专题32 数列的概念（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 数列的概念 【复习目标】 1. 理解数列的概念，会判断数列的增减性、会求一般数列的通项公式. 2. 掌握已知sn求an方法. 【考点1 数列有关的概念】 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 递增数列⇔an＋1＞an；递减数列⇔an＋1＜an； 常数列⇔an＋1 ＝an. 递增数列与递减数列统称为单调数列． 【即时训练】 1．以下说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列中的项与顺序无关 C．数列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八项为7 D．数列0，2，4，6，……可记为{2n} 【答案】C 【解析】数列是按一定顺序排成一列的数，和项相同与否没有关系，故AB均错误； 数列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八项为7，故C正确； 数列0，2，4，6，……可记为{2n－2}，n∈，故D错误， 故选：C. 2．有下列说法： ①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}； ②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列； ③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列； ④数列0，1，0，1，是常数列． 其中说法正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的； ②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列； ③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，是无穷数列； ④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，不是常数列． 故选：A. 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意， 故选：C． 4．数列，则是这个数列的第（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】A 【解析】数列为， 故通项公式为，是这个数列的第项， 故选：A. 5．数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 【答案】C 【分析】根据的关系即可求解. 【解析】由可得， 故选：C. 6．观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察下列数的特点，，，，，，，，，…， 可知：，，，，得， 故选：． 7．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解，并检验. 【解析】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D. 8．设数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，； 当时，， 故选：A. 【考点2 数列的通项公式、递推公式】 1．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 4．常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n； (6)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 5．数列前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 【即时训练】 1．已知数列满足，则的值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据数列的递推公式代数求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 2．若数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与的关系即可求解. 【详解】． 故选：A. 3．已知数列的前4项为3，6，11，20，则的通项公式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列前4项，判断得解. 【解析】已知数列的前4项为3，6，11，20，即， 验证选项中的通项公式，只有，符合题意， 所以的通项公式可以是. 故选：B. 4．已知数列的通项公式为，则等于（   ） A．70 B．28 C．20 D．8 【答案】C 【分析】利用数列的通项求出数列中的项，然后相乘即可. 【详解】由题可知，， 则； 故选：C. 5．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据规律可知数列的前三项为， 所以该数列的一个通项公式为， 故选：A. 6．数列的前n项和，则该数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和的关系，列式求出数列的通项即可. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 当时，， 所以该数列的通项公式为 故选：D. 7．符合递推关系式的数列是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】将各个选项的数代入递推关系即可判断. 【解析】对于A，，不满足题意； 对于C，，不满足题意； 对于D，，不满足题意； 对于B，，，， 满足. 故选：B． 8．设数列的前项和为．若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【解析】当时，， 当时，. 故选：D. 9．已知数列的前n项和为，且，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据代入即可得解. 【解析】当时，，又，则． 当时，，又，所以， 解得：． 故选：D. 10．已知数列的前n项和为，且，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据代入即可得解. 【解析】当时，，又，则． 当时，，又，所以， 解得：． 故选：D. 11．如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】是数列中的项，是第10项 【分析】由求出的值，再判断是否为正整数即可. 【解析】解：由，解得或， 因为，所以， 所以120是这个数列的项，是第10项. 12．已知数列的前项和为，且满足和（其中）. （1）求数列的前四项； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）1，2，4，8（2） 【解析】解：由①， 用去替换上式中的， 得②， ①—②得， 所以数列为公比为2得等比数列，又因为， 所以： （1）数列的前四项为：1，2，4，8； （2）. 1．（2025年·河南对口升学高考第21题）已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，代入即可求解； （2）根据题意，可得，将递推公式取倒数，化简可得，继而得到数列是等差数列，求出首项和公差，即可求解. 【小问1详解】 因为，数列满足， 所以将，代入得； 将，代入得； 所以，； 【小问2详解】 因为数列中，，所以， 又， 所以，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差等差数列， 所以数列的通项公式为. 2．（2024年·河南对口升学高考第22题）已知数列的前项和为，且满足，求证：是等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】先根据递推关系得到，即可证明为等差数列. 【解析】∵， 且题目已知， ∴， 即，即. ∵，故，得到， 以此类推，. 故，可化为. 故，是以为首项，1为公差的等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题32 数列的概念 【复习目标】 1. 理解数列的概念，会判断数列的增减性、会求一般数列的通项公式. 2. 掌握已知sn求an方法. 【考点1 数列有关的概念】 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 递增数列⇔an＋1＞an；递减数列⇔an＋1＜an； 常数列⇔an＋1 ＝an. 递增数列与递减数列统称为单调数列． 【即时训练】 1．以下说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列中的项与顺序无关 C．数列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八项为7 D．数列0，2，4，6，……可记为{2n} 2．有下列说法： ①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}； ②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列； ③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列； ④数列0，1，0，1，是常数列． 其中说法正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 4．数列，则是这个数列的第（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 5．数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 6．观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 8．设数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【考点2 数列的通项公式、递推公式】 1．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 3．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 4．常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n； (6)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 5．数列前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 【即时训练】 1．已知数列满足，则的值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 2．若数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 3．已知数列的前4项为3，6，11，20，则的通项公式可以是（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的通项公式为，则等于（   ） A．70 B．28 C．20 D．8 5．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 6．数列的前n项和，则该数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 7．符合递推关系式的数列是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．设数列的前项和为．若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 9．已知数列的前n项和为，且，则（ ） A．1 B．2 C． D． 10．已知数列的前n项和为，且，则（ ） A．1 B．2 C． D． 11．如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 12．已知数列的前项和为，且满足和（其中）. （1）求数列的前四项； （2）求数列的通项公式. 1．（2025年·河南对口升学高考第21题）已知数列中，，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 2．（2024年·河南对口升学高考第22题）已知数列的前项和为，且满足，求证：是等差数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $