专题37 二项式定理（讲义）-2027年河南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题37 二项式定理 【复习目标】 1. 理解二项式定理的概念，掌握二项式定理展开式的公式. 2. 掌握二项式系数的性质，区别二项式系数和项的系数的关系. 【考点1 二项式定理】 1.二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. 2.二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 3.二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 4.二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 【即时训练】 1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．的展开式中系数最大的项是（ ） A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 3．设，则（ ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（ ） A． B．5 C． D．10 5．若，则（ ） A．80 B． C．40 D．81 6．的展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 7．求的展开式的第4项的二项式系数（ ） A． B． C．15 D．20 8． 在的展开式中，常数项为（ ） A． B． C． D． 9．在的展开式中，的系数为 ． 10．的展开式中的常数项为 ． 【考点2 二项式系数的性质】 1.对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： 2.增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； 3.最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 4.各二项式系数和： （1）展开式的各二项式系数和：； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【即时训练】 1．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ） A． B． C． D． 2．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ） A． B． C． D． 4．在展开式中的系数为24，则实数的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 5．若的展开式中常数项等于，则（ ） A． B． C． D． 6．，则（ ） A．16     B．27     C．43     D．70 7．已知，若，则的取值可以为（ ） A．2 B．1 C． D． 8．二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 9．在的展开式中，的系数为8，则实数的值为 ． 10．已知，该展开式二项式系数和为32. （1）求n的值； （2）求的值. 1．展开式中二项式系数最大的项是（ ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 2．（2025年·河南对口升学高考第18题） 的展开式中，二项式系数之和是_________. 3．（2024年·河南对口升学高考第9题）的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 4．（2022年·河南对口升学高考第9题）若，则的值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 5．（2023年河南对口模拟考试）已知则（ ） A． B．0 C．1 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题37 二项式定理 【复习目标】 1. 理解二项式定理的概念，掌握二项式定理展开式的公式. 2. 掌握二项式系数的性质，区别二项式系数和项的系数的关系. 【考点1 二项式定理】 1.二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. 2.二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 3.二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 4.二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 【即时训练】 1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，令得：，解得：． 故选：B 2．的展开式中系数最大的项是（ ） A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 【答案】B 【解析】由的展开式的通项为知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项， 即最大，所以，即第6项的系数最大． 故选：B. 3．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 令，得； 令，得， 所以. 故选：B. 4．在的展开式中，的系数为（ ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解析】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 5．若，则（ ） A．80 B． C．40 D．81 【答案】C 【解析】由题意，. 故选：C. 6．的展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的展开式的通项是，（） 由题意，， 因此，的系数是. 故选：B. 7．求的展开式的第4项的二项式系数（ ） A． B． C．15 D．20 【答案】D 【解析】由二项展开式的二项式系数的性质， 可得二项式的展开式的第4项的二项式系数. 故选：D. 8． 在的展开式中，常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：. 则展开式中得到常数项只有一种方法，即每个括号中都取出相乘可得. 故展开式中常数项为； 法二：的展开式中通项为 . 令，可得， 则展开式中常数项为. 故选：A. 9．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为． 故答案为：. 10．的展开式中的常数项为 ． 【答案】24 【解析】由通项公式得:, 令,即可得, 所以展开式的常数项为:. 故答案为：24 【考点2 二项式系数的性质】 1.对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： 2.增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； 3.最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. 4.各二项式系数和： （1）展开式的各二项式系数和：； （2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【即时训练】 1．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，所以，. 故选：A. 2．已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，令得：，解得：． 故选：B. 3．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：A. 4．在展开式中的系数为24，则实数的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】展开式中的系数为，解得. 故选：D. 5．若的展开式中常数项等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵的展开式中的通项公式为， 令得，可得常数项为，得， 故选：C． 6．，则（ ） A．16     B．27     C．43     D．70 【答案】C 【解析】依题意， 令，得. 故选：C 7．已知，若，则的取值可以为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】令，有， 即或. 故选：A. 8．二项式展开式的各二项式系数之和为32，n= ；该展开式中项的系数为 ． 【答案】 5 -5 【解析】二项式展开式的各二项式系数之和为32，则有，得； 二项式展开式的通项为，且， 令，解得，所以展开式中项的系数为. 故答案为：5；-5. 9．在的展开式中，的系数为8，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】的展开式的通项为， 令，解得， 所以系数是，解得． 故答案为：2. 10．已知，该展开式二项式系数和为32. （1）求n的值； （2）求的值. 【答案】(1)5 (2) 【解析】解：(1)由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得. (2)在展开式中令，得， 即. 1．展开式中二项式系数最大的项是（ ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 【答案】C 【解析】 展开式共 11项，二项式系数最大的是第6项, n=10为偶数，最大项为第 ． 故选：C． 2．（2025年·河南对口升学高考第18题） 的展开式中，二项式系数之和是_________. 【答案】32 【分析】利用二项式展开式的二项式系数之和为可求. 【详解】对于二项式，其展开式的二项式系数之和为. 所以的展开式中，二项式系数之和是. 故答案为：. 3．（2024年·河南对口升学高考第9题）的展开式中包含的项有（ ） A. 常数项 B. 含x的项 C. 含的项 D. 含的项 【答案】C 【分析】先求通项公式，再具体分析即可 【解析】的展开式的通项为， 当时，，不成立；当时，，不成立； 当时，，成立；当时，，不成立； 故选：C. 4．（2022年·河南对口升学高考第9题）若，则的值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】B 【解析】若，则，， 故选：B. 5．（2023年河南对口模拟考试）已知则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由， 令得：，则； 令得：， 所以， 则， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $