专题1.2 反比例函数的图象与性质（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图象与性质核心知识点，从描点法作图基础入手，系统梳理k的符号与图象象限分布、增减性的关系，延伸至k的几何意义（矩形及三角形面积），再到解析式求解及与一次函数的交点、不等式综合问题，构建递进式学习支架。 该资料以14个题型系统归纳为特色，例题与变式结合中考真题，通过表格对比k的性质培养抽象能力，几何图形与k的关系题（如根据面积求k值）发展几何直观，综合题提升推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生举一反三，查漏补缺。

专题1.2 反比例函数的图象与性质（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 判断反比例函数图象所在象限】 2 【题型2 根据反比例函数图象或象限确定k的符号/取值范围】 6 【题型3 识别反比例函数图象】 8 【题型4 判断反比例函数的增减性】 11 【题型5 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小】 13 【题型6 根据反比例函数的增减性比较自变量的大小】 15 【题型7 根据反比例函数的增减性求参数】 17 【题型8 根据比例系数k的几何意义求图形面积】 20 【题型9 根据图形面积求k的值】 23 【题型10 比例系数k和面积规律与阴影部分面积】 28 【题型11 已知点的坐标求反比例函数的解析式】 32 【题型12 结合几何图形求反比例函数的解析式】 34 【题型13 反比例函数与一次函数的交点问题】 41 【题型14 反比例函数与一次函数中结合图象解不等式】 44 考点1 反比例函数的图象特征与系数k的关系 知识点1 反比例函数的图象与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型1 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（2026·云南德宏·一模）反比例函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像性质，当时，图像位于第一、三象限；当 时，图像位于第二、四象限解答即可． 【详解】解：∵ 反比例函数 中，， ∴ 该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【答案】B 【详解】解：∵对于反比例函数 ， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 【变式1-2】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 【变式1-3】已知五个函数①，②，③，④，⑤，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，随的增大而增大，则同时满足这两个条件的函数是________（只填序号）． 【答案】⑤ 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键．画出相应的函数图象，根据一次函数图象和反比例函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：依次画出这五个函数的图象，如图所示， ① 由图象可知，经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①不符合题意； ② 由函数图象可知，第二象限没有它的图象，经过第一、三、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故②不符合题意； ③ 由函数图象可知，经过第一、二、四象限，在每个象限内，随的增大而减小，故③不符合题意； ④ 由函数图象可知，第二、第四象限内没有它的图象，经过第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，故④不符合题意； ⑤ 由函数图象可知，经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，故⑤符合题意； 综上所述，⑤符合题意； 故答案为：⑤． 【题型2 根据反比例函数图象或象限确定k的符号/取值范围】 【例2】已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得：． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 【变式2-2】（2026·重庆大足·一模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为_____． 【答案】0 【分析】根据反比例函数图象的性质得到，解关于x的不等式组得，根据不等式组至少有3个整数解求出的取值范围，得到符合条件的整数m的值，相乘即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 解关于x的不等式组得， ∴ ∵不等式组至少有3个整数解， ∴0， 解得， 由上可得，m的取值范围是， ∴整数m是，0，1共3个， ∴符合条件的整数m的值之积为． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 【答案】，取整数，此时解析式为 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可得 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵反比例函数图象在第二、四象限 解得： 取整数，此时解析式为（答案不唯一）. 【题型3 识别反比例函数图象】 【例3】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是如图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握两个函数的图像和性质． 根据一次函数和反比例函数的图像和性质，确定函数图像经过的象限即可． 【详解】解：由得，， ∴随的增大而减小， 与轴的交点坐标为， ∴一次函数的图像经过一、二、四象限； 由得，， ∴反比例函数的图选经过一、三象限； 故选：A． 【变式3-1】反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 【变式3-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 考点2 反比例函数的增减性 【题型4 判断反比例函数的增减性】 【例4】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据点在反比例函数图象上确定的符号，再结合反比例函数的性质判断随的变化规律． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式4-2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】先判断反比例函数图象的增减性，再根据，可得与同号，分两种情况讨论：，或，，根据函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 与同号，即，或，， 若，，假设，则有， ，， ； 若，，假设，则有， ，， ； 综上，的值恒为正数． 【变式4-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图象不经过第二象限    ④图象不经过第四象限 【答案】① 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，据此判断即可． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小， 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故①说法正确；②③④的说法错误； 故答案为：①． 【题型5 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小】 【例5】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知，且点均在反比例函数的图象上，则与的大小关系是：___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系. 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ， 且点，点都在第一象限的反比例函数图象上. ． 【变式5-1】（2026·四川成都·二模）已知两点都在反比例函数的图象上，且，则____．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题根据反比例函数的性质，先判断比例系数的符号，得到函数在时的增减性，再结合给定的的大小关系比较的大小． 【详解】反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ，即两点都在第二象限， ． 【变式5-2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为________（用不等号连接） 【答案】/ 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限与增减性，再根据各点横坐标判断点的位置，结合增减性比较函数值大小即可 【详解】解：对于反比例函数， ， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ， ∴点、都在第二象限，第二象限内值恒为正； 点在第四象限，第四象限内值恒为负，即， ∵， ∴，且都大于， ∴． 【变式5-3】（2026·内蒙古通辽·二模）已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键． 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， A.若，则，根据增减性得，，故不符合题意； B.若，则，根据增减性得，，即，故符合题意； C.若，则或，根据增减性得，故不符合题意； D.若，则或，根据增减性得或，故不符合题意． 【题型6 根据反比例函数的增减性比较自变量的大小】 【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 【详解】∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大， ∴ ，而第四象限的值大于， ∴． 故答案为： ． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）若点，都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数的系数判断其增减性，再结合点的纵坐标大小比较横坐标的大小． 先判断反比例函数的增减性（，各象限内随增大而减小），再根据点纵坐标的正负确定所在象限，进而比较的大小． 【详解】反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． 点的纵坐标，所以点A在第一象限，因此，点的纵坐标，所以点B在第三象限，因此， ． 【变式6-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．将点代入反比例函数解析式求出m、n与k的关系，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点,,都在反比例函数的图像上， ∴将点代入解析式得：， ∴， ∵将点代入解析式得：， ∴， ∵， ∴，即． 故选：B． 【变式6-3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可． 【详解】解：∵对于任意实数均有， ∴， ∴反比例函数的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， 又∵在第一象限内随的增大而减小，且， ∴， ∴． 【题型7 根据反比例函数的增减性求参数】 【例7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，正确理解反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，函数在每一象限内随的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， 比例系数， 解得：． 故答案为：． 【变式7-2】反比例函数过点，，若，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0）中的k2＞0， ∴反比例函数y=（k≠0）的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵y2＞y1，a+1＞a， ∴点A位于第三象限，点B位于第一象限， ∴， 解得-1＜a＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，要掌握反比例函数解析式中系数与图象的关系． 【变式7-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若，两点在反比例函数的图象上，满足，则t的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再根据判断两个点所在的象限，根据象限内点的坐标特征列出关于的不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：在反比例函数中 ， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限． ， 在第二象限，在第四象限， 根据象限内点的坐标特征，得 ， 解不等式组得． 知识点2 比例系数k的几何意义考点3 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型8 根据比例系数k的几何意义求图形面积】 【例8】（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行 轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 【变式8-1】（25-26九年级下·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）反比例函数和的函数图象如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：∵点在函数上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，， ∴，， ∴四边形的面积为． 故答案为：2． 【变式8-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 【题型9 根据图形面积求k的值】 【例9】（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（    ） A． B．+1 C． D． 【答案】B 【分析】设，用表示点的坐标和线段长，从而利用面积建立方程即可求解．解题关键是利用参数表示线段长． 【详解】解：设，则， ∵矩形的面积为1，轴于点， ∴， ∴点的纵坐标为， 当时，=，解得， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， 整理得， 解得： ∵， ∴． 【变式9-1】 （25-26八年级下·河南南阳·期中）如图所示，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交和的图象于C，B两点．若的面积是5，则k的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， 的面积是5，， ， ， 又 图像在第二象限， ． 【变式9-2】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形， ，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【答案】 【分析】设，，根据题意列式表示出D点的坐标，进而可得，然后再面积差求出，由此即可求出答案． 【详解】解：设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴，即， 又∵，即， ∴ ∴， ∴． 【变式9-3】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】过点作轴、轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形的面积等于正方形面积，进而求出． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于 ， 点在直线上 ， 设 ，则 ，四边形为正方形 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ∵反比例函数的图象在第一三象限，， ． 知识点3 求反比例函数的表达式考点4 待定系数法求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 【题型10 比例系数k和面积规律与阴影部分面积】步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 【例10】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，， ， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，反比例函数比例系数k的几何意义．设与交于点M，先证 ，推出，则阴影部分的面积等于，再根据k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设，与交于点M， 四边形是矩形， ，，， 正方形的边在上，， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积， ， 又 在的图象上， ， 故答案为：16． 【变式10-2】（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义， 延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，先根据，再结合阴影部分的面积为，可得，求出解即可. 【详解】解：如图，延长，分别交轴、轴于点，，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵， ∴. ∵阴影部分的面积为， ∴， 解得． 故答案为：14． 【变式10-3】（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，由反比例函数的几何意义可得：，结合推出即可求解； 【详解】解：如图所示： 由反比例函数的几何意义可得：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 【题型11 已知点的坐标求反比例函数的解析式】 【例11】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数，从而确定函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点， ， 反比例函数的表达式为． 【变式11-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的解析式求解，用待定系数法求未知参数是解题关键． 将点的坐标代入反比例函数解析式，求出参数的值，从而得到函数表达式． 【详解】解：将点代入， 可得：， 解得，则， 故反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【变式11-2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若点在双曲线上，则该双曲线还经过下列各点中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求反比例函数的解析式，判断点是否在反比例函数图象上，把反比例函数的解析式求出来是解题的关键． 利用反比例函数中的特点，先根据已知点求出，再验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可求解． 【详解】解：点在双曲线上， ， 双曲线上任意一点的横纵坐标乘积为12， A选项：，不符合题意； B选项：，符合题意； C选项：，不符合题意； D选项：，不符合题意； 该双曲线经过选项B对应的点． 故选：B． 【变式11-3】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知反比例函数的解析式，当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)y的值为 【分析】（1）把，代入，进行求解即可； （2）把代入解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； ∴； （2）解：∵， ∴当时，． 【题型12 结合几何图形求反比例函数的解析式】 【例12】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2)点的坐标为或 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得出，，进一步得出点的坐标为，最后将点的坐标代入解析式即可； （2）需分两种情况讨论：当时，先证出四边形是矩形，进一步得，再设点的坐标为，则，最后根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可；当时，设，则，再根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，，， ． 四边形是平行四边形， ，， 点的坐标为． 反比例函数在第二象限内的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为：． （2）解：点是轴上一点，若是直角三角形， 有以下两种情况： 当时，如图所示： ， ． ， 四边形是矩形， ． 设点的坐标为，（），则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，， 由，解得：不合题意，舍去， 由，解得：， 点的坐标为； 当时，如图所示： 设，（），则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【变式12-1】（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入中，即， 解得：． 【变式12-2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）图，点B为反比例函数（，）图象上的一点，点A为x轴正半轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点C恰好也在函数的图象上，若B、C的纵坐标分别为4和1，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F，首先证得，得出，，设点，则，根据点B和点C都在函数的图象上列方程求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵B、C的纵坐标分别为4和1， ∴，， ∴设点，则， ∴ ∴ ∴ 代入得，． 【变式12-3】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数 的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 【答案】 【分析】过点作轴，作轴，利用证明三角形全等，进而证明四边形是正方形，设，根据相等边建立方程，求出点的坐标，进而代入反比例函数求出值． 【详解】解：如图，过点作轴，作轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， 设，则，， ， ， 解得， ，， 点的坐标为， 将代入，可得． 知识点4 反比例函数与一次函数图象的交点问题考点5 反比例函数与一次函数的综合 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【题型13 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例13】（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，， ，两点关于原点对称， ，， ，， ，， 则，解得． 【变式13-1】（2026·广东中山·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点P的坐标分别代入两个函数的表达式中可推出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上， ∴，， ∴， ∴． 【变式13-2】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 【变式13-3】（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为2，过点作轴的平行线，交轴于点，连接与交于点． (1)求的值； (2)求面积的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)8 (2)1， 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出的值即可； （2）联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出点坐标，求出的解析式，进而求出点坐标，根据三角形的面积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 联立，解得或， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为1． 【题型14 反比例函数与一次函数中结合图象解不等式】 【例14】（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察函数图象特点，即可得出解集； （2）运用待定系数法，将点代入直线表达式，求出n，再将点A坐标，代入反比例函数，即可求出反比例函数表达式； （3）过点P作，垂足为点D，根据条件，得出点P的纵坐标，代入反比例函数表达式，得到横坐标；根据直线方程特点，求出B点坐标，最后根据，即可得到所求． 【详解】（1）解：观察函数图象，点A左侧，反比例函数的图象在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； （2）解：过点， 代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A， 代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． （3）解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为， ， ， ， 点P的纵坐标为2， 把代入，解得． ， ． 在中，当，解得， ， ， ， ． 【变式14-1】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题为根据函数图象确定不等式的解集，考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．根据反比例函数、正比例函数的中心对称性得到点A的横坐标为2，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点B的横坐标为， ∴点A的横坐标为2． ∵由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或． 故选：B 【变式14-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出关于x的不等式的解集________． 【答案】或 【分析】根据函数图象找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，x的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方， ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 【变式14-3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 反比例函数的图象与性质（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 判断反比例函数图象所在象限】 2 【题型2 根据反比例函数图象或象限确定k的符号/取值范围】 3 【题型3 识别反比例函数图象】 3 【题型4 判断反比例函数的增减性】 5 【题型5 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小】 5 【题型6 根据反比例函数的增减性比较自变量的大小】 6 【题型7 根据反比例函数的增减性求参数】 6 【题型8 根据比例系数k的几何意义求图形面积】 7 【题型9 根据图形面积求k的值】 8 【题型10 比例系数k和面积规律与阴影部分面积】 10 【题型11 已知点的坐标求反比例函数的解析式】 11 【题型12 结合几何图形求反比例函数的解析式】 12 【题型13 反比例函数与一次函数的交点问题】 14 【题型14 反比例函数与一次函数中结合图象解不等式】 15 考点1 反比例函数的图象特征与系数k的关系 知识点1 反比例函数的图象与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型1 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（2026·云南德宏·一模）反比例函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的图象特征是(    ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．只在第一象限 D．只在第四象限 【变式1-2】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【变式1-3】已知五个函数①，②，③，④，⑤，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，随的增大而增大，则同时满足这两个条件的函数是________（只填序号）． 【题型2 根据反比例函数图象或象限确定k的符号/取值范围】 【例2】已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【变式2-2】（2026·重庆大足·一模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为_____． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 【题型3 识别反比例函数图象】 【例3】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是如图中的（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 考点2 反比例函数的增减性 【题型4 判断反比例函数的增减性】 【例4】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【变式4-1】（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【变式4-2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（   ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【变式4-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是________． ①时，y的值随x的增大而减小    ②时，y的值随x的增大而增大 ③图象不经过第二象限    ④图象不经过第四象限 【题型5 根据反比例函数的增减性比较函数值的大小】 【例5】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知，且点均在反比例函数的图象上，则与的大小关系是：___________．（填“>”“<”或“=”） 【变式5-1】（2026·四川成都·二模）已知两点都在反比例函数的图象上，且，则____．（填“>”或“<”或“=”） 【变式5-2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为________（用不等号连接） 【变式5-3】（2026·内蒙古通辽·二模）已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型6 根据反比例函数的增减性比较自变量的大小】 【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）若点，都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是______． 【变式6-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据反比例函数的增减性求参数】 【例7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 【变式7-2】反比例函数过点，，若，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若，两点在反比例函数的图象上，满足，则t的取值范围是______． 知识点2 比例系数k的几何意义考点3 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型8 根据比例系数k的几何意义求图形面积】 【例8】（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【变式8-1】（25-26九年级下·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）反比例函数和的函数图象如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 【变式8-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【题型9 根据图形面积求k的值】 【例9】（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（    ） A． B．+1 C． D． 【变式9-1】 （25-26八年级下·河南南阳·期中）如图所示，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交和的图象于C，B两点．若的面积是5，则k的值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式9-2】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形， ，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【变式9-3】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 知识点3 求反比例函数的表达式考点4 待定系数法求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 【题型10 比例系数k和面积规律与阴影部分面积】步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 【例10】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则______． 【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为______． 【变式10-2】（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作坐标轴的平行线分别交反比例函数的图像于，两点，连接，，．若阴影部分的面积为8，则的值为______． 【变式10-3】（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若，且图中阴影部分的面积为，则k的值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【题型11 已知点的坐标求反比例函数的解析式】 【例11】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为__________． 【变式11-2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若点在双曲线上，则该双曲线还经过下列各点中的（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知反比例函数的解析式，当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【题型12 结合几何图形求反比例函数的解析式】 【例12】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【变式12-1】（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）图，点B为反比例函数（，）图象上的一点，点A为x轴正半轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点C恰好也在函数的图象上，若B、C的纵坐标分别为4和1，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数 的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为_______________． 知识点4 反比例函数与一次函数图象的交点问题考点5 反比例函数与一次函数的综合 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【题型13 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例13】（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【变式13-1】（2026·广东中山·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【变式13-2】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【变式13-3】（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为2，过点作轴的平行线，交轴于点，连接与交于点． (1)求的值； (2)求面积的最大值，并求出此时的值． 【题型14 反比例函数与一次函数中结合图象解不等式】 【例14】（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【变式14-1】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为，当时，x的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式14-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为．根据图象，直接写出关于x的不等式的解集________． 【变式14-3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $