专题20 平面向量的基本概念与线性运算（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 平面向量的基本概念与线性运算 【复习目标】 1.分清向量、数量区别，掌握向量大小、方向两大要素 2. 熟记零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量定义 3.能根据几何图形快速写出向量关系式，灵活切换两种运算法则 4.掌握向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，加法交换律、结合律 5.能用向量线性运算解决平面几何简单线段、位置关系问题 一、【知识清单】 1.向量有关概念 有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量． 平面向量是 量，向量不能比较 ．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小． 2、向量的几何表示 有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面． 有向线段包含三个要素 ． 向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的 ，箭头的指向表示向量的 ． 向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c. 手写为。强调：箭头不能不写，否则表示数量． 向量的模: 表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为 ，记作0，长度等于1个单位的向量称为 ． 3、共线向量与相等向量 平行向量：方向 的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b． 我们规定： 与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a． 是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 共线向量：任一组 都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b． 4、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算　 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： (2)结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ；当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；当λ＝0时， 5、向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点. 6、向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 2、 【技巧归纳】 1. 向量加法 三角形法则：首尾相接，首尾连 用法：前向量终点=后向量起点，直接连起点到终点 平行四边形法则：同起点，作邻边，对角线为和共起点两向量，画平行四边形，对角线=和向量 2. 向量减法 口诀：同起点，连终点，指向被减向量 公式牢记：终点减起点 三、【考点清单】 考点1 平面向量的基本概念 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试）关于平面向量，下列说法错误的是（   ） A．向量不可以比较大小 B．大小相等的两个向量称为相等向量 C．零向量的大小为，且方向是任意的 D．向量既有大小，也有方向 【即时训练】 1.（2024届浙江省杭州市中等职业学校高三学业水平模拟）下列关于向量的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024届浙江省职教高三上学期一轮复习系统性一模）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量相等的向量有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2024届浙江省嘉兴市中等职业学校高三上学期第一次模拟）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．单位向量不一定相等 B．， C．零向量的方向不是任意的 D．， 4.下列物理量中，属于向量的是（    ） A．路程 B．温度 C．速度 D．质量 5.下列关于向量的说法正确的是（   ） A．平行向量就是相等向量 B．单位向量的大小不确定 C．平行向量就是共线向量 D．零向量没有方向 6.下列说法正确的是（    ） A．平行向量是方向相同的向量 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度为0 D．共线向量是在同一条直线上的向量 考点2 向量的线性运算 【典例2】（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）如图，在平行四边形中，是对角线与的交点，，则（   ）    A． B． C． D． 【即时训练】 7.（2025届浙江省职教高考第五次模拟）已知为非零向量，则（   ） A． B． C． D． 8.（2025届浙江省绍兴市职教高考高三二模）已知在中，点D是线段BC中点，点E是靠近点C的AC三等分点，则（   ） A． B． C． D． 9.（2025届浙江省职教高考复习高三二模）正方形的边长为2，则（    ） A． B．2 C． D．4 10.（2025届浙江省宁波市职教高考高三一模）已知线段上三点满足，则这三点在线段上的位置关系是（   ） A．   B．   C．   D．   11.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试统一摸底测试）如图，正六边形的边长为1，则（    ）    A．0 B． C．2 D． 12.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试高三二模）如图所示,在边长为的正方形中,点为折线段上动点,则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 13.（2026届浙江省宁波市北仑职业高级中学高考班第一次选拔考试）如图所示，在边长为1的正方形中，若为对角线上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C．1 D． 14.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模）若正六边形的边长为，点是边上的动点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 15.（2024届浙江省职教高考联合体高三二模）_______. 16.（2023届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）如图所示，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则_____．    17.在中，是的中点，，点为的中点，则___________. 18.如图，在平行四边形中，__________，____________.    19.设点O是平行四边形ABCD对角线的交点，则等于________． 20.已知A，B，C是不共线的三点，若向量与是平行向量，与是共线向量，则________. 21.若，则与之间的关系是________. 22.化简______． 23.如图所示，平行四边形的两条对角线交于点，，，试用向量，分别表示向量，和．    24.如图所示，四边形是梯形，分别是的中点，，用表示和．    25.已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，试用，表示，，，.    一、【真题溯源】 1.（2021年浙江，10）正三角形的边长为1，为边上动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、【考向感知】 平面向量是基础模块，属于送分基础题，全卷最简单题型之一，纯基础、无难题、无复杂综合，只考定义、法则、坐标运算、共线判定，难度低、上手快、极易拿满分。 2027年浙江中职高考命题趋势 题型、分值、难度完全保持稳定，依旧以基础送分为主 重点倾斜：向量共线条件两大核心 命题更简洁，题干简短，计算量小，纯独立基础考查，偶尔结合简单平面几何图形考向量加减法则。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 平面向量的基本概念与线性运算 【复习目标】 1.分清向量、数量区别，掌握向量大小、方向两大要素 2. 熟记零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量定义 3.能根据几何图形快速写出向量关系式，灵活切换两种运算法则 4.掌握向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，加法交换律、结合律 5.能用向量线性运算解决平面几何简单线段、位置关系问题 一、【知识清单】 1.向量有关概念 有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量． 平面向量是 既有大小又有方向的 量，向量不能比较 大小 ．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小． 2、向量的几何表示 有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面． 有向线段包含三个要素 起点、方向、长度 ． 向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的 大小 ，箭头的指向表示向量的 方向 ． 向量也可以用黑体的字母表示，如a，b，c. 手写为。强调：箭头不能不写，否则表示数量． 向量的模: 表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为 零向量 ，记作0，长度等于1个单位的向量称为 单位向量 ． 3、共线向量与相等向量 平行向量：方向 相同或相反 的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b． 我们规定： 零向量 与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a． 相等向量 是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． 共线向量：任一组 平行向量 都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b． 4、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算　 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： (2)结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ；当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；当λ＝0时， 5、向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点. 6、向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 2、 【技巧归纳】 1. 向量加法 三角形法则：首尾相接，首尾连 用法：前向量终点=后向量起点，直接连起点到终点 平行四边形法则：同起点，作邻边，对角线为和共起点两向量，画平行四边形，对角线=和向量 2. 向量减法 口诀：同起点，连终点，指向被减向量 公式牢记：终点减起点 三、【考点清单】 考点1 平面向量的基本概念 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试）关于平面向量，下列说法错误的是（   ） A．向量不可以比较大小 B．大小相等的两个向量称为相等向量 C．零向量的大小为，且方向是任意的 D．向量既有大小，也有方向 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据向量的相关定义判断即可. 【详解】由向量的定义可得：向量既有大小，也有方向； 向量不可以比较大小；零向量的大小为，且方向是任意的，由此可知选项ACD正确， 大小相等且方向相同的向量称为相等向量，故B选项错误， 故选：B 【即时训练】 1.（2024届浙江省杭州市中等职业学校高三学业水平模拟）下列关于向量的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的概念来进行判断即可. 【详解】因为，所以方向相同，且模相等，A选项正确； 是一个数，不能与相等，B选项错误； 只能说明两者模相等，方向是不知道的，所以两者不一定相等，C选项错误； 向量之间是不能比较大小的，所以不能推出，D选项错误. 故选：A. 2.（2024届浙江省职教高三上学期一轮复习系统性一模）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量相等的向量有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】相等向量 【分析】由相等向量的定义判断即可. 【详解】由相等向量定义可知，满足要求． 故选：B． 3.（2024届浙江省嘉兴市中等职业学校高三上学期第一次模拟）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．单位向量不一定相等 B．， C．零向量的方向不是任意的 D．， 【答案】A 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据单位向量,零向量,平行向量的性质易得答案. 【详解】A:单位向量只是大小相等,方向不一定相同,所以不一定相等,故正确, B:因为当时,前不能推出后,故错误, C:零向量的方向是任意的,故错误, D:当时,不一定平行,故错误. 故选:A. 4.下列物理量中，属于向量的是（    ） A．路程 B．温度 C．速度 D．质量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据平面向量的基本概念即可得解. 【详解】速度（如“5m/s 向东”）具备大小与方向，属于向量； 路程、温度、质量仅含大小，属于标量. 故选：C. 5.下列关于向量的说法正确的是（   ） A．平行向量就是相等向量 B．单位向量的大小不确定 C．平行向量就是共线向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据平行向量、相等向量、单位向量和零向量的定义依次判断即可求解. 【详解】对于A选项，平行向量的模不一定相等、方向也不一定相同，所以不一定是相等向量，故A选项错误； 对于B选项，单位向量的模为1，故B选项错误； 对于C选项，根据共线向量的定义可知平行向量就是共线向量，故C选项正确； 对于D选项，根据零向量的定义可知零向量的方向是任意的，故D选项错误； 故选：C. 6.下列说法正确的是（    ） A．平行向量是方向相同的向量 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度为0 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】根据平行向量、相等向量、零向量以及共线向量的定义求解即可. 【详解】选项A.平行向量是方向相同或相反的向量，错误. 选项B.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，错误. 选项C.零向量的长度为0，正确. 选项D.共线向量可以在一条直线上，也可以分别在相互平行的直线上，错误. 故选：C. 考点2 向量的线性运算 【典例2】（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）如图，在平行四边形中，是对角线与的交点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法法则的几何应用及应用 【分析】根据向量的减法运算求解即可. 【详解】（方法一）如图所示，.(利用向量减法) 故选：D. （方法二） 故选：D. 【即时训练】 7.（2025届浙江省职教高考第五次模拟）已知为非零向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】已知为非零向量， . 故选：A. 8.（2025届浙江省绍兴市职教高考高三二模）已知在中，点D是线段BC中点，点E是靠近点C的AC三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的运算即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出三角形， ，，， 所以， 故选：. 9.（2025届浙江省职教高考复习高三二模）正方形的边长为2，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量的模 【分析】根据向量的减法法则和向量模的概念求解. 【详解】正方形的边长为2， 所以． 故选：B． 10.（2025届浙江省宁波市职教高考高三一模）已知线段上三点满足，则这三点在线段上的位置关系是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性关系，判断向量的位置关系即可. 【详解】已知线段上三点满足， 则与方向相反，故A，B错误， 且，故C正确，D错误， 故选：C. 11.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试统一摸底测试）如图，正六边形的边长为1，则（    ）    A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】向量的模、向量加法的法则、余弦定理解三角形 【分析】先由向量的加法计算，再由余弦定理计算长度即可求解模长. 【详解】因为，， 所以， 因为在正六边形中，且， 所以， 所以， 所以， 因为在正六边形边长为1，内角和为， 所以在中，由余弦定理可得， ， 所以，所以. 故选:B.    12.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试高三二模）如图所示,在边长为的正方形中,点为折线段上动点,则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的模、向量减法的法则 【分析】由向量的运算即可得解. 【详解】因为. 点为折线段上动点. 所以当点与点重合时最大为. 故选:. 13.（2026届浙江省宁波市北仑职业高级中学高考班第一次选拔考试）如图所示，在边长为1的正方形中，若为对角线上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、用向量解决线段的长度问题、向量减法法则的几何应用及应用 【分析】通过向量运算将转化为与已知图形相关的向量模长，再结合几何性质求解最小值. 【详解】因为，所以， 因为为对角线上的动点，所以当时，的值最小， 即为中点时，， 故选：B. 14.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模）若正六边形的边长为，点是边上的动点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数定义的其他应用、向量加法的法则、向量减法的法则、求特殊角的三角函数值 【分析】先根据向量的运算法则化简，分析与重合时最小，即可求解. 【详解】 因为， 又点是正六边形的边上的动点，， 所以取最小值时，最小，此时与重合， 又正六边形的边长为，所以角， 即， 故选：D. 15.（2024届浙江省职教高考联合体高三二模）_______. 【答案】 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的数乘运算法则可得结果. 【详解】. 故答案为：. 16.（2023届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）如图所示，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则_____．    【答案】1 【知识点】相等向量、向量的模 【分析】根据正方形的几何性质，找到各向量的关系. 【详解】∵四边形ABCD是边长为1的正方形 ∴与长度相等且方向相同. 故，= 故答案为：1. 17.在中，是的中点，，点为的中点，则___________. 【答案】4 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】由题可得，，从而即可得到本题答案. 【详解】    因为是的中点，所以， 又因为点为的中点，所以， 所以，，则. 故答案为：4 18.如图，在平行四边形中，__________，____________.    【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、向量减法法则的几何应用及应用 【分析】由平面向量运算的平行四边形法则与三角形法则求解. 【详解】，. 故答案为：，. 19.设点O是平行四边形ABCD对角线的交点，则等于________． 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、相反向量 【分析】利用平行四边形的性质，结合向量的线性运算即可得解. 【详解】因为点O是平行四边形ABCD对角线的交点， 所以. 故答案为：. 20.已知A，B，C是不共线的三点，若向量与是平行向量，与是共线向量，则________. 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线定理结合A，B，C是不共线的三点即可求解. 【详解】向量与是平行向量，存在实数，令， 向量与是共线向量，存在实数，令， 即，又因为A，B，C是不共线的三点， 所以，所以. 故答案为：. 21.若，则与之间的关系是________. 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的模、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的概念可得与之间的关系. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 22.化简______． 【答案】 【知识点】相反向量、向量减法的运算律、向量加法的运算律 【分析】利用向量加减法运算化简，注意相反向量的应用. 【详解】. 故答案为： 23.如图所示，平行四边形的两条对角线交于点，，，试用向量，分别表示向量，和．    【答案】，， 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由题意根据向量的线性运算表示向量. 【详解】的两条对角线交于点，且， 则， ；          ． 24.如图所示，四边形是梯形，分别是的中点，，用表示和．    【答案】，， 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算及题目条件即可用表示和． 【详解】因为分别是的中点， ，所以， ， . 25.已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，试用，表示，，，.    【答案】答案见解析 【知识点】相反向量、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用及应用、向量减法法则的几何应用及应用 【分析】利用向量加法和减法法则、向量的数乘运算、相反向量的定义即可求解. 【详解】因为平行四边形，，， 所以， ， ， . 一、【真题溯源】 1.（2021年浙江，10）正三角形的边长为1，为边上动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法运算进行求解即可. 【详解】如图所示， , 当时，最小， 因为为边长为1的正三角形， 所以. 故选：C. 二、【考向感知】 平面向量是基础模块，属于送分基础题，全卷最简单题型之一，纯基础、无难题、无复杂综合，只考定义、法则、坐标运算、共线判定，难度低、上手快、极易拿满分。 2027年浙江中职高考命题趋势 题型、分值、难度完全保持稳定，依旧以基础送分为主 重点倾斜：向量共线条件两大核心 命题更简洁，题干简短，计算量小，纯独立基础考查，偶尔结合简单平面几何图形考向量加减法则。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $