数学核心考点&重点突破（北师大版）-【期末冲刺优选卷】2025-2026学年八年级下学期期末抢分优选16套考点梳理册

考点梳理册 数学 核心考点 ⊙涨分考点一 三角形的证明 1.等腰三角形、等边三角形、直角三角形 性质 判定 (1)两个底角相等（简写成“等边对等角”）. (1)有两边相等的三角形是等腰三角形 等腰 (2)顶角的平分线、底边上的中线、底边 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写 三角形 上的高重合（简写成“三线合一”） 成“等角对等边”) (1)三条边都相等； (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 等边 (2)三个内角都相等，并且每一个角都等 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 三角形 于60° (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余 (1)有两个角互余的三角形是直角三角形 直角 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (2)如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2= 三角形 半 c2,那么这个三角形是直角三角形 2.互逆命题与互逆定理 定义 说明 如果两个命题的条件、结论正好相反，那么这样的两个命 互逆命题 题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个 （1)命题有真有假，而定理都 叫作它的逆命题 是真命题 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 (2)原命题的真假与其逆命题 互逆定理 它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定 的真假没有关系 理叫作另一个定理的逆定理 12 数学 3.用“HL（斜边、直角边)”判定两个直角三角形全等 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 4.线段的垂直平分线、角平分线 线段的垂直平分线 角平分线 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 距离相等 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在 判定 段的垂直平分线上 这个角的平分线上 涨分考点二 不等式与不等式组 1.不等式 不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解 不等式的解集 般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集 性质1：不等式两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变 不等式的性质 性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 网温馨提示 不等式的解是一个具体的值，不等式的解集是一个范围 2.一元一次不等式（组） (1)解一元一次不等式的一般步骤 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 通常把含未知数的项都移到不等号的左边，常数项都移到不等号的右边 合并同类项 系数相加减，字母及字母的指数不变 系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数，将不等式化为x>a(x≥a)或x<a(x≤a)的形式 13 考点梳理册 (2)列不等式（组）解决实际问题的一般步骤 审 认真审题，分析已知量和未知量，并找出它们之间的不等关系 设 设出适当的未知数 列 根据题中的不等关系，列出不等式（组） 解 解不等式（组），求出其解集 验 检验所求出的解集是否符合题意 答 写出答案 @速记▣读 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项需合并好，再 把系数来除掉.两边除以负数时，不等号改向要记牢 3.一元一次不等式与一次函数 (1)不等式kx+b>0(k≠0)的解集一→直线y=kx+b（k≠0)在x轴上方的部分所对应的 x的取值范围； (2)不等式kx+b<0(k≠0)的解集→直线y=kx+b(k≠0)在x轴下方的部分所对应的 x的取值范围； (3)不等式x+b>n（k≠0)的解集台直线y=kx+b(k≠0)在直线y=n上方的部分所对 应的x的取值范围台→直线y=x+b-n在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； (4)不等式kx+b<n(k≠0)的解集台直线y=x+b(k≠0)在直线y=n下方的部分所对 应的x的取值范围台直线y=x+b-n在x轴下方的部分所对应的x的取值范围. ◇涨分考点三 图形的平移与旋转 1.点（x,y）的平移 平移方向 平移距离 对应点的坐标 向右平移 (x+a,y) 沿x轴方向 向左平移 （x-a,y) a个单位长度(a>0) 向上平移 (x,y+a) 沿y轴方向 向下平移 (x,y-a) 数 学 2.平移、旋转及轴对称的异同 平移 旋转 轴对称 运动方式 沿某方向平行移动 绕着一个定点转动 沿着一条直线折叠 关键要素 平移方向、平移距离 旋转中心、旋转角、旋转方向 对称轴 不同点 对应点所连的线段平行 对应点到旋转中心的距离相等， 对应点位置 对应点所连线段被对称轴垂 (或在同一条直线上)且 任意一组对应点与旋转中心所连 关系 直平分 相等 线段的夹角都等于旋转角 (1)都是在平面内进行的图形变换； 相同点 (2)都是由一个已知图形变换后得到另一个图形： (3)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后的两个图形全等 习速记▣诀 图形变换有三样，平移旋转轴对称.形状大小都不变，全等性质都一样 3.中心对称与中心对称图形 中心对称 中心对称图形 图形个数 2个 1个 对称点 在两个图形上 在一个图形上 区别 可能在图形的外部，也可能在图形上或图形 对称中心 在图形内部或图形上 内部 把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则为中心对称图形；把中心对称图形的两个部 联系 分看成“两个图形”，则它们成中心对称 4.作图形的旋转 连 连接原图形中一个关键点与旋转中心 转 根据旋转方向与旋转角度，以“关键点与旋转中心的连线”为一边作一个旋转角 在该旋转角的另一边上，从旋转中心开始截取一段，使其长度等于关键点到 截 旋转中心的长度，得到该，点的对应点 接 按原图形的形状顺次连接所得到的各对应，点 写 写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形 15 考点梳理册 @速记口诀 作图形的旋转：对应点连线段，垂直平分相交点.两组对应点来选，交点就是旋转源 5.作与已知图形成中心对称的图形 找出原图形的关键点（如多边形的顶点），连接关键点 找 和对称中心 延 延长所连线段，在延长线上找出各关键点的对称点，使对 称，点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等 接 将所得的对称，点按照原图形的形状顺次连接，即可得到与 原图形成中心对称的图形 ◇涨分考点四 因式分解 1.公式法 (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2 2.因式分解的一般步骤 一提 看有无公因式，若有，则先提公因式 考虑是否可用公式法分解，两项优先考虑平方 二套 差公式，三项优先考虑完全平方公式 三查 检查是否分解彻底，若没有则继续分解 @方法点拨 (1)公因式要提“全”提“净”，使系数不含公因数，字母不含公因式 (2)当多项式的首项系数为负数时，要把“_”号提出来，使括号内的首项系数变为正数 16 数学 涨分考点五分式与分式方程 1.分式的运算法则 分式乘分式，用分子相乘的积作为积的 分式的乘法法则 分子，分母相乘的积作为积的分母 云片=8治 分式除以分式，把除式的分子、分母颠 分式的除法法则 倒位置后，与被除式相乘 b·c 分式的乘方 分子、分母分别乘方 F公，其中n是正整数， 且b≠0 同分母分式相加减，分母不变，把分子 ±b=a±6 相加减 c c 分式的加减法法则 异分母分式相加减，先通分，化为同分 bc 母的分式，再加减 bd 2.解分式方程 (1)解分式方程的一般步骤 去 去分母，即在方程两边同乘最简公分母（产生增根的过程），把分式方程化为整式方程 解 解这个整式方程（去括号、移项、合并同类项、系数化为1） 把整式方程的解代入最简公分母： 验 ①最简公分母≠0→整式方程的解是原分式方程的解； ②最简公分母=0→整式方程的解不是原分式方程的解 (2)列分式方程解决实际问题的一般步骤 审 认真审题，分析具体情境中的已知量与未知量 找 找出等量关系 设 设未知数 列 根据题目中的等量关系列出分式方程 解 解所列出的分式方程，求出未知数的值 验 检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程的解，又要检验所求的解是否符合实际意义 答 写出答案 17 考点梳理册 网方法点拔 “原分式方程无解”隐含了两种情况：一是求出的这个解是由分式方程化成的整式方程 的解，但是这个解使最简公分母的值为0；二是所化成的整式方程无解，所以原分式方程无解 涨分考点六 平行四边形 1.平行四边形的性质和判定 (1)平行四边形的对边平行且相等； 性质 (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分 （1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 判定 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.三角形的中位线定理 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 (1)三角形三条中位线围成的三角形（中点三角形）的周长等于原三角形周长 三角形中位线定理的 的一半； 拓展应用 (2)三角形的三条中位线将原三角形分成4个全等的小三角形； (3)连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形（中点四边形定理）》 3.多边形的内角和、外角和 (1)n（n≥3)边形的内角和等于(（n-2)·180°； (2)多边形的外角和等于360°； (3)正n(n≥3)边形的每个外角都等于360°，每个内角都等于(n-2)·180° n (18 数学)》 重点突破 涨分考点七一元一次不等式（组）与绝对值 模型解含绝对值的一元一次不等式（组） 解含绝对值的一元一次不等式（组）的核心是利用绝对值的几何意义或代数性质去掉绝对值 符号，将其转化为普通的一元一次不等式（组），再按照常规步骤求解.设0<b<α，则 (1)lxl>a台x<-a或x>a;lxl<a台-a<x<a. (2)lmx+nl>a台mx+n<-a或mx+n>a. (3)Imx+nl<a-a<mx+n<a. (4)b<mx+nl<a曰 Imx nl>b, Imx nl<a. ◇涨分考点八 分组分解法与十字相乘法 模型1分组分解法 分类 分组方法 特点 二项、二项 (1)按字母分组；(2)按系数分组；(3)符合乘法公式的两项分组 四项多项式 三项、一项 先运用完全平方公式，再运用平方差公式 五项多项式 三项、二项 各组之间有公因式，可进一步提取公因式分解 三项、三项 各组之间有公因式，可进一步提取公因式分解 六项多项式 二项、二项、二项 三项、二项、一项 可化为二次三项式，再用十字相乘法分解 模型2十字相乘法 二次项系数为1的二次三项式 x2+(p+q)x+p9=(x+p)(x+q) 二次项系数不为1的二次三项式 ax2+bx+c=（mx+p）(nx+q),其中a=m·n,c=p·q,b=mg+np 含两个字母的二次三项式 ax2+bxy+cy2=(mx+py)(nx+9y）,其中a=m·n,c=p·4,b=mg+p