专题10 函数的实际应用（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 函数的实际应用 【复习目标】 了解函数的实际应用。 【考点1 一次函数模型的实际应用】 1. 核心应用场景：主要解决“匀速变化、线性增长（或减少）”等实际问题，常见类型包括：成本与产量问题、利润与售价（销量）问题、行程问题、计费问题（单一标准线性计费）、浓度配比基础问题等. 2. 解题关键：第一步，根据题意确定自变量（如产量、售价、行程、时间等）和因变量（如总成本、利润、路程、费用等）；第二步，结合题干条件，求出一次函数（）中 和 的值，建立函数关系式；第三步，结合自变量的实际意义（定义域），求解具体问题（如求最值、求特定值、判断范围等）. 3. 注意事项：定义域需符合实际场景（如产量、销量、时间不能为负数，且多为非负整数）；区分“线性增长”与“非线性增长”，避免混淆一次函数与其他函数模型. 【即时训练】 一、单选题 1. 某商店出售某种商品，每件进价为10元，售价为每件15元，每天可卖出20件，若售价每降低1元，每天销量增加5件，设售价降低元，每天的利润为元，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【考点】一次函数模型的实际应用（利润问题） 【答案】A 【解析】每件利润 = ；每天销量 ；利润 = 每件利润×销量，故.故选A. 2. 一辆汽车从甲地开往乙地，全程300千米，匀速行驶，速度为60千米/小时，设行驶时间为小时，剩余路程为千米，则与的函数关系式及定义域正确的是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【考点】一次函数模型的实际应用（行程问题） 【答案】A 【解析】剩余路程 = 总路程已行驶路程，已行驶路程 = 速度×时间 = 60t， 故；行驶时间满足，即定义域为.故选A. 3. 某工厂生产某种零件，每件成本为8元，每天固定成本为200元，若每天生产件零件，每天的总成本为元，则下列说法正确的是（ ） A. 函数关系式为 B. 定义域为且 C. 当时，总成本为400元 D. 成本随产量的增长非线性变化 【考点】一次函数模型的实际应用（成本问题） 【答案】B 【解析】总成本 = 固定成本 + 单件成本×产量，故函数关系式为，A错误；产量为非负整数，定义域为且为整数，B正确；当时，总成本元，C错误；成本随产量线性增长，D错误.故选B. 二、多选题 4. 下列实际问题中，可采用一次函数模型求解的有（ ） A. 某超市推出单价为5元/千克的苹果，购买千克的总价元 B. 某手机套餐月租20元，每分钟通话费0.1元，通话分钟的总话费元 C. 正方形的面积与边长的关系 D. 匀速行驶的火车，路程与行驶时间的关系 【考点】一次函数模型的应用场景判断 【答案】ABD 【解析】A选项，总价，是一次函数；B选项，总话费，是一次函数；C选项，正方形面积，是二次函数；D选项，路程（为匀速速度），是一次函数.故选ABD. 三、填空题 5. 已知某快递公司的收费标准：省内首重1千克8元，续重每千克加收2元（不足1千克按1千克计算），设省内快递重量为千克（），运费为元，则当时，函数关系式为________，当时，运费为________元. 【考点】一次函数模型的实际应用（快递计费问题） 【答案】（或）；14 【解析】当时，续重重量为（不足1千克按1千克算），运费 = 首重费 + 续重费，即；按4千克算，代入得元. 6. 某商店购进一批笔记本，每件进价为3元，售价为元（），每天可卖出件，设每天的销售额为元，则与的函数关系式为________，定义域为________. 【考点】一次函数模型的实际应用（销售额问题） 【答案】；（且为正数） 【解析】销售额 = 售价×销量，故；题干已给出定义域，且售价为正数，贴合实际场景. 四、解答题 7. 某设备由甲厂生产 10 台，由乙厂生产 6 台，现将这 16 台设备销售给 A 地与 B 地各 8 台，其运输费用如下表所示（单位：元/台）： 厂家\销售地 A B 甲 400 500 乙 200 400 （1）若甲厂生产的该设备销售给 A 地 8 台，则销售这 16 台设备的总运输费为多少？ （2）设甲厂生产的该设备销售给 A 地 台，求销售这 16 台设备的总运费关于 的函数关系式； （3）求销售这 16 台设备的总运费最低的销售方案及最低的总运费. 【考点】一次函数的实际应用（线性规划、一次函数最值） 【答案】（1）总运费为 6600 元； （2）总运费函数为 （）； （3）当甲厂运往A地2台、B地8台，乙厂运往A地6台、B地0台时，总运费最低，为6000元. 【解析】（1）直接计算：甲厂运往A地8台，运费： 元； 甲厂剩余 台运往B地，运费： 元； A地需8台，故乙厂需运往A地0台，B地6台，运费： 元； 总运费： 元； （2）建立函数关系式： 甲厂运往A地 台，则运往B地 台；A地需8台，故乙厂运往A地 台； 乙厂共6台，故运往B地 台； 运输量非负：（ 为整数）. 总运费：； （3）求最小值： 函数 在 上单调递增，故当 时， 最小： ， 此时分配方案：甲厂：A地2台，B地8台；乙厂：A地6台，B地0台. 【考点2 分段函数模型的实际应用】 1. 核心应用场景：解决实际问题中“不同范围内对应关系不同”的场景，常见类型包括：分段计费（出租车、话费、水电费、快递费等）、分段计价（商品阶梯定价）、分段取值（如产量不同折扣不同）、分段控制（如温度、浓度等区间控制）等. 2. 解题关键：第一步，明确题干中“分段节点”（如出租车3公里、话费100分钟、水电费阶梯临界点）；第二步，划分自变量的不同区间，分别确定每个区间对应的函数关系式（一次函数为主，偶尔结合常数函数）；第三步，判断所求自变量所在的 区间 ，代入对应区间的函数关系式求解，注意区间端点的取值归属. 3. 注意事项：分段函数是一个函数，各区间的定义域不重叠、不遗漏；计算时需准确判断自变量所在区间，避免代入错误的函数关系式；定义域需结合实际场景确定. 【即时训练】 一、单选题 1. 某出租车收费标准为：3公里内起步价8元，超过3公里后，每公里加收2元（不足1公里按1公里计算），设行驶里程为公里（），车费为元，则当时，的值为（ ） A. 10元 B. 12元 C. 14元 D. 16元 【考点】分段函数模型的实际应用（出租车计费问题） 【答案】B 【解析】按5公里计算，超过3公里的里程为5 - 3 = 2公里，车费元.故选B. 2. 已知某水电费收费标准：每月用水量不超过10吨，每吨2.5元；超过10吨的部分，每吨3.5元，设每月用水量为吨，水费为元，则下列分段函数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【考点】分段函数模型的实际应用（水电费计费问题） 【答案】B 【解析】当时，水费；当时，水费 = 10吨以内的费用 + 超过部分的费用，即.故选B. 3. 某商品定价规则：购买数量不超过5件，每件10元；超过5件但不超过10件，每件9元；超过10件，每件8元，设购买数量为件，总价为元，则当时，与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【考点】分段函数模型的实际应用（商品定价问题） 【答案】D 【解析】当时，每件单价为9元，总价.故选D. 二、多选题 4. 狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义.狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意， 【考点】分段函数模型的实际应用（狄利克雷函数） 【答案】 【解析】我们逐一分析选项： 选项 A： 是分数，属于有理数（），根据狄利克雷函数的定义：，因此 A 选项错误. 选项 B：对任意，的取值只能是或，而和都属于有理数（），因此： 若，则，故；若，则，故. 综上，对任意，都有，因此 B 选项正确. 选项 C:要判断是否为偶函数，需验证对任意成立： 若，则，故；若，则，故. 因此满足偶函数的定义，C 选项正确. 选项 D：设，对任意： 若，则（有理数 + 有理数 = 有理数），故； 若，则（无理数 + 有理数 = 无理数），故. 因此对任意，都有，D 选项正确. 综上，正确选项为. 三、填空题 5. 某手机套餐收费标准：每月月租10元，包含100分钟通话，超过100分钟后，每分钟加收0.1元，设每月通话时长为分钟（），月话费为元，则当时，________；当时，________. 【考点】分段函数模型的实际应用（话费计费问题） 【答案】10；15 【解析】当时，仅需支付月租10元，故；当时，超过部分时长为150 - 100 = 50分钟，总话费元. 6. 某快递收费标准：省外首重1千克12元，续重每千克加收5元（不足1千克按1千克计算），设省外快递重量为千克（），运费为元，则当时，________；当时，快递重量的取值范围是________. 【考点】分段函数模型的实际应用（快递计费问题） 【答案】22； 【解析】按3千克计算，续重2千克，运费元； 设重量为千克，当时，12 + 5(x - 1) = 32，解得，结合不足1千克按1千克算，x的取值范围是4 < x ≤ 5. 四、解答题 7. 假设王刚家庭的每月收入为 （元），.他制订了一个理财计划： 当某月家庭收入不超过 3000 元时，则不进行投资；当某月家庭收入超过 3000 元但不超过 10000 元时，则将超过 3000 元部分中的 50% 用于投资；当某月家庭收入超过 10000 元时，则将超过 3000 元但不超过 10000 元部分中的 50% 和超过 10000 元部分中的 60% 用于投资. 试建立王刚每月用于投资的资金 （元）与月收入 （元）之间的函数关系式. 【考点】分段函数的建立与实际应用 【答案】 【解析】当时，不投资，故 ； 当时，仅超过3000元的部分按50%投资，即 ； 当时，3000~10000元部分： 元； 超过10000元部分：；合计：. 所以，王刚每月用于投资的资金 （元）与月收入 （元）之间的函数关系式为： 【考点3 二次函数模型的实际应用】 1. 核心应用场景：主要解决实际问题中的“最值问题”，常见类型包括：利润最大问题、产量最高问题、成本最低问题、用料最省问题、射程/高度最值问题等，核心是利用二次函数的顶点性质求解最值. 2. 解题关键：第一步，建立二次函数关系式，一般形式为（），顶点式为（其中为抛物线的 顶点 ）；第二步，确定自变量的定义域（结合实际场景，如售价、产量的取值范围）；第三步，根据的符号判断最值类型（有最小值，有最大值），结合顶点横坐标，求解最值及对应自变量的值. 3. 注意事项：若顶点横坐标在定义域内，最值为顶点纵坐标；若顶点横坐标不在定义域内，最值在定义域的端点处取得；需检验所求最值对应的自变量是否符合实际意义. 【即时训练】 一、单选题 1. 某商店销售某种商品，每件进价为20元，售价为元（），每天的销量为件，则每天的最大利润为（ ） A. 200元 B. 225元 C. 250元 D. 300元 【考点】二次函数模型的实际应用（利润最值问题） 【答案】B 【解析】利润，其中，函数有最大值，顶点横坐标，代入得元.故选B. 2. 现要用总长为 40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），为使围成菜园所用篱笆用料最省且菜园面积最大，则菜园垂直于墙的边长为（ ） A. 10m B. 15m C. 20m D. 25m 【考点】二次函数模型的实际应用（用料最省问题） 【答案】A 【解析】设垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为. 菜园面积： 二次函数开口向下，当时，面积最大，此时篱笆布局最合理、整体用料规划最优.故选A. 3. 某果园种植某种果树，每亩种植棵，每棵果树的产量为千克，设每亩总产量为千克，则每亩种植多少棵时，总产量最大（ ） A. 200棵 B. 250棵 C. 300棵 D. 350棵 【考点】二次函数模型的实际应用（产量最值问题） 【答案】B 【解析】总产量，，顶点横坐标，即每亩种植250棵时，总产量最大.故选B. 二、多选题 4. 下列实际问题中，可采用二次函数模型求解的有（ ） A. 周长为 40m 的矩形花圃，花圃面积与矩形一边长之间的函数关系 B. 已知铅笔单价 2 元，购买总费用与购买数量之间的函数关系 C. 抛出的实心球飞行高度与飞行时间之间的函数关系 D. 每件商品进价 30 元，售价每提高 1 元销量减少 5 件，销售总利润与售价提高金额之间的函数关系 【考点】二次函数模型的应用场景判断 【答案】ACD 【解析】A：设一边长为 m，另一边长 m，面积 ，为二次函数，A 正确； B ：费用，是正比例函数（一次函数），B 错误； C ：抛体运动高度随时间变化满足二次关系式，属于典型二次函数应用，C 正确； D ：设涨价元，单件利润、销量均含一次式，相乘整理后为二次函数，可求最大利润，D 正确. 三、填空题 5. 用长为80cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，矩形的面积为cm²，则与之间的函数关系式为__________（化为一般形式），该矩形的最大面积为________cm². 【考点】二次函数模型的实际应用（面积最大问题） 【答案】；400 【解析】矩形另一边长为cm，面积（一般形式）；二次函数中，，函数有最大值，当时，最大面积cm². 6. 某网店销售一款进价为40元的商品，售价为元（）时，每天的销量为件，设每天的销售总利润为元，则与之间的函数关系式为__________（化为一般形式），当售价为_________元时，每天的销售总利润最大. 【考点】二次函数模型的实际应用（利润最大问题） 【答案】；45 【解析】单件利润为元，总利润，展开整理得（一般形式）；二次函数中，，利润有最大值，当售价元时，总利润最大. 四、解答题 7. 某种商品的定价为每件 60 元，在不征税时每年大约销售 100 万件，在征税时每销售 100 元征税 元（即税率为 ），于是每年销售量将减少 万件. （1）将每年对该商品征收的总税金 （万元）表示成 的函数，并指出该函数的定义域； （2）若每年对该商品征收的总税金不少于 252 万元，则税率 应怎样确定； （3）在所征收的总税金不少于 252 万元的前提下，当 为何值时，商家税后的销售收入最大，最大值是多少？ 【考点】一次函数、二次函数与不等式的实际应用（定义域求解、二次不等式、二次函数最值） 【答案】（1），定义域为 ； （2）税率 应满足 ； （3）当 时，商家税后销售收入最大，最大值为3948万元. 【解析】（1）征税后销售量： （万件），需满足 ，且 ，故定义域为 . 每件售价60元，每件征税 元，总税金： （万元）； （2）税金不少于252万元：； （3）税后销售收入（万元）： ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为 ，在区间 上单调递减， 故当 时， 取得最大值：. 【考点4 抽象函数的实际应用】 1. 核心定义：抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数满足的某些性质（如单调性、奇偶性、周期性，或特定对应关系）的函数，技能高考重点考查“单调性、简单对应关系”的实际应用. 2. 核心应用场景：常见于实际问题中的“变化规律”描述，如：增长率问题、衰减问题、对应关系不确定但有明确变化趋势的问题（如销量随口碑的变化、成本随技术改进的变化等）. 3. 解题关键：第一步，根据题干给出的抽象函数性质（如“”“在定义域内单调递增”），理解函数的变化规律；第二步，结合实际问题，确定自变量的意义及定义域；第三步，利用抽象函数的性质，求解具体问题（如比较大小、求特定值、判断变化趋势等）. 4. 注意事项：中职阶段抽象函数应用不涉及复杂性质，重点掌握“单调性”和“简单对应关系”的应用；需结合实际场景，将抽象函数的性质转化为具体的实际意义. 【即时训练】 一、单选题 1. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【考点】奇函数性质和抽象函数的周期性 【答案】B 【解析】利用奇函数性质求.因为是定义在上的奇函数，根据奇函数的核心性质：对定义域内任意，都有；且定义域包含时，必有（令，则，即，移项得，所以）. 推导函数的周期性.已知，我们可以替换自变量，令替换为，则有，即，说明函数的周期（周期函数定义：存在非零常数，使得对任意，）. 计算.根据周期，；再结合已知条件，令，则，即，所以，答案选B. 2. 偶函数定义域为，且在上单调递增，则与的大小关系是（ ） A. B. C.相等 D.无法确定 【考点】抽象函数的应用（偶函数的单调性：“偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反”） 【答案】A 【解析】利用偶函数性质转化函数值.因为是偶函数，根据偶函数性质：对任意，都有，所以，此时只需比较与的大小即可. 利用的单调性比较函数值大小.已知在上单调递增，根据偶函数的单调性规律：偶函数在和上的单调性相反，因此在上单调递减. 因为（两个自变量都在区间内），所以，所以，答案选A. 3. 已知抽象函数满足，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【考点】抽象函数对应关系的实际应用（抽象函数的赋值法应用） 【答案】B 【解析】因为，故， ，因此.故选B. 二、多选题 4. 已知函数对任意实数都有，下列结论正确的是（ ） A. B.为奇函数 C.若时，则为增函数 D. 【考点】抽象函数对应关系的实际应用（抽象函数的赋值法应用） 【答案】ABC 【解析】选项A：求.令，，代入已知等式，得，即，移项得，因此A正确. 选项B：判断是否为奇函数.令，代入已知等式，得，即.由选项A可知，所以，移项得，满足奇函数定义，因此B正确. 选项C：判断单调性.对任意，令，其中，代入已知等式，得.因为，所以，因此，即，满足增函数定义，因此C正确. 选项D：由已知等式，令替换为，得，即.由选项B可知，所以，因此D错误. 综上，正确选项为ABC. 三、填空题 5. 写出一个满足等式的函数解析式：__________ 【考点】抽象函数对应的具体解析式 【答案】（或其他正比例函数） 【解析】已知条件：，我们结合所学的一次函数、正比例函数，尝试代入简单函数验证. 尝试正比例函数（为常数，）：左边；右边，左边=右边，满足条件. 最简洁的答案为（即时的正比例函数），也可写、等，只要是正比例函数均可. 6. 已知抽象函数满足，且，则________，________. 【考点】抽象函数对应关系的实际应用（抽象函数的赋值法应用） 【答案】5；7 【解析】当时，，即；当时，，即. 四、解答题 7. 已知函数是定义在上的增函数，并且满足，. （1）求、的值； （2）若，求的取值范围. 【考点】抽象函数的性质（赋值法、单调性） 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）令，则， 令，则：即； （2）由，可得. 又，因此不等式可化为： 因为是上的增函数，所以：，解得, 所以，的取值范围为. 1.（2024年湖北省技能高考第22题）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m) 与起跳后的时间(单位: s) 存在函数关系，该运动员在运动过程中的重心相对于水面的最大高度为（ ） A. 11 B. 11.4 C. 12 D. 12.6 【考点】二次函数的实际应用（最值问题） 【答案】B 【解析】函数是开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得. 二次函数顶点的纵坐标公式为： 其中，，，代入得： 因此重心的最大高度为，选 B. 2.（2024年湖北省技能高考第28题）写出一个具有性质①②的函数= . ①+；②在定义域R上是增函数. 【考点】抽象函数的性质（单调性） 【答案】（答案不唯一，形如（）的一次函数均满足条件，例如、等） 【解析】分析性质①： 满足该性质的常见函数为正比例函数（为常数）。 验证：，满足性质①。 分析性质②：在上是增函数 一次函数的单调性由斜率决定：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数为常函数，不增不减。 因此，只要取，函数就同时满足两个性质。取最简单的情况，得到，符合题目要求。 3.（2020年湖北省技能高考第27题）为了促进消费，某商品进行优惠销售，若对原价先降价 25 元，在此基础上再打 8 折，最终的售价为 80 元，则该商品共降价了 元.（注：打 8 折是指打折后价格为打折前价格的 80%） 【考点】一次函数的实际应用（销售问题） 【答案】45 【解析】设商品原价为元，打折后最终的售价为元，根据题意： 当时，，解得， 商品原价为 125 元，最终售价 80 元，共降价：元. 4.（2013年湖北省技能高考第35题）某种饮品有大盒和小盒两种包装，均以盒为销售单位，两种包装饮品的价格和容量如下表： 大盒 小盒 价格（元 / 盒） 8 2 容量（毫升 / 盒） 500 100 王鹏同学仅有人民币 36 元，准备购买此种饮品 6 盒.解答下列问题： （I）建立王鹏同学购买饮品的费用元与其购买的大盒饮品数盒之间的函数关系式，并指出其定义域；（5 分） （II）若要求王鹏同学购买的饮品容量不低于 1400 毫升，则他至少需支付的费用是多少元？（4 分） （III）王鹏同学用这 36 元人民币最多可购买多少毫升饮品？此时他所剩的金额是多少元？（3 分） 【考点】一次函数的应用、不等式组的整数解、方案优化 【答案】（I），定义域；（II）至少支付元；（III）最多购买毫升，剩余元. 【解析】（I）设购买大盒盒，则小盒为盒，费用为： 由总费用不超过 36 元，得：，又且， 故的取值为，定义域为； （II）容量不低于 1400 毫升，列不等式： ，结合定义域，可取. 是增函数，故时费用最小：； （III）要使容量最大，需尽可能多买大盒（大盒单价容量更高），同时不超过 36 元. 由，得. 当时，即大盒4盒，小盒盒，总费用：，总容量：毫升，剩余元. 5.（2012年湖北省技能高考第35题）为了加强公民的节水意思，某市制定的居民用水的收费标准为：每户月用水量不超过 10 吨时，按 3 元/ 吨的标准计费；每户月用水量超过 10 吨时，超过 10 吨的部分按 5 元/吨的标准计费．设某用户月用水量 为 (吨)，应缴水费为 (元)．解答下列问题： （I）老王家某月用水 15 吨，应缴水费多少元？(2 分) （II）建立与之间的函数关系式；(4 分) （III）设小赵家 1 月份用水不超过 10 吨，1 月份与 2 月份共用水 21 吨，两个月共缴水费 69 元，求其 1 月份与 2 月份各用水多少吨？(6 分) 【考点】分段函数的实际应用 【答案】（I）55 元；（II）；（III）1 月份用水 8 吨，2 月份用水 13 吨. 【解析】（I）用水 15 吨，超过 10 吨，水费：； （II）分两段：当时，；当时，. 故函数关系式为：； （III）设 1 月份用水吨（），则 2 月份用水吨（，因为）. 1 月份水费：元；2 月份水费：元； 两个月总水费：，解方程，得， 故 1 月份用水 8 吨，2 月份用水吨. 6.（2011年湖北省技能高考第35题）某消费场所规定每位顾客的最低消费为 400 元（即当消费不超过 400 元时一律按 400 元付费），消费超过 400 元而不超过 1000 元的部分按 9 折（即按 90% 的比例）付费，超过 1000 元的部分按 8 折付费.求解下列问题： （1）某位顾客在该场所消费了 560 元，则他应付费多少元？（2 分） （2）建立每位顾客应付费元和消费额元之间的函数关系式；（7 分） （3）若某次某顾客付费 1220 元，求他消费了多少元？（3 分） 【考点】分段函数的应用、方程求解 【答案】（1）544 元；（2）；（3）1350 元. 【解析】（1）消费 560 元，超过 400 元不超过 1000 元，应付费： ； （2）分三段：当时，； 当时，； 当时，. 故函数关系式为：； （3）付费 1220 元，超过 1000 元对应的最高付费：元，故，代入：，解方程：. 7.（2002年湖北省高职统考第22题）函数对一切实数均有成立，且. (1) 求的值； (2) 求； (3) 当，对恒成立时，求实数的取值范围. 【考点】抽象函数的应用（求值、求解析式、恒成立问题） 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 令，，代入： ，即， 已知，故； (2) 令，则： ，代入，得：； (3) 不等式，即：，化为， 该不等式对恒成立，即在上成立. 设 当时，，故. 要使对所有成立，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 函数的实际应用 【复习目标】 了解函数的实际应用。 【考点1 一次函数模型的实际应用】 1. 核心应用场景：主要解决“匀速变化、线性增长（或减少）”等实际问题，常见类型包括：成本与产量问题、利润与售价（销量）问题、行程问题、计费问题（单一标准线性计费）、浓度配比基础问题等. 2. 解题关键：第一步，根据题意确定自变量（如产量、售价、行程、时间等）和因变量（如总成本、利润、路程、费用等）；第二步，结合题干条件，求出一次函数（）中________和________的值，建立函数关系式；第三步，结合自变量的实际意义（定义域），求解具体问题（如求最值、求特定值、判断范围等）. 3. 注意事项：定义域需符合实际场景（如产量、销量、时间不能为负数，且多为非负整数）；区分“线性增长”与“非线性增长”，避免混淆一次函数与其他函数模型. 【即时训练】 一、单选题 1. 某商店出售某种商品，每件进价为10元，售价为每件15元，每天可卖出20件，若售价每降低1元，每天销量增加5件，设售价降低元，每天的利润为元，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 2. 一辆汽车从甲地开往乙地，全程300千米，匀速行驶，速度为60千米/小时，设行驶时间为小时，剩余路程为千米，则与的函数关系式及定义域正确的是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 3. 某工厂生产某种零件，每件成本为8元，每天固定成本为200元，若每天生产件零件，每天的总成本为元，则下列说法正确的是（ ） A. 函数关系式为 B. 定义域为且 C. 当时，总成本为400元 D. 成本随产量的增长非线性变化 二、多选题 4. 下列实际问题中，可采用一次函数模型求解的有（ ） A. 某超市推出单价为5元/千克的苹果，购买千克的总价元 B. 某手机套餐月租20元，每分钟通话费0.1元，通话分钟的总话费元 C. 正方形的面积与边长的关系 D. 匀速行驶的火车，路程与行驶时间的关系 三、填空题 5. 已知某快递公司的收费标准：省内首重1千克8元，续重每千克加收2元（不足1千克按1千克计算），设省内快递重量为千克（），运费为元，则当时，函数关系式为________，当时，运费为________元. 6. 某商店购进一批笔记本，每件进价为3元，售价为元（），每天可卖出件，设每天的销售额为元，则与的函数关系式为________，定义域为________. 四、解答题 7. 某设备由甲厂生产 10 台，由乙厂生产 6 台，现将这 16 台设备销售给 A 地与 B 地各 8 台，其运输费用如下表所示（单位：元/台）： 厂家\销售地 A B 甲 400 500 乙 200 400 （1）若甲厂生产的该设备销售给 A 地 8 台，则销售这 16 台设备的总运输费为多少？ （2）设甲厂生产的该设备销售给 A 地 台，求销售这 16 台设备的总运费关于 的函数关系式； （3）求销售这 16 台设备的总运费最低的销售方案及最低的总运费. 【考点2 分段函数模型的实际应用】 1. 核心应用场景：解决实际问题中“不同范围内对应关系不同”的场景，常见类型包括：分段计费（出租车、话费、水电费、快递费等）、分段计价（商品阶梯定价）、分段取值（如产量不同折扣不同）、分段控制（如温度、浓度等区间控制）等. 2. 解题关键：第一步，明确题干中“分段节点”（如出租车3公里、话费100分钟、水电费阶梯临界点）；第二步，划分自变量的不同区间，分别确定每个区间对应的函数关系式（一次函数为主，偶尔结合常数函数）；第三步，判断所求自变量所在的________，代入对应区间的函数关系式求解，注意区间端点的取值归属. 3. 注意事项：分段函数是一个函数，各区间的定义域不重叠、不遗漏；计算时需准确判断自变量所在区间，避免代入错误的函数关系式；定义域需结合实际场景确定. 【即时训练】 一、单选题 1. 某出租车收费标准为：3公里内起步价8元，超过3公里后，每公里加收2元（不足1公里按1公里计算），设行驶里程为公里（），车费为元，则当时，的值为（ ） A. 10元 B. 12元 C. 14元 D. 16元 2. 已知某水电费收费标准：每月用水量不超过10吨，每吨2.5元；超过10吨的部分，每吨3.5元，设每月用水量为吨，水费为元，则下列分段函数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某商品定价规则：购买数量不超过5件，每件10元；超过5件但不超过10件，每件9元；超过10件，每件8元，设购买数量为件，总价为元，则当时，与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 4. 狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义.狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 对任意， 三、填空题 5. 某手机套餐收费标准：每月月租10元，包含100分钟通话，超过100分钟后，每分钟加收0.1元，设每月通话时长为分钟（），月话费为元，则当时，________；当时，________. 6. 某快递收费标准：省外首重1千克12元，续重每千克加收5元（不足1千克按1千克计算），设省外快递重量为千克（），运费为元，则当时，________；当时，快递重量的取值范围是________. 四、解答题 7. 假设王刚家庭的每月收入为 （元），.他制订了一个理财计划： 当某月家庭收入不超过 3000 元时，则不进行投资；当某月家庭收入超过 3000 元但不超过 10000 元时，则将超过 3000 元部分中的 50% 用于投资；当某月家庭收入超过 10000 元时，则将超过 3000 元但不超过 10000 元部分中的 50% 和超过 10000 元部分中的 60% 用于投资. 试建立王刚每月用于投资的资金 （元）与月收入 （元）之间的函数关系式. 【考点3 二次函数模型的实际应用】 1. 核心应用场景：主要解决实际问题中的“最值问题”，常见类型包括：利润最大问题、产量最高问题、成本最低问题、用料最省问题、射程/高度最值问题等，核心是利用二次函数的顶点性质求解最值. 2. 解题关键：第一步，建立二次函数关系式，一般形式为（），顶点式为（其中为抛物线的________）；第二步，确定自变量的定义域（结合实际场景，如售价、产量的取值范围）；第三步，根据的符号判断最值类型（有最小值，有最大值），结合顶点横坐标，求解最值及对应自变量的值. 3. 注意事项：若顶点横坐标在定义域内，最值为顶点纵坐标；若顶点横坐标不在定义域内，最值在定义域的端点处取得；需检验所求最值对应的自变量是否符合实际意义. 【即时训练】 一、单选题 1. 某商店销售某种商品，每件进价为20元，售价为元（），每天的销量为件，则每天的最大利润为（ ） A. 200元 B. 225元 C. 250元 D. 300元 2. 现要用总长为 40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），为使围成菜园所用篱笆用料最省且菜园面积最大，则菜园垂直于墙的边长为（ ） A. 10m B. 15m C. 20m D. 25m 3. 某果园种植某种果树，每亩种植棵，每棵果树的产量为千克，设每亩总产量为千克，则每亩种植多少棵时，总产量最大（ ） A. 200棵 B. 250棵 C. 300棵 D. 350棵 二、多选题 4. 下列实际问题中，可采用二次函数模型求解的有（ ） A. 周长为 40m 的矩形花圃，花圃面积与矩形一边长之间的函数关系 B. 已知铅笔单价 2 元，购买总费用与购买数量之间的函数关系 C. 抛出的实心球飞行高度与飞行时间之间的函数关系 D. 每件商品进价 30 元，售价每提高 1 元销量减少 5 件，销售总利润与售价提高金额之间的函数关系 三、填空题 5. 用长为80cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为cm，矩形的面积为cm²，则与之间的函数关系式为__________（化为一般形式），该矩形的最大面积为________cm². 6. 某网店销售一款进价为40元的商品，售价为元（）时，每天的销量为件，设每天的销售总利润为元，则与之间的函数关系式为__________（化为一般形式），当售价为_________元时，每天的销售总利润最大. 四、解答题 7. 某种商品的定价为每件 60 元，在不征税时每年大约销售 100 万件，在征税时每销售 100 元征税 元（即税率为 ），于是每年销售量将减少 万件. （1）将每年对该商品征收的总税金 （万元）表示成 的函数，并指出该函数的定义域； （2）若每年对该商品征收的总税金不少于 252 万元，则税率 应怎样确定； （3）在所征收的总税金不少于 252 万元的前提下，当 为何值时，商家税后的销售收入最大，最大值是多少？ 【考点4 抽象函数的实际应用】 1. 核心定义：抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数满足的某些性质（如单调性、奇偶性、周期性，或特定对应关系）的函数，技能高考重点考查“单调性、简单对应关系”的实际应用. 2. 核心应用场景：常见于实际问题中的“变化规律”描述，如：增长率问题、衰减问题、对应关系不确定但有明确变化趋势的问题（如销量随口碑的变化、成本随技术改进的变化等）. 3. 解题关键：第一步，根据题干给出的抽象函数性质（如“”“在定义域内单调递增”），理解函数的变化规律；第二步，结合实际问题，确定自变量的意义及定义域；第三步，利用抽象函数的性质，求解具体问题（如比较大小、求特定值、判断变化趋势等）. 4. 注意事项：中职阶段抽象函数应用不涉及复杂性质，重点掌握“单调性”和“简单对应关系”的应用；需结合实际场景，将抽象函数的性质转化为具体的实际意义. 【即时训练】 一、单选题 1. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 偶函数定义域为，且在上单调递增，则与的大小关系是（ ） A. B. C.相等 D.无法确定 3. 已知抽象函数满足，且，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 二、多选题 4. 已知函数对任意实数都有，下列结论正确的是（ ） A. B.为奇函数 C.若时，则为增函数 D. 三、填空题 5. 写出一个满足等式的函数解析式：__________ 6. 已知抽象函数满足，且，则________，________. 四、解答题 7. 已知函数是定义在上的增函数，并且满足，. （1）求、的值； （2）若，求的取值范围. 1.（2024年湖北省技能高考第22题）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m) 与起跳后的时间(单位: s) 存在函数关系，该运动员在运动过程中的重心相对于水面的最大高度为（ ） A. 11 B. 11.4 C. 12 D. 12.6 2.（2024年湖北省技能高考第28题）写出一个具有性质①②的函数= . ①+；②在定义域R上是增函数. 3.（2020年湖北省技能高考第27题）为了促进消费，某商品进行优惠销售，若对原价先降价 25 元，在此基础上再打 8 折，最终的售价为 80 元，则该商品共降价了 元.（注：打 8 折是指打折后价格为打折前价格的 80%） 4.（2013年湖北省技能高考第35题）某种饮品有大盒和小盒两种包装，均以盒为销售单位，两种包装饮品的价格和容量如下表： 大盒 小盒 价格（元 / 盒） 8 2 容量（毫升 / 盒） 500 100 王鹏同学仅有人民币 36 元，准备购买此种饮品 6 盒.解答下列问题： （I）建立王鹏同学购买饮品的费用元与其购买的大盒饮品数盒之间的函数关系式，并指出其定义域；（5 分） （II）若要求王鹏同学购买的饮品容量不低于 1400 毫升，则他至少需支付的费用是多少元？（4 分） （III）王鹏同学用这 36 元人民币最多可购买多少毫升饮品？此时他所剩的金额是多少元？（3 分） 5.（2012年湖北省技能高考第35题）为了加强公民的节水意思，某市制定的居民用水的收费标准为：每户月用水量不超过 10 吨时，按 3 元/ 吨的标准计费；每户月用水量超过 10 吨时，超过 10 吨的部分按 5 元/吨的标准计费．设某用户月用水量 为 (吨)，应缴水费为 (元)．解答下列问题： （I）老王家某月用水 15 吨，应缴水费多少元？(2 分) （II）建立与之间的函数关系式；(4 分) （III）设小赵家 1 月份用水不超过 10 吨，1 月份与 2 月份共用水 21 吨，两个月共缴水费 69 元，求其 1 月份与 2 月份各用水多少吨？(6 分) 6.（2011年湖北省技能高考第35题）某消费场所规定每位顾客的最低消费为 400 元（即当消费不超过 400 元时一律按 400 元付费），消费超过 400 元而不超过 1000 元的部分按 9 折（即按 90% 的比例）付费，超过 1000 元的部分按 8 折付费.求解下列问题： （1）某位顾客在该场所消费了 560 元，则他应付费多少元？（2 分） （2）建立每位顾客应付费元和消费额元之间的函数关系式；（7 分） （3）若某次某顾客付费 1220 元，求他消费了多少元？（3 分） 7.（2002年湖北省高职统考第22题）函数对一切实数均有成立，且. (1) 求的值； (2) 求； (3) 当，对恒成立时，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $