8.1.2频率与概率（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块下册》【上好课】

该教案聚焦“频率与概率”核心知识点，通过天气预报视频及抛硬币情境导入，结合德·摩根等数学家的抛硬币试验数据，承接随机事件概念，引导学生从经验直觉走向量化概率，搭建从试验现象到理论本质的认知支架。 采用情境教学与试验探究法，以射击、摸球等实例引导学生观察频率稳定性，培养数据分析与逻辑推理素养，通过对比辨析强化频率与概率的本质区别，提升学生用数学语言解决实际问题的能力，帮助教师高效突破重难点，夯实概率统计基础。

高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 第八章 概率与统计初步 8.1.2频率与概率 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节是概率统计初步的核心起始课，承接随机事件的基本概念，从试验、频数、频率入手，引出概率的统计定义，是学生从 “经验直觉” 走向 “量化概率” 的关键。 教材以抛硬币、射击、摸球等贴近生活的实例为载体，突出频率的稳定性，强调 “大量重复试验下，频率稳定于概率”，为后续古典概型、概率性质打下基础，兼具工具性与素养价值。 五、学情分析 学生数学基础偏弱，抽象思维能力不足，但对生活中的随机现象（抽奖、天气预报、游戏概率）兴趣浓厚，具备一定的生活经验和直观认知。 学生容易混淆频率与概率：认为概率是某次试验的结果、频率等于概率、概率随试验变化。本节课需多举实例、多对比辨析，从直观到抽象，降低理解难度。。 六、教学目标 知识层面 理解频数､频率的概念，掌握概率的定义､取值范围及必然事件､不可能事件的概率 能力层面 能通过重复试验计算事件的频率，能根据频率估计随机事件的概率并解决简单实际问题 核心素养层面 通过探究频率与概率的关系，培养逻辑推理能力，提升数据分析与数学抽象的核心素养 七、教学重点 1.理解频数、频率的定义与意义，熟练掌握频率计算公式，能根据试验数据准确计算事件发生的频率； 2.明确频率与概率的区别与联系，能从本质上区分二者，会利用频率估计随机事件的概率。 八、教学难点 建立从试验现象（频率）到理论本质（概率）的认知跨越，初步形成用频率估计概率的统计思想。 九、教学方法 1.情境教学法：选取天气预报降水概率、生活抛硬币、抽奖中奖等贴近学生生活的真实情境，辅以历史经典试验案例导入，引发认知冲突，激发学习兴趣与探究欲望，自然引出课题； 2.试验探究法：呈现历史数学家抛硬币的大量试验数据，引导学生观察、分析、归纳，直观感知 “试验次数越多，频率越稳定” 的规律，在探究中构建概率的统计定义； 3.讲练结合法：精讲核心概念、公式与易错点，突出重点、突破难点；搭配由浅入深、层次分明的例题、课堂练习与课后作业，及时巩固知识，提升计算与应用能力； 4.对比辨析法：通过表格、关键词对比、正误判断等方式，从定义、性质、取值、与试验关系等维度辨析频率与概率，强化本质区别，消除概念混淆，培养严谨的数学思维。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 天气预报 播放视频 天气预报中的概率 “天气预报显示，明天的降水概率是 70%” 思考一下 这是不是意味着明天一定会下雨？或者是有 70% 的时间在下雨？ 试验者 抛硬币次数() 正面朝上次数() 正面朝上频率() 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 情境 —— 生活中的随机现象 抛硬币 同学A说:“我抛了 3 次，3 次都是正面！” 这硬币是魔术币吗？ 正面出现的可能性是多少？ 伟大的数学家们做过大量的抛硬币实验 历史上众多数学家开展了大量抛硬币重复试验，单次少量试验无规律，大量重复试验会呈现稳定规律。 实验结论：随着试验次数增多，硬币正面朝上的频率越来越稳定地接近0.5，验证了频率的稳定性规律。 从天气预报切入，制造认知冲突，引发对 “概率到底意味着什么” 的思考；再用身边抛硬币小故事激发兴趣，配合历史数学家的经典试验数据，直观呈现 “少量试验随机、大量试验稳定” 的现象，为概率定义做好铺垫。 新知讲授 频数与频率定义 在相同条件下进行 次试验，事件A发生的次数 称为事件A发生的频数；比值 称为事件A发生的频率。 观察 根据下表可以发现，在抛掷硬币的试验中，当抛掷次数 n 逐渐增多 事件正面向上的频数 m 也增多，事件 A 的频率 在数值 0.5 附近波动，并且随着 n 的增大，波动幅度越来越小且趋于稳定. 常数 0.5 是事件正面向上发生的频率 的稳定值，我们可以用它来描述事件 A 发生的可能性的大小. 概率 一般地，在 n 次重复试验中，事件 A 发生的频率 总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件 A 发生的概率，记作 抛掷硬币的试验中，事件正面向上的频率稳定值为 0.5 所以事件 A 发生的概率是 0.5, 即 数学史知识 雅各布・伯努利 (1654−1705) 瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律。大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近. 对比辨析 概率特征：固定不变的客观数值，与试验次数、随机试验无关。 频率特征：随机不固定，试验前无法确定，相同次数的重复试验，频率结果可能不同。 由概率的定义可知 概率的取值范围 对于任意事件 A , 概率值永远介于 0 和 1 之间 特殊事件的概率 必然事件 不可能事件 1.频数与频率 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的频数, 比值 称为事件 A 发生的频率. 2.概率 一般地，在 n 次重复试验中，事件 A 发生的频率 总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件 A 发生的概率，记作 3.由概率的定义可知: (1) 概率的取值范围: (2) 必然事件的概率 (3) 不可能事件的概率 由具体试验抽象出频数、频率概念，符合中职学生从具象到抽象的认知规律；通过观察频率变化趋势，引导学生自主归纳 “稳定值”，顺势给出概率统计定义；引入大数定律，让学生理解概率背后的理论支撑；用对比辨析强化频率 “随机可变”、概率 “固定客观” 的本质区别，突破核心难点；最后系统梳理知识框架，帮助学生快速构建本节概念体系。 案例分析 例 1 某射击运动员为参加奥运会进行射击训练，结果见下表： 射击次数n 60 150 600 900 1200 1800 击中靶心次数m 53 134 537 817 1073 1629 (1) 计算选手击中靶心的频率；(保留到小数点后第 3 位) (2) 求这个选手击中靶心的概率。 解： 60 150 600 900 1200 1800 击中靶心次数m 53 134 537 817 1073 1629 击中靶心频率 0.883 0.893 0.895 0.908 0.894 0.905 (2) 比值 稳定在 0.9 附近，这个选手击中靶心的概率是 0.9。 例 2 事件 的概率 ，事件 是必然事件吗？ 解：不是，因为必然事件的概率为 1，所以事件 显然不是必然事件。 例 1 紧扣本节课核心技能，训练学生计算频率、观察趋势、估计概率的完整过程，强化频率稳定性的应用，提升数据分析能力；例 2 针对易错点设计，区分 “高概率” 与 “必然事件”，深化对概率取值范围的理解。 学以致用 练习 1 一个容量为 的样本分成若干组，若某组的频数和频率分别是 20 和 0.1，则 等于？ 解：由 得 解得 。 练习 2 某人将一枚硬币连续掷了 20 次，12 次正面朝上，若事件 表示 “抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件 的频率为 。 解： 练习 3 在一个不透明的袋子里，装有 9 枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同。将袋子里的棋子摇匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在 0.3 附近，由此估计袋子里黑色棋子的个数为 ( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 解：由于频率稳定在 0.3，说明摸到白色棋子的概率约为 0.3。 设有黑色棋子 枚： 解得 。 三道练习由易到难、层层递进：练习 1、2 巩固频率公式正向、逆向计算，夯实基础；练习 3 结合生活情境，强化 “用频率估计概率” 的思想，提升建模与方程求解能力；限时独立完成，及时检测新知掌握情况，快速反馈、查漏补缺，为课堂练习做铺垫。 课堂练习 1.判断正误: (1) 一次摸奖活动中，中奖概率为 0.2, 则摸 5 张票，一定有一张中奖.( ) × (2) 随机事件的频率和概率不可能相等.( ) × (3) 随机事件的概率不会随着试验次数的变化而变化.( ) √ 2.在 ("I like math") 中，字母 "e" 出现的频率是多少？(不考虑空格) 解:I , L , i , k , e , m , a , t , h , e ,m, a , t , h , C , S 总共有 16 个字母 在句子 "I like math" 中，字母 "e" 出现了 2 次 3.选择题. (1) 射击运动员进行训练，上下午各射击 100 次，上午射中 80 次，下午失误 10 次，射击运动员一天射中的频率是 () A.0.15 B.0.015 C.0.085 D.0.85 (2) 下列说法错误的是 ( ). A.事件发生的频率与试验次数无关 B .事件发生的概率与试验次数无关 C. D. 4.填空题. (1) 从一批种子中抽取 500 颗进行发芽测试，其中有 400 颗发芽，则事件种子发芽的频率是 0.8. (2) 在一个装有红色球的盒子中，事件 取到红球 的概率, 事件取到绿球的概率 5.一名篮球运动员在罚球线上进行投篮练习，结果如下表所示： 投篮次数n 100 150 200 250 300 350 400 投中次数m 55 83 111 138 165 194 221 投中频率 0.550 0.553 0.555 0.552 0.550 0.554 0.553 (1) 计算这名篮球运动员投中的频率，并填入表格（保留到小数点后第 3 位）； (2) 求篮球运动员投中的概率。 解：(2) 比值 总在 0.5 附近波动，篮球运动员投中的概率是 0.5。 6.事件 的概率 ，事件 是不可能事件吗？ 解：事件 的概率是 。 由于 ，事件 不是不可能事件。 题型丰富、覆盖全面，兼顾基础、易错点与综合应用：判断题直击易混概念，强化频率与概率区别；字母频率、射击、种子发芽等题贴近生活，提升应用能力；投篮题再次巩固频率稳定性；小概率事件辨析区分 “小概率” 与 “不可能事件”；分层设计适配不同水平学生，全面检测学习效果，及时纠正错误认知。 课堂小结 1.频数与频率 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的频数, 比值 称为事件 A 发生的频率. 2.概率 一般地，在 n 次重复试验中，事件 A 发生的频率 总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件 A 发生的概率，记作 3.由概率的定义可知: (1) 概率的取值范围: (2) 必然事件的概率 (3) 不可能事件的概率 用简洁、结构化语言梳理本节课核心知识点，帮助学生快速回顾、串联内容，形成清晰知识脉络。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 1.频数与频率 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的频数, 比值 称为事件 A 发生的频率. 2.概率 一般地，在 n 次重复试验中，事件 A 发生的频率 总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件 A 发生的概率，记作 3.由概率的定义可知: (1) 概率的取值范围: (2) 必然事件的概率 (3) 不可能事件的概率 板书简洁精炼、重点突出、逻辑清晰，将核心概念、公式、结论集中呈现，便于学生课堂记录、快速回顾。 11、 教学反思 本节课围绕频率与概率展开教学，以生活情境和经典试验引入，贴合中职学生认知，有效激发学习兴趣。通过讲练结合、对比辨析，多数学生能掌握频数、频率计算及概率定义，理解频率稳定性。但仍存在不足：部分学生对频率与概率的本质区别理解不透彻，抽象思维薄弱；课堂互动形式较单一，学生动手探究不足。后续教学可增加分组试验环节，借助动态演示强化直观感知，多设计易错辨析题，帮助学生突破难点，提升数据分析素养，优化课堂参与度与教学实效。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $