答案】B 【分析】先由题设求出，从而得到，再求出即可得解. 【详解】由题可得， 则，所以. 所以则的估计值为. 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 三、填空题 6．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知随机变量X服从正态分布，则______． 【答案】8 【分析】根据随机变量方差的性质计算即可. 【详解】由题意得，所以． 故答案为：. 四、解答题 7．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正态分布的性质求出，即可估计人数； （2）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为人. （2）由题意可知，的可能取值为，，，， 则； ； ； ； 所以. 8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)某校组织了“AI人工智能”知识竞赛（满分100分），经统计参赛同学的成绩（单位：分）近似服从正态分布，已知． (1)从参赛同学中随机抽取3人，设表示这3人中成绩在内的人数，求的分布列和方差； (2)该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案： 方案一：参赛同学只能抽奖1次，抽奖获得价值150元、100元、10元的学习用品的概率分别为，，； 方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖1次，不低于的抽奖2次，每次抽奖获得价值100元、40元的学习用品的概率分别为，． 请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大? 【答案】(1)分布列见解析，方差为 (2)若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 【分析】（1）根据二项分布写出概率及分布列再应用方差公式计算求解； （2）分别计算方案一和方案二时的学习用品价值金额的期望，再比较分析即可. 【详解】（1）由， 可知， 由题意可知的取值范围是，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 ξ 0 1 2 3 则． （2）若采用方案一，获得学习用品价值金额的期望为元． 若采用方案二，当成绩低于时，获得学习用品价值金额的期望为元； 当成绩不低于时，设获得学习用品价值金额为，则的取值范围为， ，， 所以获得学习用品价值金额的期望为元． 综上，若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知x与y之间具有相关关系，并测得如下一组数据，x与y之间的经验回归方程为，则m的值为（   ） x 6 8 10 12 y 6 5 m 2 A．3 B．3.3 C．4 D．4.3 【答案】A 【分析】求出，代入回归方程可得答案. 【详解】，， 所以，解得.故选：A. 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（    ）（参考公式：） A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01 【答案】D 【分析】根据回归系数公式，代入数据求出结果即可. 【详解】已知，则，， 则， 故选：D. 3．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（    ）． 1 2 4 6 7 4 3 2 0 -2 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据回归方程系数所表示的含义和表格中的数据进行判断即可. 【详解】由样本数据得随着的增大呈现减小的趋势， 所以和之间存在负相关的关系，所以，易得． 故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）下列说法正确的是（    ） A．样本中心不一定在回归直线上 B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1 C．若所有样本点都在直线上，则 D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 【答案】D 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；根据相关系数的意义即可判断BC；根据指对数计算即可判断D. 【详解】选项A：回归直线必过样本中心，故A不正确； 选项B：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于1，故B不正确； 选项C：若所有样本点都在直线上，则，故C不正确； 选项D：以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，故D正确. 故选：D. 5．(24-25高二下·辽宁大连·期末)下列结论正确的是（   ） A．已知随机变量，则 B．已知随机变量，则 C．若利用最小二乘法得到的回归直线方程为，且，，则 D．相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的线性相关性越强 【答案】D 【分析】根据超几何分布的期望公式代入验证选项A；根据正态分布在均值处的对称性判断选项B；根据回归直线必过样本均值点，代入验证选项C；根据相关系数绝对值与线性相关性的关系判断选项D. 【详解】根据超几何分布的期望公式：，故A错； 正态分布，均值是对称中心，故，因此，故B错； 回归方程必过样本均值点，代入，得：，故C错. 相关系数r的绝对值范围为，绝对值越大，线性相关性越强，故D对. 故选：D. 6．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】线性回归模型中越接近1，效果越好，即可得出答案. 【详解】越大，模型的拟合效果越好，因为， 所以模型丙拟合效果最好. 故选：C 二、多选题 7．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度（单位：）与代谢时间（单位：）的数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 150 143 132 123 114 104 95 根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数． A． B．当时，对应样本点的残差为0.32 C．若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大 D．若删去数据，则与的相关系数不变 【答案】ABD 【分析】求出的平均值，即可求出，判断A；根据残差的计算判断B；根据最小二乘估计公式以及相关系数公式可判断CD. 【详解】由题意知， ， 所以，A项正确； 由上可知，当时，， 则残差为，B项正确； 再增加一组数据后，，，所以的值不变， 的值也不变，故关于的回归直线的斜率不变，C项错误； 删去数据后，，，所以的值不变， 的值也不变，因此与的相关系数不变，D项正确． 故选:ABD 8．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．的展开式中的系数为 B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 C．将两个具有相关关系的变量、的一组数据、、、调整为、、、，决定系数不变（附：，，） D．已知、为随机事件，且，，则若，则 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理，回归分析原理，全概率公式，针对各个选项分别求解即可． 【详解】对于A选项，的展开式通项为， 因为， 的展开式通项为，令， 的展开式通项为，令，可得， 因此，展开式中的系数为，A对； 对于B选项，将点的坐标代入回归直线方程得，解得， 但回归直线不一定过样本点，B错； 对于C选项，设原数据对应的回归直线方程为， 则新数据对应的回归直线方程为，新数据的样本中心点为， 新数据的决定系数为，C对； 对于D选项，，，若， 则，即， 所以，D对． 故选：ACD. 9．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）（多选）统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是（   ） A． B．当与正相关时， C．越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D．越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 【答案】ABC 【分析】根据相关系数的定义和性质即可逐一判断. 【详解】对于A，相关系数的为，故A正确； 对于B，当与正相关时，，故B正确； 对于C，越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱， 因为回归直线方程是基于变量之间的线性关系建立的， 当线性相关性弱时，用回归直线来描述变量之间的关系就不准确，即意味着回归直线方程越没有价值，故C正确； 对于D，越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强，故D错误. 故选：ABC 三、解答题 10．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本 的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 【答案】(1) (2)5.912 (3)0.85 【分析】利用最小二乘法求出回归方程的系数，再代入方程预测未来值，最后通过协方差和标准方差计算相关系数. 【详解】（1），， ，，， ， . 所以. （2）当时，. （3） 11．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源中学·期末）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 【答案】(1) (2)652 【分析】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得； （2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以. （2）因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 地 城 考点05 独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】结合，只需，即可求得答案. 【详解】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D 二、解答题 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)为调查某市高中生选科时选择物理方向和历史方向的情况，用简单随机抽样方法从该市调查了500位学生，结果如下： 男 女 物理方向 270 160 历史方向 30 40 (1)估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； (2)能否有的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关？ (3)根据现有资料，为了提高样本的代表性以获得该市高中生选择物理方向和历史方向的学生比例更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)选历史方向的学生的比例 (2)有99%的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关 (3)分层抽样更好，理由见解析 【分析】（1）根据500名高中生中愿意选历史方向的学生的人数计算可得答案； （2）计算出卡方，与比较后可得到结论； （3）按照男、女人数比，采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好． 【详解】（1）调查了500名高中生中，愿意选历史方向的学生的人数为， 则估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； （2）零假设：该市高中生选科情况与性别无关； ， 故有99%的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关； （3）因为选历史方向与性别有关，故采用分层抽样能使样本有代表性， 所以调查时，先确定该市高中生中男、女生的比例， 再把高中生分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随机抽样方法更好． 3．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情．调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校500名男生和400名女生中，按分层抽样的方法随机抽取45名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类（课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时），B类（课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时），C类（课余时间不参加体育锻炼），调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 (1)求出表中x，y的值； (2)根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关． 性别 男生 女生 A类 B类和C类 附：，其中． 【答案】(1) (2)表格见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组即可求解； （2）根据题意列出列联表，计算卡方对比临界值，即可作出结论. 【详解】（1），解得； （2） 性别 男生 女生 A类 18 8 B类和C类 7 12 ； 故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关． 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：    一等级 非一等级 合计 A生产线 B生产线 合计 (1)根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？ (2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析；没有的把握认为一等级产品与生产线有关； (2)A生产线的获利更稳定. 【分析】（1）先由题设先写列联表，接着进行零假设和计算卡方值，由卡方值以及小概率值的独立性检验思想即可下结论； （2）设A，B两条生产线单件产品获利分别为元，依次求出两生产线的方差即可得解. 【详解】（1）由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品数有，B生产线生产的100件产品中一等级产品数有， 所以列联表如下： 一等级 非一等级 合计 A生产线 20 80 100 B生产线 30 70 100 合计 50 150 200 零假设一等级产品与生产线无关， 由列联表得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据可以推断不成立， 则可以推断成立，即没有的把握认为一等级产品与生产线有关. （2）设A，B两条生产线单件产品获利分别为元， 则由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 X 0.2 0.6 0.2 所以， 所以， 由频数分布直方图可得的分布列为 P 20 18 16 Y 0.3 0.4 0.3 所以， 所以， 因为，所以A生产线的获利更稳定. 5．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． (1)完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 (2)根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，理由见解析 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望. 【详解】（1）完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． （2）根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 6．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表： 0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上 男生（人） 1 6 6 7 20 17 3 女生（人） 2 5 5 8 10 8 2 （1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”； 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 （2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，. 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6. 【分析】（1）依题意填写的列联表，根据公式求出，然后判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”． （2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求数学期望 ． 【详解】（1）依题意填写的列联表如下： 比较了解 不太了解 合计 男生 40 20 60 女生 20 20 40 合计 60 40 100 ， 没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”. （2）抽取的女生人数为（人），男生人数为（人）. 所以X的可能取值为， 则 . 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望为. 7．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)云计算是一种通过互联网按需提供可扩展计算资源的服务模式，其应用不限于企业ⅠT优化，更是渗透到教育、医疗、制造等垂直领域，推动智能化与高效化发展．某媒体进行“你是否了解云计算？”的问卷调查，统计了200名调查者，结果如下 男 女 不了解 35 50 了解 65 50 (1)根据调查结果回答：有的把握认为性别与是否了解云计算有关吗？ (2)下表为2020—2025年中国云计算市场规模（单位：千亿元，2025年为预测规模），其中2020—2025年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6 年份代码x 1 2 3 4 5 6 市场规模y 1.67 2.11 2.59 3.10 3.64 4.26 根据上表数据求得y关于x的回归方程为，用相关系数r判断该回归方程是否有价值． （若，则认为回归方程有价值，反之则无）附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有 (2)，该回归方程有价值． 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的取值，求得回归方程为，求得，得到，求得，即可得到结论. 【详解】（1）解：由列联表中的数据，可得， 因为，所以有的把握认为性别与是否了解云计算有关． （2）解：由的取值依次为1，2，3，4，5，6，可得， 因为回归方程为， 所以， 所以， 所以，故该回归方程有价值． 8．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）某企业有甲、乙两个车间生产某款产品，今年前5个月两个车间的产量（单位：万件）统计如下表.设月份为，甲、乙两个车间的月产量之和为. 月份 1 2 3 4 5 甲车间产量 0.7 0.9 1.6 3 6 乙车间产量 0.8 1.1 1.9 5 9 (1)求； (2)求与的相关系数（精确到0.01），并判断与的线性相关程度强弱； (3)从甲、乙两个车间生产的产品中各随机抽取100件，其中优等品和一等品的数量如下表所示，根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？ 甲车间 乙车间 优等品 40 45 一等品 60 55 参考数据：，，. 参考公式：①相关系数；②. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)，与具有较强的线性相关关系. (3)不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 【分析】（1）利用给定的数据结合公式计算即可； （2）利用题设中给出的数据结合（1）中结果计算可得，从而可判断与具有较强的线性相关关系. （3）计算后可得不能认为认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 【详解】（1），故. （2）由题设的数据可得， 故与具有较强的线性相关关系. （3）完善列联表如下： 甲车间 乙车间 合计 优等品 40 45 一等品 60 55 设甲、乙两车间的优等品率无差异， 则， 故肯定，不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 9．(24-25高二下·辽宁大连·期末)某生产线上有甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，随机抽取两台机床生产的产品，共抽取100件．产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 总计 甲机床 30 乙机床 10 总计 75 100 (1)根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ (2)将上述抽样所得的频率视为概率．现从生产线上采取随机抽样的方法，每次抽取一件产品． ①若抽取3次，记抽取的3件产品中二级品件数为，求随机变量的分布列，期望及方差； ②若抽取100次，记抽取的100件产品中一级品件数为，当最大时，求的值． 附： ． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析，没有 (2)①分布列见解析，，；② 【分析】（1）依据题意填写表格，然后计算卡方判断； （2）①由题可知，然后写出所有取值以及对应的概率，写出分布列，然后根据二项分布的期望和方差计算即可；②由题可知，然后列出计算即可. 【详解】（1）完善列联表如下， 一级品 二级品 总计 甲机床 30 15 45 乙机床 45 10 55 总计 75 25 100 根据列联表计算可得 ． 所以没有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． （2）①由列联表得抽到二级品的频率为， 将频率视为概率，即从生产线中抽取一件产品为二级品的概率是． 由题意可知，的取值范围是． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以，． ②由列联表得抽到一级品的频率为， 将频率视为概率，即从生产线中抽取一件产品为一级品的概率是． 由题意可知，，，所以， 因为是正整数，所以，即当最大时，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率与统计 5大高频考点概览 考点01条件概率与事件的独立性 考点02离散型随机变量的分布列 考点03正态分布 考点04回归方程 考点05独立性检验 地 城 考点01 条件概率与事件的独立性 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（    ） A．0.03 B．0.04 C．0.06 D．0.05 6．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)某工业园区安装了一套AⅠ水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为（    ） A．0.095 B．0.45 C．0.14 D．0.1 二、多选题 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________． 9．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知甲、乙参加驾照考试时，通过的概率分别为，，而且这人之间的考试互不影响．则在恰有人通过考试的条件下，甲通过考试的概率为________． 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)随机变量，则的值为（   ） A． B． C．5 D．6 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)（多选）已知随机变量X满足，则（    ） A． B． C． D．记，则 三、填空题 5．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 6．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ，则 _____. 7．(24-25高二下·辽宁沈阳五校协作体·期末)在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 四、解答题 8．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先拋掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”. (1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率； (2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望. 9．（24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 10．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 地 城 考点03 正态分布 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，，现给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（   ） A．6895 B．8400 C．9545 D．9973 二、多选题 5．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知随机变量X服从正态分布，则______． 四、解答题 7．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 8．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)某校组织了“AI人工智能”知识竞赛（满分100分），经统计参赛同学的成绩（单位：分）近似服从正态分布，已知． (1)从参赛同学中随机抽取3人，设表示这3人中成绩在内的人数，求的分布列和方差； (2)该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案： 方案一：参赛同学只能抽奖1次，抽奖获得价值150元、100元、10元的学习用品的概率分别为，，； 方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖1次，不低于的抽奖2次，每次抽奖获得价值100元、40元的学习用品的概率分别为，． 请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大? 地 城 考点04 回归方程 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知x与y之间具有相关关系，并测得如下一组数据，x与y之间的经验回归方程为，则m的值为（   ） x 6 8 10 12 y 6 5 m 2 A．3 B．3.3 C．4 D．4.3 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（    ）（参考公式：） A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01 3．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知两个变量和之间有线性相关关系，经调查得到的样本数据如下表所示，根据表格中的数据求得回归直线方程，则（    ）． 1 2 4 6 7 4 3 2 0 -2 A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）下列说法正确的是（    ） A．样本中心不一定在回归直线上 B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1 C．若所有样本点都在直线上，则 D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 5．(24-25高二下·辽宁大连·期末)下列结论正确的是（   ） A．已知随机变量，则 B．已知随机变量，则 C．若利用最小二乘法得到的回归直线方程为，且，，则 D．相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的线性相关性越强 6．（24-25高二下·辽宁省朝阳市建平县高中·期末）某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、多选题 7．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度（单位：）与代谢时间（单位：）的数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 150 143 132 123 114 104 95 根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数． A． B．当时，对应样本点的残差为0.32 C．若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大 D．若删去数据，则与的相关系数不变 8．（24-25高二下·辽宁省辽西重点高中·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．的展开式中的系数为 B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 C．将两个具有相关关系的变量、的一组数据、、、调整为、、、，决定系数不变（附：，，） D．已知、为随机事件，且，，则若，则 9．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）（多选）统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是（   ） A． B．当与正相关时， C．越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D．越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 三、解答题 10．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本 的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 11．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源中学·期末）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 地 城 考点05 独立性检验 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 二、解答题 2．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)为调查某市高中生选科时选择物理方向和历史方向的情况，用简单随机抽样方法从该市调查了500位学生，结果如下： 男 女 物理方向 270 160 历史方向 30 40 (1)估计该市高中生中，选历史方向的学生的比例； (2)能否有的把握认为该市的高中生选科情况与性别有关？ (3)根据现有资料，为了提高样本的代表性以获得该市高中生选择物理方向和历史方向的学生比例更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 3．(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情．调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校500名男生和400名女生中，按分层抽样的方法随机抽取45名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类（课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时），B类（课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时），C类（课余时间不参加体育锻炼），调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 (1)求出表中x，y的值； (2)根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关． 性别 男生 女生 A类 B类和C类 附：，其中． 4．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：    一等级 非一等级 合计 A生产线 B生产线 合计 (1)根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？ (2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？ 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 5．(24-25高二下·辽宁抚顺六校协作体·期末)某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． (1)完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 (2)根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 6．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表： 0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上 男生（人） 1 6 6 7 20 17 3 女生（人） 2 5 5 8 10 8 2 （1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”； 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 （2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，. 7．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)云计算是一种通过互联网按需提供可扩展计算资源的服务模式，其应用不限于企业ⅠT优化，更是渗透到教育、医疗、制造等垂直领域，推动智能化与高效化发展．某媒体进行“你是否了解云计算？”的问卷调查，统计了200名调查者，结果如下 男 女 不了解 35 50 了解 65 50 (1)根据调查结果回答：有的把握认为性别与是否了解云计算有关吗？ (2)下表为2020—2025年中国云计算市场规模（单位：千亿元，2025年为预测规模），其中2020—2025年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，6 年份代码x 1 2 3 4 5 6 市场规模y 1.67 2.11 2.59 3.10 3.64 4.26 根据上表数据求得y关于x的回归方程为，用相关系数r判断该回归方程是否有价值． （若，则认为回归方程有价值，反之则无）附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 8．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）某企业有甲、乙两个车间生产某款产品，今年前5个月两个车间的产量（单位：万件）统计如下表.设月份为，甲、乙两个车间的月产量之和为. 月份 1 2 3 4 5 甲车间产量 0.7 0.9 1.6 3 6 乙车间产量 0.8 1.1 1.9 5 9 (1)求； (2)求与的相关系数（精确到0.01），并判断与的线性相关程度强弱； (3)从甲、乙两个车间生产的产品中各随机抽取100件，其中优等品和一等品的数量如下表所示，根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？ 甲车间 乙车间 优等品 40 45 一等品 60 55 参考数据：，，. 参考公式：①相关系数；②. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 9．(24-25高二下·辽宁大连·期末)某生产线上有甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，随机抽取两台机床生产的产品，共抽取100件．产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 总计 甲机床 30 乙机床 10 总计 75 100 (1)根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ (2)将上述抽样所得的频率视为概率．现从生产线上采取随机抽样的方法，每次抽取一件产品． ①若抽取3次，记抽取的3件产品中二级品件数为，求随机变量的分布列，期望及方差； ②若抽取100次，记抽取的100件产品中一级品件数为，当最大时，求的值． 附： ． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $