2026年河南省平顶山市鲁山县第三协作区二模数学试题

**基本信息** 融合科技前沿（埃米单位）、社会热点（双碳目标）与文化传承（《算法统宗》），梯度设计覆盖基础运算到综合探究，适配中考二模能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、科学记数法、三视图、概率计算|第4题测角仪实践操作，体现几何直观与空间观念| |填空题|5/15|正多边形外角、方程组应用、扇形面积|第13题《算法统宗》问题，渗透文化传承与模型意识| |解答题|8/75|统计分析、反比例函数、解直角三角形、旋转探究|第10题结合速度牵引力图像计算功，跨学科融合；第23题旋转动态探究，发展推理能力与创新意识|

2026年中考学科第二次调研考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上 的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.-6的相反数是 A.6 B.-6 c D.- 2.埃米是晶体学、原子物理、超显微结构等常用的长度单位，音译为“埃”，符号为A,1A等于 0.0000000001m.2.8A用科学记数法表示为 A.2.8×10-9m B.2.8×10-10m C.28×10-11m D.0.28×10-9m 3化简，21的结果为 A.8a-16 B.16 C.-8 D.8 4.数学活动课上，伍老师带领学生制作简易测角仪，并利用它进行测量 ①制作：如图1，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物 ②测量：如图2，将测角仪托起放到眼前，使视线沿着半圆形量角器的直径到达路灯的最高点，读数 如图3所示.则图2中α的度数为 水平地面 *读数为55° 图1 图2 图3 (第4题) A.55 B.50° C.45° D.35° 5.某班级评选校级“三好学生”的规则如下：最终得分按“组织能力”占40%、“期末成绩”占40%、“平 时成绩”占10%、“卫生纪律”占10%进行计算（各项满分均为100分），小明这四项的得分依次为 90分，95分，93分，85分，则他的最终得分是 A.91.5分 B.91.8分 C.92.0分 D.92.3分 6.如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体 的个数，则这个几何体的左视图是 3 2 B D (第6题) 7.如图，□ABCD中，AB=6,BC=10,∠BAC=90°，E为BC的中点，连接AE交BD于点F,则EF的 长为 A多 5 5 10 B. C. D. 3 B 5元 1元 2元 E D (第7题) (第8题) (第9题) 8.某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元就有两次转转盘的机会，规则如下：如图，转盘 被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有1元、2元、5元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针 所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）.刘阿姨购物满200 元，则她转得最大返利金的概率为 A司 B号 c号 D号 9.在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形CDEF按如图所示的方式放置在x轴的上方，其中 A(-4,2),D(7,0),则点E的坐标为 A.(9,5) B.(11,4) C.(12,4) D.(11,5) 10.绿色低碳出行助力“双碳”目标，电动自行车低碳环保，为城市可持续发展贡献力量.某电动车生产 厂家对某款电动自行车进行道路性能测试，让该车在平直路面上由静止开始安全行驶12s,并从第 2秒开始记录速度、时间、牵引力的相关数据，绘制成如图1所示的速度v(m/s)与时间t(s)的函数 关系图象、如图2所示的牵引力F(N)与时间t(s)的函数关系图象，其中7~12s电动自行车保持 匀速行驶，且牵引力大小不变， v/(m/s) FNA 6 135 35 7 12 i/s 图1 图2 (第10题) 小贴士 功的定义：如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，就说这个力对物体做了功： 功的计算公式：W=Fs,其中， W:功，单位为焦耳(J); F:力，单位为牛顿(N); s:在力的方向上移动的距离，单位为米(m): 下列结论正确的是 A.2~12s内，速度v随时间t的增大而增大 B.2~7s内，牵引力F与时间t之间为反比例函数关系 C.第4.5s时，速度高于4.5m/s D.最后2s,牵引力所做的功为210J 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数： 12.若一个正n边形的每一个外角都为45°，则n的值为 13.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云 米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘.问米、麦各若干.译文：“现有米和麦子一共500石，总 价是银子4057钱.只知道：米每石价值8.6钱，麦子每石价值7.25钱.问：米和麦子各有多少石？” 若设米x石，麦子y石，则可列方程组为 14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C,D分别为OA,OB的中点，AD,BC交于点E.若OA=6,则图中 阴影部分的面积为 0 (第14题) (第15题) 15.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4+4√3，E是对角线BD上一动点，将△ABE 沿AE翻折，得到△AFE,连接DF.当以点A,E,F,D为顶点的四边形的一组对边平行时， 线段BE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：(1)1-21+-2cos45°； (2)化简：（a+3)(a-3)+a(1-a) 17.（9分)综合与实践 【项目背景】 某班级同学在老师的带领下前往某企业开展综合实践活动，准备从多方面开展调查分析，为企业 的进一步发展提供参考，其中一个项目是调查该企业职工的月收入 【数据收集与整理】 同学们随机抽取了部分职工的平均月收入x(单位：万元)作为样本，将收集的数据整理后分为A, B,C,D,E五组，绘制成如下不完整的统计图表. 平均月收入统计表 平均月收入频数分布直方图 平均月收入扇形统计图 组别 收人x/万元 频数 20 A 0<x≤0.5 20---- 5 15-- B B 0.5<x≤1 a 25% P 60 C 1<x≤1.5 5 D 1.5<x≤2 0 A B C D E组别 E x>2 图1 图2 根据以上信息，回答下列问题 (1)图1中a的值为 图2中b的值为 【数据分析与运用】 (2)平均月收入这组数据的中位数落在 组（填字母代号） (3)该企业计划开展一次职工技能提升培训，为使培训更有针对性，需要确定优先覆盖的职工群 体，有以下两个方向： 方向1：优先覆盖平均月收入≤1万元的职工，帮助他们提升技能、增加收入； 方向2：优先覆盖平均月收入>1万元的职工，强化企业核心生产力量. 请你结合本次调查数据，为该企业推荐一个更合理的方向（从以上两个方向中选一个），并说 明推荐理由. 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上， 顶点B的坐标为(4,3)，对角线AC,0B交于点D,反比例函数y=兰(x>0)的图象经过8C的中 点P. (1)求反比例函数的表达式. (2)将反比例函数y=(x>0)的图象向下平移n(n>0)个单位长度后，恰好经过点D,且平移后 的图象与线段BC交于点E,求CE的长， 9.(9分)为了测量斜坡上宝塔（如图1）的高度，某数学兴趣小组在斜坡的坡底C处竖立标杆CD进 行测量，如图2，测得斜坡的坡角∠BC℉=17.5°，标杆CD=1.2米，斜坡BC=30米，在标杆顶端D 处测得宝塔顶端A的仰角为36.9°.已知AB⊥EF,点A.B,C,D,E,F在同一竖直平面内，EF为水平 地面，求宝塔AB的高度.（结果精确到0.1米参考数据：sin17.5°-0.30，cos17.5°=0.95， nn17.5°=0.32，sin36.9°=0.60，cos36.9°=0.80，tmn36.9°-0.75) 6.9 7.5 图1 图2 20.(9分)为加强劳动教育，丰盆学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的符笆在两 面互相垂直且足够长的围墙边田出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示， (1)求矩形菜地的长和宽 (2)现要给这块菜地施肥，该杜团计划购买A,B两种化肥共20千克已知A种化肥每 千克8元，每千克可给1、平方米的菜地施肥；B种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜 地施肥.假设菜地的一部分施4种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化 肥，既能完成施肥任分，又能使总花费最少？ 21.（9分)如图，△ABC内接于⊙0.且AB=AC,BD是⊙0的直径， (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的平行线AM(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)的条件下，连接CD并延长，交直线AM于点E.若AB=65,CE=9万，求⊙0的半径 22.(10分)已知抛物线y=x+(2a-1)x+b(a,b为常数)经过点(1,2) (1)若该抛物线经过点(0,0) ①求该抛物线的表达式： ②若点P(x1y)和点Q(2,y)都在该抛物线上，且对于(<x,<!+3,都有y1>y,则 :的取值范围是 (2)若对于任意实数x,x2+(2a-1)x+b≥x+1恒成立，求b的值 J …} 6 .÷..5 r-S- -6210233x 备用图 23.(10分)如图1，等边三角形CDE的顶点E在等边三角形ABC的边AC上，点D在AC下 方.将△CDE绕点C沿顺时针方向旋转，旋转角为a(0°<a≤120°且a≠60)，直线BE, D交于点O,连接OC (1)观察猜想 当0°<a<60时，如图2，用等式表示线段01,0B,0C的数量关系： (2)类比探究 当60°<α≤120时，如图3，判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立，请证明：若不成立，请写 出正确结论，并证明. (3)拓展应用 当0°<a≤120°，且△BEC是直角三角形时，若AC=10,DC=6,直接写出△M0C的面积 图1 图2 图3 各用图 2026年中考学科第二次调研考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1.-6的相反数是 D. C. A.6 B. - 6 2.埃米是晶体学、原子物理、超显微结构等常用的长度单位，音译为“埃”，符号为Å，1Å等于0.000 000 000 1 m.2.8 A 用科学记数法表示为 3.化简 的结果为 A.8a-16 B.16 C. - 8 D.8 4.数学活动课上，伍老师带领学生制作简易测角仪，并利用它进行测量. ①制作：如图1，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物. ②测量：如图2，将测角仪托起放到眼前，使视线沿着半圆形量角器的直径到达路灯的最高点，读数如图3所示.则图2中α的度数为 (第4题) A.55° B.50° C.45° D.35° 5.某班级评选校级“三好学生”的规则如下：最终得分按“组织能力”占40%、“期末成绩”占40%、“平时成绩”占10%、“卫生纪律”占10%进行计算(各项满分均为100分)，小明这四项的得分依次为90分，95分，93分，85分，则他的最终得分是 A.91.5分 B.91.8分 C.92.0分 D.92.3 分 6.如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是 7.如图,▱ABCD中,AB=6,BC=10,∠BAC=90°,E为BC的中点,连接AE交BD 于点 F,则 EF的长为 A. B. C. D. 8.某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元就有两次转转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有1元、2元、5元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金(若指针指在边界上，则重转).刘阿姨购物满200元，则她转得最大返利金的概率为 A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，正方形 OABC和正方形 CDEF按如图所示的方式放置在x轴的上方，其中A(-4,2),D(7,0),则点 E的坐标为 A.(9,5) B.(11,4) C.(12,4) D.(11,5) 10.绿色低碳出行助力“双碳”目标，电动自行车低碳环保，为城市可持续发展贡献力量.某电动车生产厂家对某款电动自行车进行道路性能测试，让该车在平直路面上由静止开始安全行驶12s，并从第2秒开始记录速度、时间、牵引力的相关数据，绘制成如图1所示的速度v(m/s)与时间t(s)的函数关系图象、如图2所示的牵引力F(N)与时间t(s)的函数关系图象，其中7~12s电动自行车保持匀速行驶，且牵引力大小不变. 小贴士 功的定义：如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，就说这个力对物体做了功. 功的计算公式：w＝Fs 其中， W:功,单位为焦耳(J); F:力,单位为牛顿(N); s：在力的方向上移动的距离，单位为米(m). 下列结论正确的是 A.2~12 s内，速度v随时间t的增大而增大 B.2~7s内，牵引力F与时间t之间为反比例函数关系 C.第4.5s 时,速度高于4.5m /s D.最后2 s,牵引力所做的功为210 J 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数： . 12.若一个正 n边形的每一个外角都为45°，则n的值为 . 13.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘.问米、麦各若干.译文：“现有米和麦子一共 500 石，总价是银子4057钱.只知道：米每石价值8.6钱，麦子每石价值7.25钱.问：米和麦子各有多少石?”若设米x石，麦子y石，则可列方程组为 . 14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,C,D分别为OA,OB的中点,AD,BC交于点E.若OA=6,则图中阴影部分的面积为 . 15.如图,在菱形ABCD中,. E 是对角线 BD 上一动点，将△ABE沿AE 翻折，得到△AFE，连接DF.当以点A，E，F，D为顶点的四边形的一组对边平行时，线段 BE 的长为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简:(a+3)(a-3)+a(1-a). 17.(9分)综合与实践 【项目背景】 某班级同学在老师的带领下前往某企业开展综合实践活动，准备从多方面开展调查分析，为企业的进一步发展提供参考，其中一个项目是调查该企业职工的月收入. 【数据收集与整理】 同学们随机抽取了部分职工的平均月收入x(单位：万元)作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五组，绘制成如下不完整的统计图表. 平均月收入统计表 组别 收入x/万元 A 0<x≤0.5 B 0.5<x≤1 C 1 <x≤1.5 D 1.5<x≤2 E X＞2 根据以上信息，回答下列问题. (1)图1中a的值为 ,图2中b的值为 . 【数据分析与运用】 (2)平均月收入这组数据的中位数落在 组(填字母代号). (3)该企业计划开展一次职工技能提升培训，为使培训更有针对性，需要确定优先覆盖的职工群体，有以下两个方向： 方向1：优先覆盖平均月收入≤1万元的职工，帮助他们提升技能、增加收入； 方向2：优先覆盖平均月收入＞1万元的职工，强化企业核心生产力量. 请你结合本次调查数据，为该企业推荐一个更合理的方向(从以上两个方向中选一个)，并说明推荐理由. 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(4，3)，对角线AC，OB交于点D，反比例函数 的图象经过BC的中点 P. (1)求反比例函数的表达式. (2)将反比例函数 的图象向下平移n(n0)个单位长度后，恰好经过点D，且平移后的图象与线段 BC交于点 E，求CE 的长. 19.(9分)为了测量斜坡上宝塔(如图1)的高度、某数学兴趣小组在斜坡的坡底C处竖立标杆CD进行测量，如图2，测得斜坡的坡角 标杆 CD=1.2米，斜坡BC=30米，在标杆顶端D处测得宝塔顶端A的仰角为 已知 点A,B,C,D,E,F在同一竖直平面内,EF为水平地面，求宝塔AB 的高度.(结果精确到0.1米.参考数据： ) 20.(9分)为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示. (1)求矩形菜地的长和宽. (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买A、B两种化肥共20千克.已知A种化肥每、千克8元，每千克可给1、平方米的菜地施肥；B种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥.假设菜地的一部分施A种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少? 21.(9分)如图, 内接于⊙O,且AB=AC,BD是⊙O的直径. (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的平行线AM(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)的条件下，连接CD并延长，交直线AM于点E.若 求⊙O的半径. 22.(10分)已知抛物线 (a,b为常数)经过点(1,2). (1)若该抛物线经过点(0,0). ①求该抛物线的表达式； ②若点 和点 都在该抛物线上，且对于 都有, 则t的取值范围是 . (2)若对于任意实数x,恒成立，求b的值. 23.(10分)如图1,等边三角形 CDE的顶点E在等边三角形ABC的边AC上,点D在AC下方.将 绕点C沿顺时针方向旋转，旋转角为( 且 直线 BE,AD交于点O,连接OC. (1)观察猜想 当 时，如图2，用等式表示线段OA，OB，OC的数量关系： . (2)类比探究 当 时，如图3，判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明. (3)拓展应用 当 且 是直角三角形时，若AC=10,DC=6,请直接写出 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 试海客斯策略 难度 试题分布 卷面分值 占比 答题策略 1-8题、11~13题、16~19题、20题(1)、 市题抓关键词，计算细心规范，书写工整，确保 容易题 84分 70% 21题(1)、22题(1)①、23题(1) 基酬题零失误 9~10题、14题、20题(2)、21题(2)、 控制做题时间，若卡壳超过3分钟先做标记跳 中档题 27分 22.5% 22题(1)②23题(2) 过，保证整体节奏不乱.规范解答题书写步骤。 审题抓关继语句、精准画出图形，注意分类讨论 较难题 15题、22题(2)、23题(3) 9分 7.5% 防止漏解，活用核心模型与公式，限时作答不 恋战。 参考答宝 A 解题思路 只有符号不同的两个数互为相反数，故-6的相反数是6，故选A. 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中对实数的相关概念及大小比较的考查，一般以选择题的形式呈 现，预测2026年会考查相反数的概念. 【临考提醒】此类型的题目四个选项比较类似，切勿因粗心大意而失分， 2.参考答案 解题思路1A=0.0000000001m=1×10-0m,.2.8A=2.8×10-10m.故选B. 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中对科学记数法的考查，一般涉及绝对值大于10的数、绝对值小于1的数，预测 2026年会考查绝对值小于1的数的科学记数法. 【得分锦囊】用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a×10”的形式（其中1≤lal<10,n为整数）. 1.a值的确定：1≤1al<10. 2.n值的确定： ①当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1. ②当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所 有零的个数（含小数点前的零） 参考答 3. D 解题思路 原式=8a-6_8a-21=8.故选D. a-2a-2 命题人讲评 【预测依据】分式的化简是河南中考的高频考点，常以解答题的形式在第16题设置，偶尔在 选填题中设置，预测2026年会以选填題的形式考查分式的化简。 【临考提醒】此类试题难度较低，要注意远算细节，如运算过程中的因式分解、约分等，切勿因 计算失误而丢分 4.参考答率A 解题思路如图，由测角仪读数为55°，可知视线与竖直方向的夹角为55°，即∠EAB=55°.由 CD垂直于水平地面，细线AB竖直向下，可知AB∥CD,∴.a=∠EAB=55°，故选A. 水平地面 命题人讲评 【预测依据】相交线与平行线是河南历年中考中重点考查的基础知识之一，一般涉及平行线、 对顶角、三角形外角的性质等，预测2026年会结合实际背景考查平行线的性质. 【临考提醒】本題核心是平行线的性质（同位角相等）与测角仪原理的结合，先看测角仪读 数，再找平行线，最后利用平行线的性质求角度， 5.参考答案B 解题思路小明的最终得分是90×40%+95×40%+93×10%+85×10%=91.8（分），故 选B. 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考通常在选填題中设置一道统计題，考查调查方式、“三数一差”或样本估计总体 预测2026年会考查加权平均数， 【得分锦囊]平均数是描述一组教据的平均水平的量，算术平均数的计算公式为玉=片（✉+， 名+…+%)，加椒平均教的计算公式为云万+十中元山（其中所6，一分别 厂+h+…+f。 是x1,x2,…,x的权重). 6.热考籥蜜B 降题思路左视图是指从立体图形的左面看到的平而图.俯视图的最上行对应左视图的最左 列，俯视图最上行对应位置最高有3个小正方体，因此左视图最左列小正方形个数为3；俯视图 的中间行对应左视图的中间列，俯视图中间行对应位置最高有3个小正方体，因此左视图中间列 小正方形个数为3：俯视图的最下行对应左视图的最右列，俯视图最下行对应位置最高有2个小 正方体，因此左视图最右列小正方形个数为2.故选B. 题人讲评 【预测依据】三视图是河南中考的高频考，点，预测2026年会考查小正方休搭成的几何休的三视图 【临考提醒】三视图属于得分题，看清题目要判断的是主视图、左视图还是俯视图，先确定观 察方向，再数每行/列最大层数，别混淆行和列. 7.会答率劑 解题思路 在R△ABC中，∠BMC=90,B为BC的中点BB=B=方BC=5.:四边形 AcD是平行四边形B5/AD△8ADaR器-器-高-分8F=号B-号故 选C. 命题人讲评 【预测依据】平行四边形是河南中考的高频考点，近几年稳定考查.预测2026年会以平行四边形为栽体，考 查相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等 【得分锦囊】1.定理速用：看到“直角三角形+斜边中点”，直接用“斜边上的中线等于斛边 的一半”快速求得AE的长. 2.找相似比：平行四边形对边平行，形成“8”字型相似，可得EF:AF=BE:AD=1:2. 3线段拆分：由BFA=12,可知EP占AC的子 8.参考答案 A 解题思路 根据题意，画树状图如图： 开始 第1次 第2次125 125 总金瓶2363476710 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中10最大，且出现了1次，故刘阿姨转得最大返利金的概率为。节 选A. 命金题人讲评 【预测依据】概率的计算是河南中考的必考点，常要求考生利用列举法（列表法或画树状图法） 求简单随机事件的概率，难度不高.预测206年仍会在选择题或填空題中设置一道概率的计算题 【避坑指南】解决此类概率的计算题，考生要审清題意，判断是一步概单还是两步概率，如果 是两步概半，那么判断是“放回”还是“不放回”，避免因审題失误而失分， 9.参考答离D 解题思路如图，分别过点A,C,E作x轴的垂线，垂足分别为G,H,M,:A(-4,2),“AG=2, 0G=4.四边形OABC是正方形，OA=0C,∠A0C=90°，∠A0G+∠C0H=90 又∠A0C+∠OAG=90°，.LCOH=LOAG.又LCH0=L0GA,△CH0兰△0GA(是示：“-线三左角"： 型)，CH=0G=4,0H=AG=2,DH=7-2=5.同理可证△EMD≌△DHC,EM=DH=5,DM=CH: .0M=7+4=11,.E(11,5),故选D. G O/H M 巧作辅助贷：遇直角+学线及，构造“一貨三直角”全学模型 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中，对图形与坐标的考查较稳定，涉及，点的坐标的求解、特殊三角形的性质、特珠 四边形的性质、图形的变换等，预测2026年会结合正方形考查点的坐标的求解。 【得分锦囊】 利用“一线三等角模型”解决问题的步骤 第一步：依据特征战摸型 特征1：存在两个三角形共顶点； 特征2：存在三个相等的角的顶点在同一条直线上， 注意：1若存在两个相等的角的顶，点在同一条直线上，通常可在这条直线 上再构造一个等角，得到“一线三等角”模型常见作法如困1 因2 2在平面直角坐标系中，当已如一线上的一直角（两直角)时，可再构造 :两真角（一真角）示例如图2 第二步：抽高模型 在题图中抽离出相似（全等）三角形 第三步：利用性质解题 利用相似（全等）三角形的性质解题 10.骖超篱室图C 解题思路分析如下： 分析 正误 根据题图1可知，278内，速度v随时间1的增大而增大，7~129内，速度 不变 根据题图2可知，135×2=270,35×7=245,270≠245，故2-79内，力F与 时间之间不是反比侧函数关系（授示：反比州函妆田象上年个点向快、纵张你的乖似 × 均相等)， 如图，A(2,3),B(7,6),连接AB,设点C为线段AB的中点，则C(4.5,4.5),根 据图象可知，第4.58时，速度高于4.5m/8(提示：玫形钻合). w/mls)月 0 12 D 最后2s行驶的路程s=2×6=12(m),故牵引力所做的功W=乃=35×12=420(J). 故选C [命题人沸评 【预测依据】近几年河南中考第10题常设置函数图象的实际应用题，以生活、科技、安全为背景，考查图象 的增减性、特殊，点的意义与简单计算，侧重考查学生的读图能力及实际应用能力.预测2026年仍会结合跨 学科背景考查此题型， 【临考提醒】解决实际问题中函数图象的分析与判断题时，要仔细阅读题千信息，分清横、 纵轴代表的量，函数图象上升、下降代表的意义，函数图象上特殊，点的横、纵坐标的意义等， 将图象中的信息与题干信息结合，判断结论正误。 11.参考答率-1（答案不唯一） 解题思路数轴上原点左侧的点对应的数均为负数，故直接写出一个负数即可。 命题人讲评 【预测依据】开放性试题是河南历年中考较频繁出现的命题形式，预测2026年会延续设置 开放性试题， 【临考提醒】本题答案不唯一，属于基础开放性试题.数轴上原，点左侧的点对应的数是负 数，直接写-1，一2等比较简单的负整数，稳妥拿分 12.参考答室8 解题思蹈根据正n边形的外角和为360°，且每个外角都为45°，可得n 360° 45。=8 命题人讲评 【预测依据】多边形是河南中考的常考点，预测2026年会考查正多边形的外角和 【临考提醒】多边形的外角和均为360°，与边数无关，求正多边形边数直接用360°除以单 个外角的度数即可、 13.考窖率 [x+)=500, 8.6x+7.25y=4057 蹈题思蹈根据“米和麦子一共500石”可列方程为x+y=500.根据“总价是银子4057钱” x+y=500, 可列方程为8.6x+7.25)=4057,故方程组为 8.6x+7.25y=4057. 命题人讲评 【预测依据】二元一次方程组的应用是河南中考的常考点，一般在解答题中结合不等式、一次函数进行 查，预测2026年会在选填题中进行考查， 【临考提醒】解答此类古代数学背景的方程组问题，只需桥准提取题干中的两个等量关系， 如本题中“米和麦子一共500石”“总价是银子4057钱”，依据所设未知数，将两个等量关 系转化为二元一火方程组 14.参书答9π-12 瞬题思蹈方法一：如图1，：C,D分别为OA,OB的中点，0C=AC=0D=DB,.tan∠1= 8器宁如2-8胎宁∠1=L2.叉：么3=4,4C=0,AM0Ee△nE过点8作 EF⊥OB于点F,EC⊥OA于点G,连接OE,则EF=EG(提示：两个全等三角形中片应边上的高扣字)，.OE平) LE0F=45°，心EF=0R:amL2=5=号，=2BR又0B=0F+B=6,·Ef+2EFE 2,5e=8u-=70B·BP=7x6x2=6,5gE孙=9am-25ae-90g5-2x6=9m-12. 360 方法=如图2，：C,D分别为0A,0B的中点0C=AC=00=D8mL1-8器-分mL2-8%-号 .∠1=∠2，又∠1+L5=90°，∠2+∠6=90°，.∠5=∠6.过点E作EF10B于点F,则∠5+∠7=90° .∠7=∠2，.nn∠7=nn∠2，∴. 器-器-7即=20，B=28R叉：80=8P-03=28p-2 小8即=2,5aa=m-8m-5a=0-分x6xg-号x3x2=9m-12 360 c FD 图1 图2 金题人讲评 【预测依据】不规则图形面积的计算是河南中考的热门考点，一般涉及扇形面积的计算，预测2026年仍会 延续考查、 【得分锦囊】 阴影部分面积的计算方法 1.规则图形，可直接用公式求解 2.分剃求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差.如图1， Sn影=SM0noc+S△con-S△oD8: B E B∠ 图1 图2 图3 图4 图5 3.等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算，如图2，点D为AB的 中点，则Sm都=SAcD如图3，已知扇形A0B,D0∥AB,则Sm利=S△M+S月形An=San+Sn=SAMo: 4.整体作差法：用整个图形的面积减去所有空白部分的面积.如图4，已知口ABCD,以，点A为圆心，AD长 为半径画孤，交AB于点E,连接CE,则Sm影=SOANCD-S△Ics-SA DAE: 5.容斥原理法：当阴影部分由几个图形登加而成时，利用“阴形部分的面积=叠加前的几个 图形的面积之和一（叠加部分的面积+空白部分的面积）”求解.如图5，阴影部分是扇形 ABE和扇形ACD的重叠部分，则Sm形=SA形AE+SAACD-S△MIC 15.参考案8或4+45 题思蹈：四边形ABCD是菱形，LABC=60,LABE=7LABC=30°，AD∥BC, .∠BAD=120°.由翻折的性质，得AF=AB=4+4√5，∠FAE=∠BAE,∠AFE=∠ABE=30°. 分两种情况讨论.①当EF∥AD时，如图1，则∠DAF=∠AFE=30°，∠BAF=120°-30°=90°，.∠BAE= 方×90=45过点E作BGLh8于点C,则BG=Ac,8G=58G又AB=AG+BG=4+4万BG+58G=4+ 45,EG=4,∴.BE=2EG=8.②当ED∥AF时，如图2，则∠FED=∠AFE=30°，.∠FED=∠ABE,AB∥FE, .四边形ABEF是平行四边形.又AB=AF,BE=AF=AB=4+4V5.综上可知，BE的长为8或4+45， 9 巧作输助线：递30°，45自， 作垂线，构足直角三危形 图1 图2 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考均注重对分类讨论思想的考查，一般在第15,22,23题涉及，预测2026年仍会 在第15题考查分类讨论思想的应用. 【临考提醒】解决本题的三个关健，点：①快速锁定基础角度：根据菱形ABCD和∠ABC= 60°，得出∠ABD=30°，∠BAD=120°.②抓住翻折的校心等量关系：AF=AB,∠AFE= ∠BE.③利用平行进行角度的转换，这是解题的突破口， 16.参考答案 （0)原武=2+8-2×号 =5-2 (2)原式=a2-9+a-a2 =a-9. 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考第16题中，常常第(1)题考查实数的运算，第(2)题考查分式 的化简或整式的化简，预测2026年会延续考查. 【临考提醒】在运算过程中，需注意运算顺序、运算法则的使用、符号的变化等，化简结果要 最简 17.参考答率(1)12120 解法提示：样本容量=15÷25%=60，.a=60-(5+20+15+8)=12 ~C"所在扇形圆心角的度数为号×360~=120，故6=120， (2)C 解法提示：由A,B两组的总人数为17，A,B,C三组的总人数为37，可知这组数据按从小到大排列后第30. 个数据均在C组，故中位数在C组. (3)推荐方向1. 理由：样本中平均月收人≤1万元的职工(A,B组)占比约为28.3%，这部分职工收人偏低，通过技能培训可 帮助他们提高收人，缩小收入差距，同时增强企业凝聚力， 推荐方向2. 理由：样本中平均月收人>1万元的职工(C,D,E组)占比约为71.7%，这部分职工是企业的核心生产力量， 先对其开展培训，能更快提升整体生产效率，助力企业长远发展 (答案不唯一，合理即可) 命题人讲评 【预测依据】统计题是河南中考的必考题型，通常涉及统计图、统计表、“三数一差”、样本估计总体等.顶 测2026年会结合频数分布直方图、扇形统计图进行考查. 【临考提醒】1，求中位数时，先累计频数，再根据总频数的奇偶性确定中位数的位置，锁定对应数据所在 的组：若为寺数，则债免第”士个数据所在组；若n为偶最，则锁定第号个和第（受+1） 个数据所在组， 2,开放说理题必须结合样本敛据，用占比或人数支撑观点，避免空泛表述， 僻题思图(1)先求点P的坐标，再将其坐标代人反比例函数的表达式，即可得到k的值，问题 得解.(2)先求点D的坐标，再结合点P的坐标，即可得到n的值，方法一：将点E的纵坐标代人 平移后函数图象对应的表达式，即可求得点E的横坐标，进而问题得解.方法二：求点E在反比例 函数y=5(x>0)的图象上的对应点E的纵坐标，即可求得点E的横坐标，进而问题得解 参考答系(1)八BC∥x轴，B(4,3),P为BC的中点， .P(2,3). 将P(2,3)代人y=点，得k=6, 故反比例函数的表达式为y=(x>0), (2),D是矩形OABC对角线OB,AC的交点，B(4,3), 点D的坐标为(2,2). 又P(2,3), 点P,D是平移前后的一组对应点， m=3-2-是 方法一：…平移后两数图象的表达式为y=-多 将=3代人，得-号=3， =号即=号CB=手 方法二：如图，设点E是由反比例函数y=S（x>0)的图象上的点B平移得到的，连接EB, 则8E-子 39 又y8=3,心g=3+2=2 将y=2人y总得-= ， 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考解答题中常会设置一道反比例函数综合题，多与几何图形结合，考查反比例 函数的图象与性质、k|的几何意义等.预测2026年会结合特殊四边形、函数图象的平移变换进行考查， 【临考提醒】1.明确平移的本质：函数图象向下平移n(n>0)个单位长度，函数表达式变为y= 上-，不要用错符号. 2.锁定线段BC的特征：BC平行于x轴，所以BC上所有点的纵坐标都等于点B的纵坐标， 这是求点E横坐标的突破口。 19.解题思路分别构造含17.5°和369°的直角三角形，根据三角函数及线段间的数量关系计算 即可 参考答案如图，延长AB交EF于点G,过点D作DH⊥AG于点H, 则DH=CC,HG=CD=1.2米. 在△BCG中，∠BCG=17.5°，sinG=,BCC=8, BC' .BG=BC·8in17.5°=30×0.30=9（米），CG=BC·co817.5°=30×0.95= 28.5(米). D3698, 在△ADH中，∠ADH=36,9P,@LAH=铝 E- 17.5° G ∴.AH=DH·tan36.9°=CGtan36.9°=28.5×0.75=21.375（米）， .AB=AH+HG-BG=21.375+1.2-9=13.575=13.6(米). 答：宝塔AB的高度约为13.6米. 命题人讲评 【预测依据】悦角三角函数的实际应用题是河南中考必考题型，要求考生利用所给角度的正弦值、余弦 正切值解决实际问题，预测2026年会结合仰角、坡角考查. 【临考提醒】解决此类问題的核心在于“化斜为直”：通过作辅助线构造直角三角形，将斜三 角形（锐角三角形和纯角三角形）问题转化为直角三角形问题，再利用锐角三角函数进行 求解。 20.群题思路(1)根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解.(2)设购买A种 化肥m千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定m的取值范围，再根据“总 花费=A种化肥的花费+B种化肥的花费”，列出总花费0与m的函数关系式，最后结合一次 函数的增减性与m的取值范围确定购买方案。 参考答离(1)设矩形菜地的宽为x米(0<x≤4)，则长为(8-x)米， 由题意，得x(8-x)=15, 解得x1=3,62=5(舍去)， 8-x=8-3=5(米). 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米 (2)设购买A种化肥m千克，则购买B种化肥(20-m)千克，总花费为w元， 由题意.得m+0.6(20-m)≥15， 解得m≥7.5. 由题意，得G=8m+6(20-m)=2m+120, 2>0,.w随m的增大而增大， 当m=7.5时，0取最小值， 此时20-m=20-7.5=12.5. 答：购买A种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中一次函数的实际应用，常结合方程（组）、不等式、一次函数进行考查，通过执 建数学楼型求表达式，并结合自变量的取值范围进行方案设计.预测2026年会结合一元二次方程考查 火函数的实际应用. 【避坑指南】1.错误理解荔笆的围合方式，误将篱笆总长8米当作矩形的周长，导致方程 列错。 2.列不等式时不等号方向错误，如将“≥”误写成“≤”， 3.计算总花货时，将两种化肥的单价混淆，导致函数表达式列错 21.爵题周园(1)作口ABCM,根据其对边平行可得AM∥BC.(2)连接AD,证明△BAD∽△CBA, 得到对应边成比例，代人数值求得BD的长，进而求得⊙0的半径， 参考雪系 (1)如图1，直线AM即为所求作（作法不唯一）. 图1 图2 (2)如图2，连接AD, ,BD是⊙O的直径，.∠BCD=∠BAD=90°（依据：直妆所州的圆网角是直角）， ,AM∥BC,.∠AEC=180°-∠BCD=90°，.LAEC=∠BAD, 又∠ABD=上ACE(依据：同孤所对的圆周角相等)，△BAD△CBA, 是-2则6 BD=102, 9√265' .⊙0的半径为52， 命网人淋评 【预测依据】2025年河南中考首次将尺规作图实践操作与圆的相关知识融合考查（利用尺规作图作已知 圆的圆心)，预测2026年会延续这一考查形式，并结合圆的相关知识进行证明与计算. 【临考提醒】1.遥到直径，优先联想“直径所对的圆周角为90”：遇到平行线，可用同旁内 角、内错角进行角度转化. 2.要证三角形相似，先看是否存在一组直角，再找第二组等角. 22.解题思蹈（1)①将(0,0)和(1,2)分别代入抛物线的表达式，求得α，b的值，即可得屏.②先 确定点Q关于抛物线对称轴的对称点Q'的坐标，再结合“y1>y2”确定点P在抛物线上的位 置，最后根据“对于<x,<1+3,都有y1>y2”,确定1的取值范围.(2)先根据“对于任意实数 x,x2+(2a-1)x+b≥x+1恒成立”，得到方程x2+(2a-1)x+b=x+1的△≤0，再由抛物线 过点(1,2)，确定a与b的关系，通过推理，求得b的值， 参考答率(1)①：抛物线y=x2+(2a-1)x+b经过点(1,2)和点(0,0)， r1+2a-1+b=2, 解得 a=1, l6=0, b=0, .抛物线的表达式为y=x2+x ②≤-6或≥2 解法提示：易知抛物线y=2+x的对称轴为直线x=-分， .点Q关于对称轴的对称点Q'的坐标为(-3，y2) 点P所在区接y 画出抛物线的大致图象如图所示，则当点P在点Q'左侧或点Q右侧时， y1>y2 :对于t<1<t+3,都有y1>y2, 3§3或会2（提示：需要取等号，等号成立时，点P不与点Q或点Q重合，符 y3计 合题老)， .1≤-6或≥2. (2).对于任意实数x,x2+(2a-1)x+b≥x+1恒成立， ∴.抛物线y=x2+(2a-1)x+b与直线y=x+1没有公共点或只有一个公 共点， 543202345 .方程x2+(2a-1)x+b=x+1没有实数根或有两个相等的实数根， .△≤0. 整理方程，得x2+（2a-2)x+b-1=0, ∴.4=(2a-2)2-4×1×(b-1)≤0，即(a-1)2≤b-1. ,抛物线y=x2+(2a-1)x+b经过点(1,2)， .2=1+2a-1+b,得b=2-2a, .(a-1)2≤2-2a-1,整理，得a2≤0， ∴.a=0,.b=2. 命题人进评 【预测依据】河南中考中二次西数图象与性质的综合题，常考查表达式的求解、图象与性质（对称抽、项a 增减性)、动点问題等，侧重数形结合思想的应用.预测2026年会结合参数的取值范围考查二次函效田) 与性质的综合 【避坑指南】1.混淆点P的横坐标的临界值和1的临界值，导致1的取值范围出错. 2.根据“对于任意实数x,x2+(2a-1)x+b≥x+1恒成立“，无法厘济抛物线与直线y=x+ 1的位置关系，或无法与方程2+(2a-1)x+b=x+1联系起来，导致思路断层. 3.忽略抛物线经过点(1,2)这一已知条件，导数无法求出参数的值 23.题思蹈(1)通过证明△ACD兰△BCE,构造△FAC≌△OBC,推出△C0F为等边三角形，进 而证得OB=0A+OC.(2)同(1)构造△CBG兰△CA0,推出△C0G为等边三角形，进而证得 OB=OA-0C.(3)分点E在BC左侧和右侧两种情况，结合勾股定理、全等三角形等计算 △M0C的面积 参考答率(1)0B=0A+0C 解法提示：：△ABC,△CDE均是等边三角形， .LDCE=LACB=6O°，CA=CB,CD=CE, .LACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS), .∠DAC=∠EBC. 如图1，延类AD到点E使AF=B0(点找：刊用“补短法”作捕助线)，连接CF,则LFAC=LOBC, 又AC=BC,.△FAC≌△OBC(SAS), .∠ACF=∠BC0,CP=CO, :.∠0CF=∠BCA=60°， .△C0F是等边三角形，0C=0F, ...0B=AF=0A+OF=0A+0C. 图1 图2 (2)不成立，正确结论为OB=OA-0C: 证明：，△ABC,△CDE均是等边三角形， ∴.∠DCE=∠ACB=60°，CA=CB,CD=CE, .∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS), .∠DAC=LEBC. 如图2，延长B0到点G,使BC=A0,连接CG,则∠CBG=∠CAO. 又AC=BC,.△CBG≌△CAO, ·.LBCC=∠AC0,CC=C0, LOCG=LACB=60, .△C0G是等边三角形，.0C=0G, .0B=BG-0G=0A-0C (3)△A0C的面积为24-65或24+65. 解法提示：分两种情况讨论 ①当点E在BC左侧，且∠BEC=90时，0°<a<60°，如图3， 则L0EC=ㄥ0DC=90°，BE=√BC-CE=√02-6=8. 又CE=CD,C0=C0,∴.Rl△CEO≌Rt△CD0(HL), LCOLDCOLECD30 00=g50=后=450B=08m30°=6×9-25， c0s30° 2 .0B=BE+0E=8+2W5,.0A=0B-0C=8+25-45=8-25, Ssc=号0M.c0=7×8-25)x6=24-65. 图3 图4 ②当点E在BC右侧，且∠BEC=90时，60°<x≤120°，如图4， 同理可得，BE=8,0C=45,0E=25, .0B=BE-0E=8-25,.0A=0B+0C=8-25+45=8+25, ∴Saac=20ACD=2×(8+25)x6=24+63. 综上可知，△A0C的面积为24-65或24+65. 命题人讲评 【预测依据】河南近几年中考中，几何探究題为必考压抽题型，综合性按强，难度较大，一般涉及图形的 比探究，预测2026年会结合图形动态变化出题，莎及分类讨论思想方法的应用、 【得分锦囊】截长补短法是几何探究題中常用的方法， 1.战长补短法：具体作法是在莱条线段上战取一条线段等于特定线段，或将某条线段延长，使延长后的 段等于特定线段（本题第(1）(2)題利用的方法为“补短法”，也可利用“栽长法”进行证明). 2.战长补短法的适用情况： (1)证明一条线段等于另两条线段的和或差； (2)证明一条线段的V2倍等于另两条线段的和或差； (3)某些特殊情况下线段间倍数关系的证明，