2026年河南卢氏县官坡镇第一初级中学等校中考学科能力提升第一次调研数学试卷

**基本信息** 立足河南本土文化与科技前沿，通过太阳能供暖、《天工开物》桔槔等真实情境，考查数学抽象、几何直观与模型意识，梯度覆盖基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|绝对值、科学记数法、三视图、统计稳定性|结合政务服务数据、青铜礼器鼎等文化素材| |填空题|5/15|单项式、数轴动点、概率、旋转面积|融入四季书签概率、等腰直角三角形动态问题| |解答题|8/75|统计图表、圆的切线、函数新定义、抛物线建模|铁水运动抛物线模型体现建模思想，机器人购买问题考查应用意识|

2026年河南省中考学科能力提升第一次调研 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1.26的绝对值是 A.26 B. - 26 C. D. 2.2025年，河南“高效办成一件事”政务服务累计惠及群众和企业达4.8亿人次，极大提升了政务服务效率与便民利企水平.数据“4.8亿”用科学记数法表示为 A. B. C. D. 3.如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.2025年河南郑州大力推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为55°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的度数是 A.25° B.30° C.35° D.55° 4.如图是我国古代青铜礼器——鼎的三视图，根据三视图判断，该几何体的形状是 A.圆柱 B.长方体 C.带耳圆鼎 D.圆锥 5.所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量.2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为 mg，经历3个半衰期后，剩余质量为 6.某校在中秋佳节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的主题活动，结合中秋赏月、制饼的传统习俗，规定每个月饼的标准质量为150g.甲、乙两名同学各制作了5个月饼，质量统计如图所示.下列说法正确的是 A.甲同学做的月饼质量更稳定，体现了对传统技艺的精准把控 B.乙同学做的月饼质量更稳定，体现了对传统技艺的精准把控 C.甲、乙两名同学做的月饼质量稳定性相同 D.无法比较稳定性 7.定义：已知二次多项式(a,b,c为常数,且a≠0),把关于x的方程4ax-b= cx-2的解称为该二次多项式的“溯源值”.若二次多项式 溯源值”的取值范围是2≤x≤4,则m的最小值是 A.-26 B. - 14 C.-8 D. - 4 8.小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具(如图1)，有一横杆固定于桔槔上的O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定400 N的物体，且OB =1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现 F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小 F与l的变化情况如图2所示，下列说法错误的是 A.拉力的大小F与l符合反比例函数关系 B.当 OA 的长增大时,拉力 F 在减小 C. OA 的长每增加1m ,所施加的拉力减小200 N D.当OA 的长从l m 增加到 4 m时，所施加的拉力减小了300 N 9.如图所示,在矩形ABCD 中,BC =3AB,点M,N分别在边 BC,AD 上.连接MN,将四边形CMND 沿 MN翻折,点 C,D 分别落在点 A,E 处.则tan∠AMN的值是 A.2 B. C.3 D. 10.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点 G.将△OBG绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 026 次旋转结束时，点B的对应点的坐标为 A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.若一个关于m，n的单项式的系数是-5，次数是5，则这个单项式可以是 .(写出一个即可) 12.如图所示，在数轴上点M，N分别表示数-3，1，若点 P 为线段 MN上不与端点重合的动点，且表示的数为2x+1，则x的取值范围是 . 13.一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同.将4张书签充分搅匀，先从中任意抽取1张书签，放回搅匀后，再任意抽取1张书签.两次抽取的书签恰好为“春”和“夏”(不计顺序)的概率为 . 14.如图,在等腰直角三角形AOB中,∠AOB=90°,AB=2,将△AOB绕点O逆时针旋转30°得到△COD，则图中阴影部分的面积为 . 15.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,D是AB的中点,M是边AC上的动点,作DN⊥DM,交BC于点N,延长MD 到点 P,使得 线段AM与CN的数量关系为 ;当△PNB 面积最大时,AM 的长为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简: 17.(9分)近年来，河南博物院以“考古盲盒”“唐宫夜宴”等文创产品火出圈，成为河南文化名片.某中学数学兴趣小组为了解全校学生对四类河南主题文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷并开展抽样调查，部分数据整理如下： 数据的收集与整理 数学兴趣小组从回收的问卷中随机抽取部分问卷进行整理，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是 . (2)补全条形统计图，并求出扇形图中“考古盲盒玩偶”对应扇形的圆心角的度数. (3)若全校共有1 800 名学生，请估计全校最喜爱“唐宫夜宴手机挂件”的学生人数. 18.(9分)如图,AC为正方形ABCD 的对角线. (1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点 F，使得点 F到∠BAC的两边距离相等.(不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下,求∠EFA的度数. 19.(9分)如图1 是郑州某海洋公园摩天轮的实景图.摩天轮可视作半径为60m的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O 上的点A，座舱距离地面的最低高度 BC 为12 m，地面l上的观察点 D到点 C 的距离DC 为 96 m，平面示意图如图2 所示.当视线 DA 与⊙O 相切时，求点A处的座舱到地面的距离.(结果保留一位小数，参考数据： 20.(9分)定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”. (1)判断下列函数图象上是否有“两倍点”?若有，求“两倍点”；若无，说明理由. (2)如图，反比例函数 图象上有一个“两倍点”A的横坐标为3，求它的另一个“两倍点”的坐标，并结合图象写出图象上“弱倍点”的横坐标的取值范围. 21.(9分)2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买 A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A 型机器人台数 B 型机器人台数 总费用(单位：万元) 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件. (1)求 A，B两种型号智能机器人的单价. (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 22.(10分)问题情境 打铁花，又叫打树花，是流传于河南开封地区的一种民间烟火(社火).表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花.某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径. 实验数据 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上.铁水运动路径的最高点距地面18 m，表演台中心与铁水落点的水平距离为27 m. 数学建模 用如图所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为 N，对称轴为直线 l，铁水落地点为 A.以表演台中心为原点O，水平向右为x轴正方向，过点O且竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系. 问题解决 (1)求该抛物线的表达式. (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于14 m的水平飞行距离有多长? 23.(10分)如图1,. 与 是具有公共顶点的两个三角形，且 ,且点 E在. 的外角. 的平分线上，连接AD. 【问题发现】(1)如图1，在 和 中， 填空:①线段 AD 与 CE 的数量关系是 ;的度数是 . 【类比探究】(2)如图2，在 和 中， ，请问(1)中的结论还成立吗?并说明理由. 【拓展延伸】(3)在(2)的条件下，若BC=1,，连接AE，请直接写出当 是直角三角形时AD 的长. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年河南省中考学科能力提升第一次调研 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟， 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答策填写在答题卡上.答在 试卷上的答案无效 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.26的绝对值是 A.26 B.-26 c站 D.-26 2.2025年，河南“高效办成一件事”政务服务累计惠及群众和企业达4.8亿人次，极大提升 了政务服务效率与便民利企水平.数据“4.8亿”用科学记数法表示为 A.48×106 B.4.8×107 C.4.8×108 D.4.8×10 3.如图是集热板示意图，当集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.2025年河南郑州大力 推广太阳能供暖，春分日郑州正午太阳光线与水平面夹角β的度数为55°.若光能利用率最 高，则集热板与水平面夹角α的度数是 A.25° B.30° C.35° D.55° 鼎的三视图 主视图 左视图 集热板 俯视图 太阳光线 架 水平面 第3题图 第4题图 4.如图是我国街代青铜礼器一鼎的三视图，根据三视图判断，该几何体的形状是 A.圆柱 B.长方体 C.带耳圆鼎 D.圆锥 5.所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用 的时间，是一个不变的量.2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量 为mg,经历3个半衰期后，剩余质量为 A.3m8 B.g c68 D. 6.某校在中秋佳节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的主题活动，结合中秋赏月、制饼的传统习 俗，规定每个月饼的标准质量为150g甲、乙两名同学各制作了5个月饼，质量统计如图所 示.下列说法正确的是 A.甲同学做的月饼质量更稳定，体现了对 甲同学做的5个月饼的 乙同学做的5个月饼的 、质量统计图 质承统计图 传统技艺的精准把控 质量g 质量g B.乙同学做的月饼质量更稳定，体现了对 153 153 151 151 传统技艺的精准把控 149 149 C.甲、乙两名同学做的月饼质量稳定性相同 147 147J ● D.无法比较稳定性 6士2寸45编号 612亨45编号 7.定义：已知二次多项式ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)，把关于x的方程4ax-b=cx-2 的解称为该二次多项式的“溯源值”.若二次多项式-x2+mx+3“溯源值”的取值范围是 2≤x≤4，则m的最小值是 A.-26 B.-14 C.-8 D.-4 8.小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于 桔槔上的0点，并可绕0点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定400N的物体， 且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离l时，横杆始 终处于水平状态，小星发现F与1有一定的关系，他记录了拉力的大小F与！的变化情况 如图2所示，下列说法错误的是 FIN A.拉力的大小F与l符合反比例 400 函数关系 300 B.当OA的长增大时，拉力F在 200 减小 100 C.OA的长每增加1m,所施加的 拉力减小200N 0 2 3 4 5 l/m D.当OA的长从1m增加到4m 图1 图2 时，所施加的拉力减小了300N 9.如图所示，在矩形ABCD中，BC=3AB,点M,N分别在边BC,AD上.连接MN,将四边形 CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的值是 A.2 B:√2) C.3 D.3 B 0 0 B D 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥ x轴，交y轴于点G.将△OBG绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束 时，点B的对应点的坐标为 A.(3,-1) B.(-1,-√3) C.（-5,1) D.(1,W3) 二、填空题（每小题3分，共15分）】 11.若一个关于m,n的单项式的系数是-5，次数是5，则这个单项式可以是 .(写出 一个即可) 12.如图所示，在数轴上点M,N分别表示数-3,1，若点P为线段MN上不与端点重合的动 点，且表示的数为2x+1,则x的取值范围是 0 M P -3 2x+1 第12题图 第14题图 第15题图 13.一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图 案外都相同.将4张书签充分搅匀，先从中任意抽取1张书签，放回搅匀后，再任意抽取1 张书签.两次抽取的书签恰好为“春”和“夏”（不计顺序）的概率为 14.如图，在等腰直角三角形A0B中，∠A0B=90°，AB=2,将△A0B绕点0逆时针旋转30°得 到△COD,则图中阴影部分的面积为 15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中点，M是边AC上的 动点，作DN LDM,交BC于点N,延长MD到点P,使得DP=2MD.线段AM与CN的数量 关系为 ;当△PNB面积最大时，AM的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：6+(2-5)°-(2)2. 2化筒安产1 2++1 17.(9分)近年来，河南博物院以“考古盲盒”“唐宫夜宴”等文创产品火出圈，成为河南文化 名片.某中学数学兴趣小组为了解全校学生对四类河南主题文创产品的喜爱情况，设计了 调查问卷并开展抽样调查，部分数据整理如下： 在下面四类河南主题文创产品中，你最喜爱的是（单选） A.考古盲盒玩偶 B.河南文物冰箱贴 C.龙门石窟创意摆件 D.唐官夜宴手机挂件 数据的收集与整理 数学兴趣小组从回收的问卷中随机抽取部分问卷进行整理，绘制了不完整的条形统计图 和扇形统计图.请根据图中信息解答下列问题： 最喜爱的文创产 最喜爱的文创产 品的人数条形图 品的入数扇形图 人数/人 50 40 玩偶 30 冰箱贴 30% 0 玩偶冰箱创意手机文创产 贴“摆件挂件命类型 (1)本次抽样调查的样本容量是 (2)补全条形统计图，并求出扇形图中“考古盲盒玩偶”对应扇形的圆心角的度数， (3)若全校共有1800名学生，请估计全校最喜爱“唐宫夜宴手机挂件”的学生人数 18.(9分)如图，AC为正方形ABCD的对角线。 (1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E,在L上确定点F,使 A D 得点F到∠BAC的两边距离相等.（不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数， 19.(9分)如图1是郑州某海洋公园摩天轮的实图.摩天轮可视作半径为60m的0，其上 的某个座舱可视作⊙0上的点A,座舱距离地面的最低高度BC为12m,地面l上的观察 点D到点C的距离DC为96m,平面示意图如图2所示.当视线DA与⊙0相切时，求点 A处的座舱到地面的距离（结果保留-位小数，参考数据：am36.87°=子，血687°= 0.92,√3≈1.73) 图1 图2 20.(9分)定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标 比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点” (1)判断下列函数图象上是否有“两倍点”？若有，求“两倍 点”；若无，说明理由。 ①y=-3x+10;②y=x2-3x+8. (2)如图，反比例函数y=冬(k≠0)图象上有一个“两倍点”A 的横坐标为3，求它的另一个“两倍点”的坐标，并结合图象 写出图象上“弱倍点”的横坐标的取值范围 21.(9分)2026年春晚《武B0T》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域 的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某 快递企业为提高工作效率，拟购买A,B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息 如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 A型 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件. (1)求A,B两种型号智能机器人的单价. (2)现该企业准备购买A,B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪 种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 22.(10分)问题情境 打铁花，又叫打树花，是流传于河南开封地区的一种民间烟火（社火）.表演者将高温铁水 击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花.某研究团队为分析其运动规律，将铁 水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径 实验数据 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上.铁水运动路径的最 高点距地面18m,表演台中心与铁水落点的水平距离为27m. 数学建模 用如图所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为N,对称轴为直线L,铁水落地点为A, 以表演台中心为原点0，水平向右为x轴正方向，过点0且竖直向上为y轴正方向，建立 平面直角坐标系 问题解决 (1)求该抛物线的表达式. (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于 14m的水平飞行距离有多长？ m 23.(10分)如图1，△ABC与△DBE是具有公共顶点的两个三角形，且∠ABC=∠DBE=a, ∠ACB=∠DEB=60°，且点E在△ACB的外角∠ACP的平分线上，连接AD. 【问题发现】(1)如图1，在△ABC和△BDE中，a=60°. 填空：①线段AD与CE的数量关系是 ;②LBAD的度数是 【类比探究】(2)如图2，在△ABC和△DBE中，α=90°，请问(1)中的结论还成立吗？并说 明理由。 【拓展延伸】(3)在(2)的条件下，若BC=1,连接AE,请直接写出当△ACE是直角三角形 时AD的长. 图1 图2 备用图数学 命题报告 1.本土情境融合到位，体现地域特色 融人河南政务服务、郑州太阳能供暖、河南博物院文创、开封打铁花、春晚机器人等本地时政与文化素材， 符合河南中考“情境化命题”的趋势。以传统文化（鼎、桔槔、中秋月饼）为载体，落实数学文化与核心素养的 考查。 2.基础考点命题规范，送分题到位 绝对值、科学记数法、三视图、概率、分式化简、统计图表、实数运算等必考基础点命题严谨，干扰项设置合 理，适合基础过关检测。统计题、尺规作图题、函数新定义题设问梯度清晰，符合中考得分逻辑。 3.核心素养考查全面 几何直观：三视图、折叠、旋转、圆的综合。数学建模：反比例函数（桔槔）、二次函数（打铁花）、方程组不等 式（机器人分拣）。数据分析：统计图表、概率、数据稳定性。逻辑推理：几何全等/相似、折登性质、类比探究。 答案速查 1.A2.C3.C4.C5.D6.B7.A8.C9.C10.B 1.-5mn(答案不唯-）12.-2<x<013日14石15.AM=CN2 评分标准 1.如果考生的解答与本答案提供的解法不同，可根据提供的解法的评分标准精神进行评分 2.评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果考生的解答在 某一步出现错误，影响后续部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但 原则上不超过后续部分应得分数之半 3.评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分 4.评分过程中，只给整数分数 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.【解题思路】26的绝对值是26. 【参考答案】 A 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考选择题第1题的必考题型，考查绝对值的基本定义，属于必拿分的基础送 分题，分值稳定3分.2026年考情仍将以整数为载体，直接考查绝对值概念，难度基础. 【命制过程】直接选取整数26考查绝对值的定义，选项设置干扰项（相反数、倒数），区分绝对值与相反 数的相关概念，考查学生的基础辨识能力， 【临考提醒】1.正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数；2.做题时区分绝对值与相反数，避免 误选。 2.【解题思路】 4.8亿=480000000=4.8×100000000=4.8×108 【参考答案】 3.【解题思路】 根据垂直的定义，当集热板与太阳光线垂直时，+B=90°.已知B=55°，因此ax=90°-55°=35° 【参考答案】C 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考选择题的基础题型，考查余角的性质与垂直的定义，常结合生活、科技、环保 等实际背景命题，属于送分题，2026年河南中考仍会以实际情境为载体，考查几何基础概念，难度低。 【命制过程】在命制本题时，以河南郑州太阳能供暖的本地环保热点为背景，围绕垂直定义与余角性质核 心考点，设置合理角度数值与干扰项，考查学生的基础运算与概念理解，落实数学与实际生活的结合，贴合 中考基础选择题的考查要求， 【临考提醒】1.牢记：若两角和为90°，则两角互余；2.垂直的本质是夹角为90°，结合平角性质推导出α+B 90°；3.计算时注意角度相减、避免误算 4.【解题思路】 主视图、左视图均为带耳的矩形组合，俯视图为同心圆，结合古代鼎的结构特征，可判断为带 圆鼎、 【参考答案】C 命题人讲评 【考向预测】本题对应河南中考基础选择题，考查几何体三视图识别，常以传统文化、古代器物为背景命 题，难度低、分值稳，属于必拿分题， 【命制思路】■ 以中国古代青铜鼎为文化载体，结合三视图核心考点，既考查几何直观素养，又渗透传统文 化教育、 【临考提醒】 1、主、左视图看高度与轮廓；2.俯视图看底面形状；3.结合生活与文化常识快速判断、 5.【解题思路】 (之)m=m,经历了3个半衰期后的质量为 【参考答案】 D 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考数学选择题的基础题型，常结合生活、科技实际背景，考查有理数乘方的实 际应用，属于送分题，2026年河南中考仍会以实际情境为载体，考查乘方运算的理解与应用，难度基础。 【命制过程】以河南核医疗产业发展为本地背景，结合半衰期的科学概念，考查有理数乘方的实际意义， 通过设置干扰项（如直接用3做分母），考查学生对“每轮减半”规律的理解，实现知识与实际的结合。 【临考提醒】1.牢记半衰期规律：n个半衰期后，剩余质量为(7)”m;2.避免直接用半衰期个数做分母，按 乘方规律计算；3.可逐次计算验证，快速排除错误选项， 6.【解题思路】在中秋传统民俗中，月饼的制作讲究“形正质匀”，即质量越集中、波动越小，越符合节庆礼俗 的文化寓意.观察统计图：甲组数据波动更大，乙组数据分布更集中，数据波动越小，质量越稳定.因此乙同学 做的月饼质量更稳定，更贴合中秋传统制饼“匀整”的文化讲究 【参考答案】B 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考数学选择题的基础题型，融合中秋赏月、制饼等传统节日文化背景，考查婪 据的波动性与稳定性分析，是中考基础送分点.2026年河南中考仍会以中华优秀传统文化为载体，考查学 生的数据素养与文化自信，难度较低 【命制过程】本题以中秋制饼的传统民俗文化为背景，结合“月饼质量标准化”的生活常识，围绕数据稳 定性核心考点，调整数据分布与选项设置，通过设置干扰项（如误将波动大小与文化寓意挂钩），考查学生 的数据分析能力与文化理解能力，实现传统文化与数学知识的有机融合： 【临考提醒】1.理解“稳定”的数学本质：数据波动越小，稳定性越强；2.结合传统情境时，注意区分文化 寓意与数学定义的不同；3.整体观察数据离散程度，勿仅凭个别极端值下结论. 7.【解题思路】根据定义，将a=-1,b=m,c=3代人方程4ax-b=cx-2,得4×(-1)x-m=3x-2→-4x m=3x-2今-7x=m-2-2,m由“溯源值”的范围2≤x≤4，得不等式2<2,0≤4解得12≤-m≤ 7 26.两边同乘-1，得-26≤m≤-12.因此m的最小值为-26. 【参考答案】A 命题人评 【考向预测】本题为河南中考选择题的中档题型，以新定义为载体，考查一元一次方程求解与不等式的综 合应用，是河南中考高频创新题型，2026年河南中考仍会以新定义形式考查代数运算与不等式性质，难度 中等 【命制过程】以二次多项式的自定义“期源值”为模型，核心考查一元一次方程求解、不等式的性质，通 过设置干扰项（如误算移项、系数化1的结果），考查学生的新定义理解与代数运算能力，贴合中考创新题 型的考查要求 【临考提醒】1.新定义问题严格按题干规则代入，不自行修改定义；2解不等式时注意系数化1、乘除负 数时不等号方向改变；3.代入端点值验证，快速排查计算错误， 8.【解题思路】由杠杆平衡原理：F·1=G·OB=400×1=400(定值)，因此F与1成反比例函数关系.对于 A,P与1乘积为定值，符合反比例函数关系，A正确；对于B,反比例函数P-4,1增大时F减小，B正确；对 于C,当1=1m时，F=40N;当1=2m时，F=200N,1=3m时，F-40N,400-20≠20-490，并非每增加 1m,拉力减小200N,C错误；对于D,当l=1m时，F=400N;当l=4m时，F=100N,400N-100N=300N, D正确. 【参考答案】 C 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考数学选择题的中档题型，常结合传统文化、古代科技背景，考查杠杆平衡原 理与反比例函数的实际应用，属于必拿分题，2026年河南中考仍会以生活化器物为载体，考查函数建模与 逻辑推理能力，难度中档 【命制过程】命制本题时，以《天工开物》中桔槔汲水工具为传统文化背景，结合杠杆平衡原理，考查反比 例函数的实际意义.通过设置干扰项（如误将拉力变化量视为恒定），考查学生对“乘积定值”规律的理解 与数据分析能力，实现传统文化与数学知识的深度结合. 【临考提醒】1.牢记杠杆平衡规律：F,L,=F2L2,识别反比例函数关系；2.避免将函数视为一次函数，错算 拉力变化量；3.可代入特值验证，快速排除错误选项，提高解题效率， 9.【解题思路】连接AC交MN于点F.由翻折的性质可知，MW垂直平分AC,故AM=CM,AF=CF,∠AFM= 90°.设AB=2,则BC=6,在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√22+62=2√10，故AF=√10.设AM=CM=x, 则BM=6-x,在R△ABM中，由AB+BMP=AM,得2+(6-)2=，解得AM=9在R△AM中，由勾股 定理，得M=√A产=，因此an乙AMY M-3 A 【参考答案】C 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考选择题的中档题型，考查矩形翻折、勾股定理与三角函数的综合应用，是高 频考点，难度中等 【命制过程】命制本题时，以矩形翻折为载体，重点考查轴对称性质、勾股定理及锐角三角函数的综合运 用，通过调整边长比例，让学生在熟悉模型中强化计算能力， 【临考提醒】1.翻折问题优先用轴对称性质找线段、垂直关系；2.设参数用勾股定理列方程求解线段长 度；3.牢记正切定义，找准直角三角形的对应边、 10.【解题思路】如图，连接04，可得04=0B,:∠A0B=360°=60°，△A0B为等边三角形， 6 0B=BM=2,GB=BM=1,在R△B0C中，0G=VOB2-CB=5,点B的 坐标为(1,5)， 第1次顺时针旋转90°，点B的对应点B,位于第四象限，其坐标为(5，-1)， 第2次顺时针旋转90°，点B的对应点B2位于第三象限，其坐标为(-1，-5)， 第3次顺时针旋转90°，点B的对应点B3位于第二象限，其坐标为(-√3,1)， 第4次顺时针旋转90°，点B的对应点B,位于第一象限，其坐标为(1，√3)， 笃5次顺时针旋转90°，点B的对应点B,位于第四象限，其坐标为(5，-1)， 每4次为一个循环，2026÷4=506…2，点B2%与点B2重合，坐标为(-1，-V3). [参考答案】B 命题人讲评 【考向预测】河南中考选择题第10题（压轴题）常考查平面直角坐标系中的规律探究题，多结合图形旋 转、折叠、平移等变换，考查学生的逻辑推理、周期规律探究与坐标变换能力，是区分度较高的题型.2026年 河南中考仍大概率以这类“图形变换+周期规律”的形式考查，难度中等偏上，需重点掌握， 【命制过程】在命制这道题时，选取边长为2的正六边形为背景，结合△OBG的旋转变换，既考查正六边 形的坐标性质、旋转变换的坐标规律，又融人周期计算，通过设置干扰项（对应第1、3次旋转的坐标），考查 学生对旋转方向、周期余数、坐标变换的易错点掌握情况，实现对学生核心素养的综合考查。 [临考提醒】1.先求初始坐标，再找旋转周期，用余数确定最终位置.2.牢记顺时针/逆时针旋转90°的坐 标变换公式，避免混淆.3.正六边形边长等于外接圆半径，可快速计算顶点坐标， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.【解题思路】根据单项式的定义，系数为-5，即单项式的数字因数为-5；次数为5，即m,n的指数和为5. 需同时含m,n两个字母.符合要求即可. 【参考答案】-5mn2(答案不唯一) 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考数学填空题的基础题型，考查单项式的系数与次数的概念，属于送分题， 2026年河南中考仍会以基础概念辨析形式考查，难度基础。 【命制过程】本题以单项式的核心概念为依托，采用开放型填空形式设计.通过明确系数、次数的定义条 件，考查学生对单项式概念的精准理解与规范表达能力，既贴合中考基础填空题的命题热点，又兼顾作答 的开放性，精准落实数学概念的基础考查要求。 【临考提醒】1.牢记单项式定义：系数是数字因数，次数是所有字母指数和；2.严格按题干要求，同时含 m,n两个字母；3.可通过验证指数和、系数符号，快速排查错误。 12.【思路解析】 根据题意，得2x+1>-30 解不等式①，得x>-2,解不等式②，得x<0,故x的取值范围 2x+1<1②， 是-2<x<0. 【参考答案】-2<x<0 命题人评 【考向预测】本题为河南中考数学填空题的基础题型，聚焦数轴与不等式的核心考点，是实数章节的经典 题型，也是中考基础运算的送分题2026年河南中考仍会以数轴为载体，考查用不等式表示数的范围、解一 元一次不等式组，难度极低，是考生必须拿满分的基础题， 【命制过程】以数轴上线段MN为背景，围绕“点在线段上（不与端点重合）”的核心条件，设计动点P的 表达式2x+1,通过列不等式组求解x的取值范围，考查学生对数轴与不等式关系的理解、一元一次不等式 组的解法，贴合中考基础填空题的命题要求，落实数学运算的核心素养。 【临考提醒】1.数轴上点在线段上（不与端点重合)，对应严格不等式-3<2x+1<1,切勿多写等号；2.解 一元一次不等式组时，注意系数化为1时不等号方向不变（系数为正）；3.最终结果要严格遵循数轴上的范 围要求，避免端点错误 13.【解题思路】 列表如下： 春 夏 秋 冬 春 （春，春) (春，夏) (春，秋) (春，冬) 夏 （夏，春) (夏，夏) (夏，秋) (夏，冬) 秋 (秋，眷) (秋，夏) (秋，秋) (秋，冬) 冬 (冬，春) (冬，夏) (冬，秋) (冬，冬) 由表格知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取为“春”和“夏”（不计顺序）的结果有春夏、夏春，共2 种，因此所求概率为P=68 2-1 【参考答案】 8 命题人讲评 【考向预测】 本题为河南中考数学填空题基础题型，常结合传统文化、生活实际背景，考查列表法或画树 状图法求概率，属于基础必拿分题，2026年河南中考仍会以实际情境为载体，考查概率的列表或画树状图 求解方法，难度基础。 【命制过程】本题以四季书签为传统文化背景，围绕列表法或画树状图法求概率的核心考点，将单次抽取 调整为有放回地抽取两次，设置列表分析（或画树状图分析）与概率计算两问，通过考查列表枚举（或画树 状图枚举)的规范过程，考查学生的数据分析与逻辑推理素养，实现数学知识与传统文化的结合。 【临考提醒】1.有放回抽取的总结果数为n2,不放回抽取的总结果数为(n-1),注意区分；2.不计顺序 时，需同时考虑两种顺序的结果；3.可通过列表/画树状图枚举，快速验证计算结果 14.【解题思路】在等腰直角三角形A0B中，∠A0B=90°，AB=2,.A0=B0= 受1=厄，∠0MB=L0BA=450,由旋转的性质可知，∠A0C=∠B0D=30, ∠0CD=∠0DC=45°，∠0AE=∠0DF=45°，.△0AE≌△0DF(ASA), 名图中阴影部分的面积=扇形04C的面积=30πX人2）-君 360 【参考答案】君 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考数学填空题的中档题型，融合旋转、等腰直角三角形、扇形面积等核心考点， 是中考几何综合的高频热，点题型.2026年河南中考仍会以图形变换为栽体，考查几何直观与面积转化能 力，难度中等 【命制过程】本题以等腰直角三角形旋转变换为模型，围绕旋转的性质、扇形的面积公式核心考点，设置 合理角度与边长参数，通过“等积转化”的思路设计阴影面积求解，考查学生的几何转化与运算能力，落实 数学核心素养，贴合中考中档填空题的考查要求， 【临考提醒】1.旋转问题优先用“全等转化”，将不规则阴影部分的面积转化为规则扇形面积；2.牢记等 愿直角三角形边长关系、扇形面积公式S需3注意流转角的对应关系，避免角度计算误。 15.【解题思路】如图，连接CD,取BD的中点Q,连接PQ并延长交BC于点E, ∠ACB=90°，AC=BC=8,D是AB的中点，AB=√2AC=82,∠A=∠CBA=45°， CD=AB=AD-BD-42,LACD-LBCD-45,CD LAB LADM+ZCDM= 90°，DM⊥DN,∴.∠CDN+∠CDM=90°，.∠CDN=∠ADM,.△ADM≌△CDN, 从M=0N:0为D的中点D0=方80=号A0,0P-分0架0-2， AM ∠ADM=∠PDQ,△ADM△QDP,∠MAD=∠PQD,P0=2,PQ∥AM,AM=2PQ,∠PEB= ∠ACB=90°，即PB⊥BC,:∠CBA=45°，△BEQ为等腰直角三角形，BE=EQ=BQ=2BD=2,设 PQ=x,则CN=AM=2x,PE=+2,BW=BC-CN=8-2,△PNB面积=2BN·PE=(8-2x)s+ 2)=-x2+2x+8=-（x-1)2+9,当x=1时，△PNB的面积最大，此时AM=2. [参考答案】AM=CN;2(第1空1分，第2空2分) 命题人讲评 [考向预测】本题为河南中考数学填空题的压轴题型，融合等腰直角三角形的性质、全等与相似三角形、 二次函数最值等核心考点，是中考几何综合的高频热点.2026年河南中考仍会以动点为载体，考查几何性 质与函数最值的综合应用，难度较高，区分度强。 【命制过程】以等腰直角三角形为基础模型，围绕动点“设计垂直、倍长等条件，将原单空题拆分为两 空：第一空考查全等三角形的核心结论，为基础得分点；第二空考查相似三角形、二次函数求最值，为压轴 难点.通过设置辅助线构造相似，考查学生的几何推理与综合运算能力，贴合中考填空题压轴的命题要求， 落实数学核心素养 【临考提醒】1.等腰直角三角形中点D是解题关健，优先连接CD,利用三线合一、全等性质；2.动点面积 最值问题，优先用参数表示线段长，转化为二次函数求最值；3.倍长线段条件，优先构造相似三角形，转化 线段比例关系 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.【参考答案及评分标准】(1)V6+(2-5)°-())-2=4+1-4=1. (5分) x2+x+1 (2)*2+2x++x ,(x+1)2,1 =(8+1)(x-1)`x(x+1)x-可 2 x-1 (10分) 17.【解题思路】(1)用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； (2)用360°乘喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可 (3)利用样本估计总体的思想进行求解即可 【参考答案及评分标准】（1)120 (2分) (2)补全条形统计图如下： 人数 50 40 30 20 (5分) 10 玩偶 贴 96(7分) 40 (3)1800×120=600(人). (9分) 命题人讲评 【考向预测】本题是河南中考数学统计解答题的经典基础题型，融合条形统计图、扇形统计图、样本容量、 图心角计算、样本估计总体等核心考点，是河南中考必考题，难度低、分值高，属于考生必须拿满分的题型. 【命制过程】以河南博物院文创为本土真实情境，保留原图所有数据不变，优化设问梯度，第(1)问考查 样本容量计算（基础得分点），第(2)问考查补全统计图与圆心角计算（中档考点），第(3)问考查样本估计 总体（综合应用），精准贴合河南中考统计题的命题逻辑与难度要求. 【临考提醒】1.样本容量是统计题的核心突破口，优先用“已知频数÷对应百分比”计算样本容量；2.圆 心角公式：360°×对应频率，注意领率=频数÷样本容量；3.样本估计总体：总体人数×样本中对应类别 频率，计算时注意约分，避免计算错误。 18.【解题思路】(1)由题意先作AD的垂直平分线l,再根据点F到∠BAC的两边距离相等可知点F在∠BAC的 平分线上，据此作图即可. (2)根据正方形的性质和角平分线的定义求得∠BAF,然后由∠BAF+∠EAF=90°和∠EFA+∠EAF=90°， 得到∠EFA=∠BAF,即可求解 【参考答案与评分标准】 (1)如图，直线l,点F即为所求 (4分) (2):四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴.∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°， (6分) :MN平分LBMC,4LBMF=7∠BAC=7×45=2.5, 直线L⊥AD,即∠AEF=90°，.∠EFA+∠EAF=90°， ∴.∠EFA=∠BAF=22.5. (9分) 命题人诽评 【考向预测】本题是河南中考数学尺规作图+几何计算的经典中档题型，融合正方形的性质、垂直平分 线、角平分线的性质等核心考点，是河南中考解答題（第1819题）的高频命题方向，难度适中，区分度清 晰，属于考生必须稳拿分的题型.2026年河南中考仍会以正方形为载休，考查尺规作图与角度计算的综合 应用 【命制过程】以正方形为基础模型，围绕“垂直平分线+角平分线”两个核心尺规作图考点设计题干：第 (1)问考查尺规作图的规范操作，落实新课标对几何作图的能力要求；第(2)问依托正方形45°角与对角线 的性质，结合角平分线、直角三角形两锐角互余的性质，考查角度计算，形成“作图一推理一计算”的完整逻 辑链、褙准贴合河南中考尺规作图题的命题范式，落实数学核心素养， 【临考提醒】1.尺规作图要点：作AD的垂直平分线，需以A,D为圆心，大于之AD的长度为半径画敦，两 弧交点连线即为：作∠BAC的平分线，需在两边裁等长线段，画弧取交点连线，两线交点即为点F,作图痕 迹需清晰保留；2.角度计算关键：正方形对角线平分内角，∠BAC=45°是解题突破口，角平分线分角为 22.5°.再利用直角三角形两锐角互余，推导∠EFA=∠BAF,快速得出结果；3.答题规范：尺规作图题需严 格保留作图痕迹、角度计算需紧扣正方形、角平分线的性质，步骤严谨，避免跳步失分 19.【参考答案与评分标准】如图，连接OA,过点A作AE LCD于点E,由题意得摩天轮半径OA=60m, 座舱最低高度BC=12m. 则圆心0到地面的距离0C=0B+BC=60+12=72(m),由题知DC=96m,DA⊥OA, (2分) 在Rt△0CD中，由勾股定理得0D=√0C2+DC2=√722+962=120(m), (3分) 在Rt△0AD中，由勾股定理，得AD=√0D2-0A=√1202-602=605≈103.8(m). (4分) :an∠0Dc=0C=2=3 CD=96=4, (5分) ∴.∠0DC≈36.87°， 血∠a00-器-分， (6分) .∠AD0=30°， ∠ADE=36.87°+30°=66.87°， 在△ADE中，血∠ADE-铝=0.92 (8分) AE≈AD×0.92≈103.8×0.92≈95.5(m) 答：点A到地面的高度约为95.5m (9分) 命题人讲评 [考向预测】本题是河南中考数学第19/20題的圆的综合解答题，融合切线性质、解直角三角形、实际应 用等核心考点，是河南中考几何综合的高频题型，难度中等偏上，区分度强，是考生冲刺高分的关键题型： 2026年河南中考仍会以摩天轮等实际生活场景为载体，考查圆的综合应用. 【命制过程】本题以郑州某海洋公园摩天轮为本土真实情境，按比例优化数据，考查切线性质与解直角三 角形，为基础得分点，精准贴合河南中考圆的综合题的命题逻辑，落实数学核心素养。 【临考提醒】】.切线问题优先连接圆心与切点，利用切线垂直于半径的性质构造直角三角形；2.实际问题 中，优先作辅助线将实际高度转化为线段长度，再用三角函数求解。 尚武 20.【解题思路】（1)根据“两倍点”的定义，即可求解； (2)根据两倍点的定义，可得A(3,6),再由反比例函数的性质可得直线y=2x与反比例函数y=在(k≠0)图 象的另一交点B(-3,-6)是其另一个“两倍点”，再结合“弱倍点”的定义，可得反比例函数y=点(k≠0)图 象的弱倍点在直线y=2x的下方，即可求解， 【参考答案与评分标准】（1)令y=2x. ①2x=-3x+10,解得x=2, ∴.y=4,故存在“两倍点”，为(2,4). (3分) ②2x=x2-3x+8, 即x2-5x+8=0,b2-4ac=52-4×8<0, .方程无实根，即不存在“两倍点”.（6分) (2)、点A是反比例函数图象上的两倍点，点A的横坐标为3， .A(3,6), .k=18. ·直线y=2x与反比例函数y=18(k≠0)图象的另一交点B(-3,-6)是其 另一个两倍点； :弱倍点应符合y<2x,即反比例函数y=18(k≠0)图象的“弱倍点”在直线y=2x的下方， ∴.“弱倍点”的横坐标的取值范围为-3<x<0或x>3. (9分) 命题人讲评 【考向预测】本题是河南中考数学第20题函数新定义综合解答题，融合一次、二次、反比例函数性质与新 定义应用，是高频中档题型，难度适中，区分度清晰.2026年河南中考仍会以新定义为载体，考查函数综合 应用、 【命制过程】围绕“两倍点”“弱倍点”设计梯度设问：第(1)问考查新定义理解与方程求解，为基础得分 点；第(2)问以反比例函数为载体，强化数形结合思想，精准贴合河南中考命题逻辑，落实数学核心素养的 考查. 【临考提醒】1.新定义题先吃透定义，将“两倍点”转化为y=2x,“弱倍点”转化为y<2x再求解；2.二次 函数求两倍点时，先算根的判别式判断根的情况；3.反比例函数分析范围时，结合图象分象限讨论，避免 漏解 21.【解题思路】(1)先设A型机器人的单价为x万元，B型机器人的单价为y万元，再根据表格中两组购买方 2x+3y=340, 案的总费用，列出二元一次方程组{ 解方程组即可得到两种机器人的单价 3x+y=300, (2)先设购买A型机器人a台，则购买B型机器人(12-a)台，根据“总费用不超过800万元”列出不等式 80a+60(12-a)≤800，解得a≤4；再设每天分拣总件数为w万，根据两种机器人的分拣效率，列出总件数 的函数关系式0=4a+240,由一次函数的增减性(4>0，w随a增大而增大)；可知当a取最大值4时，0最 大，从而确定最优购买方案 【参考答案及评分标准】(1)设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y 万元， 2x+3y=340, 由题意，得{ (2分) 3x+y=300. x=80, 解得 (3分) y=60. 答：A种型号智能机器人的单价为80万元.B种型号智能机器人的单价为60万元. (4分) (2)设该企业购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(12-a)台， 由题意，得80a+60(12-a)≤800， (5分) 解得a≤4. (6分) 设每天分拣快递w万件、 则p=240+20(12-0)=24a+240-20a=4a+240, (7分) …4>0,r随a的增大而增大. .当a=4时，r最大、 此时12-a=8. (8分) ∴该企业购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多. (9分) 命题人讲评 【考向预测】太题为河南中考数学解答题第21题的典型題型，二元一次方程组与一元一次不等式的实际 应用是河南中考每年必考的核心中档题，命题常结合时政热点与生活实际，考查数学建模与应用能力. 2026年河南中考仍将延续该命题风格，以科技、民生等热，点为载体，考查方程组求解+不等式方案选择的 综合应用，难度中等，分值稳定 【命制过程】本题以2026年春晚机器人表演为背景，结合快递分拣机器人的实际场景，分层设问：第(1) 问考查二元一次方程组的实际应用，第(2)问考查不等式约束下的方案优化，通过干扰性方案针对性考查 易错点，实现知识与素养的双重考查. 【临考提醒】1.找准等量关系列方程组，注意单位统一；2.解不等式时，机器人台数为正整数，需结合实际 取值：3.方案选择时，优先选择效率更高的；4.规范书写“设、列、解、答”，避免跳步失分 22.【解题思路】(1)已知抛物线过原点0(0,0)，顶点横坐标为表演台中心与落地点水平距离的一半，为 13.5,顶点纵坐标为最高点18，因此设抛物线为y=α(x-h)2+k,代入顶点坐标(13.5,18)，再将原点(0,0) 代人解析式，解出二次项系数α，最终得到完整抛物线表达式. (2)令y=14,代人抛物线解析式，解一元二次方程得到两个交点的横坐标；根据抛物线开口向下的性质，萌 定y≥14对应的x的取值范围，用两个交点的横坐标作差，即可得到满足条件的水平飞行距离。 【参考答案及评分标准】 (1)设该抛物线的表达式为y=a(x-13.5)2+k, 已知顶点纵坐标为18，故y=a(x-13.5)2+18, (1分) 把原点(0,0)代人，得0=a(0-13.5)2+18, 解得a=-18 8 13.5=87 (2分) 该抛物线的表达式为y=-哥(x-13.5)2+18。 (4分) (2)当y=14时，14=-景（x-13.5y2+138, (6分) 解得x=13.5+2五，=13.5-32 :一景<0，抛物线开日向下， 当13.5-昌≤x≤13.5+号厄时，铁水飞行过程中距离地面高度不低于14m,此时水平飞行距离为 (13.5+2n-(13.5-号D)=9(m). (10分) 命题人讲评 【考向预测】本题是河南中芳数学第22题的二次函数实际应用解答题，融合抛物线解析式求解、不等式 应用等核心考点，是河南中考函数应用的高领中档题型，难度适中，区分度清晰，是考生稳拿分的关健题 型.2026年河南中考仍会以非遣民俗等本土实际场景为载体，考查二次函数的综合应用. 【命制过程】本题以河南开封打铁花非遗表演为本土真实情境，优化数据设计两问梯度设问：第(1)问考 查抛物线顶点式求解，为基础得分点；第(2)问结合高度限制考查函数与不等式的应用，为中档得分点.强 化实际应用能力，精准贴合河南中考命题逻辑，落实数学核心素养 【临考提醒】1、抛物线实际问题优先用顶点式设解析式，结合已知点坐标求参数：2.高度不低于某值的 水平距离，需解方程找交点，利用开日方向确定取值范围， 23.【解题思路】(1)根据已知条件，可证△ABC、△DBE均为等边三角形，得AB=BC,BD=BE;再由∠ABC= ∠DBE推出∠DBA=∠EBC,用SAS证△DBA≌△EBC,直接得AD=CE;结合CE平分外角∠ACP,计算得 ∠BCE=120°，由全等三角形对应角相等，得∠BAD=120°， (2)类比探究a=90°时结论是否成立，迁移共顶点等角模型，由∠ABC=∠DBE=90°仍得∠DBA=∠EBC; 在直角三角形中利用60°角的三角函数，得边之比器-品=，证△DBA~△BC,得D=5CB,同理由 角平分线性质得∠BCE=120°，结合相似三角形对应角相等，得∠BAD=120°，结论部分成立. (3)在(2)的条件下，已知BC=1,△ACE为直角三角形，求AD的长.根据前两问结论，先分类讨论直角顶 点：由∠BCE=120°，∠ACB=60°，排除∠ACE=90°的情况，仅需讨论∠CAE=90°和∠AEC=90°两种情 况；结合AD=3CE的关系，先计算CE的长度，再代入得AD的长，注意分类完整、避免漏解。 【参考答案及评分标准】（1)①AD=CE(2分)②120° （4分) (2)部分成立，AD=√3CE;∠BAD的度数为120° (5分) 理由：.∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠DEB=60°， BD=BE·tan60°=√5BE,AB=BC·tan60°=√5BC,∠DBA=∠EBC, 器器-， △D8A△EBC,0-2器=5，A0=5CR (7分) :CE平分∠ACP,∠ACP=180°-∠ACB=120°， ∠BCP=2LACP=60°， .∠BCE=180°-60°=120°，.△DBA△EBC,.∠DAB=∠ECB=120°. (8分) (3)AD的长值为√5或43. (10分，注：每个1分) 命题人讲评 【考向预测】本题为河南中考数学第23题（压轴题）的典型题型，几何综合探究題是河南中考每年必考 的压轴题型，以“问题发现一类比探究一拓展延仲”的分层结构命题，融合相似三角形、全等三角形、角平分 线、直角三角形分类讨论等核心知识，点，考查学生的逻辑推理、图形变换与分类讨论能力，区分度高.2026 年河南中考仍将延续该命题风格，以“共顶，点旋转”为载体，考查几何综合探究能力，难度较大 【命制过程】本题以共顶点旋转三角形为载体，分层设问：第(1)问特殊角（α=60）下的全等探究，搭建 基础模型；第(2)问特殊角（α=90°）类比探究，考查相似三角形的迁移应用；第(3)问拓展延伸，融入直角 三角形分类讨论，综合考查几何计算与分类思想.通过设置干扰性结论、分类漏解陷阱，考查学生的易错 点，实现对核心素养的综合考查 【临考提醒】1.共顶点等角模型优先证相似/全等，抓住旋转不变性；2.类比探究遵循“特殊到一般”，结 论形式不变，数量关系由相似比推导；3.直角三角形分类讨论需分三种直角顶点，避免漏解；4.规范书写推 理过程，标注辅助线，避免跳步失分