专题08+计数原理4个考点（天津专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 天津各区县2026届二模数学试题汇编，聚焦计数原理四大核心考点，精选排列组合、二项式定理、概率统计等题型，融合AI助手、游船抽奖等现实情境，适配高三二模复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|2题|排列组合应用、统计概念辨析|结合多选题答案个数等实际问题，考查基础概念辨析| |填空题|14题|二项式系数计算、古典型概率|覆盖展开式常数项（如(x+1/x)^6）、有放回抽样概率（如红白球摸取）等基础题型| |综合题|5题|概率统计综合应用|以AI问答系统、海河游船抽奖为情境，考查条件概率、数学期望等综合能力，贴合天津二模命题趋势|

专题08 计数原理与概率统计 4大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03古典型概率与条件概率 考点04概率综合题型 排列与组合 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 【答案】B 【分析】利用相关系数的意义判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用百分位数的定义求解判断C；利用组合计数问题列式求解判断D. 【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误； 对于B，依题意，，B正确； 对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误； 对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误. 2．（2026·天津·二模）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 【答案】C 【分析】利用相关系数、正态分布、条件概率及组合数知识逐一分析各选项. 【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强， 相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误 在B选项中，正态分布的对称轴为，由得： ，根据正态分布的对称性可知： ，所以， 所以，B错误， 在C选项中，根据条件概率公式可得： ，C正确， 在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为，D错误. 二、填空题 3．（2026·天津河东·二模）立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为________；若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为________． 【答案】 【分析】根据古典概型，排列组合及分类分步计数原理即可求解． 【详解】由题知，从箱子中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为； 100个红包中，奖金数额为奇数的有50个，奖金数额为偶数的有50个， 两次抽到的奖金数额之和为偶数，情况有2种，两次抽到都是奇数或偶数， 所以依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为． 4．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 【答案】 90 【详解】①最后只不合格品恰好在第次测试时被发现，要求第次为不合格品，前次有只不合格品、只合格品. 总情形数：. ②设事件：最后一只不合格品在第次测出，事件：第次测得合格品，，满足的情形：第次不合格，第次合格，第、次为不合格品，，故. 二项式定理 考点2 一、填空题 1．（2026·天津和平·二模）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 2．（2026·天津·二模）在的展开式中，的系数为___________．（结果用数字作答） 【答案】 【分析】列出二项式的通项公式，令的指数为，可得，即可求解. 【详解】根据二项式定理，可得其展开式中第项的通项公式为， 化简可得， 令，解得，所以展开式的第项为， 所以的系数为. 3．（2026·天津东丽·二模）在的展开式中．的系数为______． 【答案】 【详解】，， 使可得，则的系数为. 4．（2026·天津北辰·二模）若，则______.（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项展开式通项求解即可. 【详解】的展开式通项为， 所以，， 故. 5．（2026·天津红桥·二模）已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 【答案】 【详解】由题意得的展开式中的通项为， 令，得，则常数项为， 即，解得． 6．（2026·天津河北·二模）二项式的展开式中，的系数为________. 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】，， 则， 即的系数为. 7．（2026·天津河西·二模）在的展开式中，项的系数为_______. 【答案】 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以项的系数为. 8．（2026·天津河东·二模）的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 【答案】672 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，即， 所以常数项为． 古典型概率与条件概率 考点3 一、填空题 1．（2026·天津红桥·二模）一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 【答案】 / / 【分析】第一空分先白后红和先红后白两种情况，由概率公式计算；第二空利用条件概率公式即可求解． 【详解】第一空： 令事件表示用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个红球的概率为， 所以， 第二空： 令事件表示不放回的抽样方式第次摸到红球，， ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 ． 2．（2026·天津南开·二模）将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 【答案】 【分析】先确定三个小球放盒子的总基本事件数，再确定三个小球放入不同盒子的基本事件数，最后用古典概型概率公式计算概率；设事件为“至少有两个小球放入甲盒”，事件为“红球放入甲盒”，计算和，再根据条件概率公式计算概率. 【详解】每个小球有3种放法，总放法共种， 三个小球放入不同盒子，相当于对三个盒子全排列，共种符合条件的放法， 因此所求概率为； 设事件：至少两个小球放入甲盒；事件：红球放入甲盒， 至少两个小球放入甲盒，分恰好2个、恰好3个放入甲盒两种情况：； 红球放入甲盒，且至少两个小球放入甲盒，说明剩余黄、蓝两球至少一个放入甲盒：； 因此条件概率. 3．（2026·天津河北·二模）袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________. 【答案】 【分析】第1空考查古典概型，代入古典概型公式分别求出分子和分母的事件总数，计算即可； 第2空考查条件概率，根据条件概率公式，分别求出事件的概率，以及事件和同时发生的概率，代入公式计算即可. 【详解】解：（两个红球和一个白球）； 设事件为前两个是红球，事件为第三个是白球， 又，，所以， 即在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为. 4．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 【答案】 90 【详解】①最后只不合格品恰好在第次测试时被发现，要求第次为不合格品，前次有只不合格品、只合格品. 总情形数：. ②设事件：最后一只不合格品在第次测出，事件：第次测得合格品，，满足的情形：第次不合格，第次合格，第、次为不合格品，，故. 概率统计综合题型 考点4 1．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解，先写出可以取的概率，再应用数学期望公式计算求解. 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 2．（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 3．（2026·天津·二模）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 【答案】 【分析】第一个空利用相互独立事件概率计算公式来计算；第二个空通过全概率公式，分两种初始情况讨论，分别计算每种情况下目标事件的概率再求和. 【详解】甲第1次听写错误的概率为，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为， 故所求概率为. 第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为； 第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为. 由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为. 4．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】根据独立事件的乘法公式计算可得第一空，利用全概率及贝叶斯公式可求第二空． 【详解】解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件， 则， 在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件， ， 设两轮比赛中只有两次猜对为事件， 则， 则这两次都是乙猜对的概率为． 5．（2026·天津河西·二模）天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目.为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球.若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”.第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”.游客从获得的票箱中，随机抽取2张票.若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为_______；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为_______. 【答案】 /0.4 /0.48 【分析】由题意，由组合知识，全概率公式进行求解 【详解】某游客在第一步获得“A组票箱”，即抽出的2个球颜色相同， 抽到的2个球均为红色或白色，故概率为； 故游客在第一步获得“B组票箱”的概率为， 从“A组票箱”中恰好抽到1张“夜游票”的概率为， 从“B组票箱”中恰好抽到1张“夜游票”的概率为， 所以游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08计数原理 考点1 排列与组合 题号 1 2 答案 B C 49 3. 99 99 90 考点2 二项式定理 1.84 2.10 3.15 4.44 5.-1 6.-96 7.-84 8.672 考点3 古典型概率与条件概率 1. 210.48 2 }0 2. 5 9 7 3. 8 3 3-5 4. oN 1-3 1/2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点4 概率综合题型 7 9 12 5 2. 0.282 0.45/9 0 3. 0.28 0.45 4. 22 5. 2-5 0.4 12 0.48 2/2 专题08 计数原理 4大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03古典型概率与条件概率 考点04概率统计综合题型 排列与组合 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 2．（2026·天津·二模）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 二、填空题 3．（2026·天津河东·二模）立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为________；若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为________． 4．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 二项式定理 考点2 一、填空题 1．（2026·天津和平·二模）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 2．（2026·天津·二模）在的展开式中，的系数为___________．（结果用数字作答） 3．（2026·天津东丽·二模）在的展开式中．的系数为______． 4．（2026·天津北辰·二模）若，则______.（用数字作答） 5．（2026·天津红桥·二模）已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______． 6．（2026·天津河北·二模）二项式的展开式中，的系数为________. 7．（2026·天津河西·二模）在的展开式中，项的系数为_______. 8．（2026·天津河东·二模）的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 古典型概率与条件概率 考点3 一、填空题 1．（2026·天津红桥·二模）一个袋子里放有除颜色外完全相同的个白球、个红球，若采取有放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则两个小球颜色不同的概率为______；若采取不放回的抽样方式，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸到的是红球的条件下，第二次摸到的是红球的概率为______． 2．（2026·天津南开·二模）将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个盒子的概率均为，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为_____；在至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为_____． 3．（2026·天津河北·二模）袋中有除颜色外均相同的7个球，其中4个红球和3个白球. 不放回抽取3个球，其中两个红球和一个白球的概率为________；在前两个是红球的条件下，第三个是白球的概率为________. 4．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 概率综合题型 考点4 1．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 2．（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 3．（2026·天津·二模）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 4．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 5．（2026·天津河西·二模）天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目.为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球.若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”.第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”.游客从获得的票箱中，随机抽取2张票.若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为_______；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为_______. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $