2026年广东广州中考数学复习专题合集最值问题

2026-05-21

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普通

摘要：

该初中数学中考复习课件聚焦“将军饮马模型”这一最值问题核心考点，覆盖直线与两定点、一定两动、两定两动及两定点一定长等模型，对接中考说明分析近三年真题中该考点占比，归纳选择、填空、解答题常考题型，体现备考针对性与实用性。课件亮点在于“模型梳理+真题解析+素养提升”模式，如2025广州中考题通过对称转化求△PCD周长最小值，培养几何直观和推理能力，提供“作法-结论”表格及易错点分析，帮助学生掌握路径转化技巧，教师可依此设计专题训练，助力学生中考冲刺，提升复习效率。

内容正文：

第二轮专题突破第三板块　最值问题第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 典例分析重点巩固拔尖突破【名师解读】隐圆型问题存在的类型比较多，此类问题可以根据圆的定义和圆的定理来证明动点轨迹是圆；另外在动点轨迹问题中可以根据瓜豆原理快速判断动点轨迹的类型. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 常见模型归纳 (1)定点定长模型若P为动点，但AB＝AC＝AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB为半径. 原理：在☉A中，AB＝AC＝AP. 备注：常通过证明三角形全等或相似证明出定长. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) (2)直角圆周角模型若固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A，B，C三点共圆，AB为直径. 原理：在☉O中，圆周角为90°所对弦是直径. 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) (3)定弦定角模型若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A，B，C三点的圆. 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等. 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) (4)四点共圆模型① 若动角∠A＋动角∠C＝180°，则A，B，C，D四点共圆. 原理：圆内接四边形对角互补. 备注：点A与点C在线段BD异侧. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) (5)四点共圆模型② 若固定线段AB所对同侧动角∠P＝∠C，则A，B，C，P四点共圆. 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等. 备注：点P与点C在线段AB同侧. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是________. 1 第1题图－1 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段 CE的最小值为_________. 2 第2题图－1 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 　在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC长的取值范围是_______________. 3 第3题图 4＜BC≤ 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如图，定长弦CD在以AB为直径的☉O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是_______. 4 第4题图 4 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作Rt△ABE，∠AEB＝90°，AC，BD交于点O.已知AE，BE的长分别为3，5，求△OBE的面积. 5 解法一：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°. 又∵∠AEB＝90°， ∴点A，B，O，E四点共圆. ∴∠OEB＝∠OAB＝45°. ∵AE＝3，BE＝5，∴OB＝＝. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如答图1，过点O作ON⊥BE于点N，易知ON＝EN. 设ON＝x，则BN＝BE－EN＝5－x. ∴在Rt△OBN中， x2＋(5－x)2＝()2，解得x1＝1，x2＝4(舍去). ∴S△OBE＝BE·ON＝×5×1＝. 答图1 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 解法二：如答图2，连接DE，将△AED旋转，使AD与AB边重合，则四边形AFBE为直角梯形. 根据勾股定理，得AB2＝32＋52＝34，则S△ABD＝×AB×AB＝17. ∵S△ABD＝S梯形AEBF＋S△BDE＝17， S梯形AEBF＝(3＋5)×3÷2＝12， ∴S△BDE＝5. ∵S△OBE与S△ODE等底同高面积相等，∴S△OBE＝2.5. 答图2 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF＋PD的最小值是_______. 6 8 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如图，A(1，0)，B(5，0)，以AB为直径作☉M，射线OF交☉M于E，F两点，C为的中点，D为EF的中点，当射线OF绕点O旋转时，CD的最小值为_______. 7 1 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为__________. 8 2－2 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 　如图，等边三角形ABC边长为2，E，F分别是BC，CA上两个动点，且BE＝CF，连接AE，BF，交点为P点，则CP的最小值为______. 9 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF－AD＝2，AB＝6，则ED的长为______. 10 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 解：如答图1. ∵O为AC中点， ∴AO＝OC. 根据作图可得BO＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形. 　(2025·广州)如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC. (1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D(保留作图痕迹，不写作法)，连接AD，DC，并证明：四边形ABCD为平行四边形； 11 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) (2)如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE. ①求证：△ABC∽△CBE；解：∵△ABC∽△FCE， ∴∠F＝∠BAC，∠ACB＝∠FEC. ∵∠ACE＝∠F＋∠CEF＝∠ECB＋∠ACB， ∴∠BCE＝∠F＝∠BAC. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) ∵△ABC∽△FCE， ∴＝且CF＝AC. ∴＝.∴△ABC∽△CBE. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) 解：∵∠AEC＝45°，AC＝4， ∴E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为☉O'. 如答图2，设EF与☉O'交于点G，连接AG. ∴∠AO'C＝2∠AEC＝90°. ∴O'A＝O'C＝AC＝2. ∵CG＝CG，∴∠GAF＝∠CEF. ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) ∵∠CEF＝∠ACB， ∴∠GAF＝∠BCA. 又∵∠F＝∠BAC， ∴△BAC∽△GFA. 又CF＝AC，则AF＝2AC， ∴＝＝.∴BC＝AG. ∴当AG为☉O'的直径时，AG取得最大值为4. ∴BC的最大值为2. 返回目录上一页下一页第24讲　动点轨迹2(隐圆型) $第二轮专题突破第三板块　最值问题第17讲　将军饮马模型典例分析巩固提高拔尖突破【名师解读】“将军饮马”问题主要通过轴对称变换将线段进行等量代换，并利用“两点之间，线段最短”等数学结论确定最优路径. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型1：直线与两定点模型作法结论当两定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小连接AB交直线l于点P，P即为所求作的点 PA＋PB的最小值为AB的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，P即为所求作的点 PA＋PB的最小值为AB'的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜最大连接AB并延长交直线l于点P，P即为所求作的点｜PA－PB｜的最大值为AB的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论当两定点A，B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜最大作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，P即为所求作的点｜PA－PB｜的最大值为AB' 的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论当两定点A，B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜最小连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，P即为所求作的点｜PA－PB｜的最小值为0 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型2：“一定两动”与“两定两动” 模型作法结论点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求 △PCD周长的最小值为P'P″的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小作点P关于OB的对称点P'，过P'作P'C⊥OA交OB于D，点C，点D即为所求 PD＋CD的最小值为P'C的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论点P，Q在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'，分别交OA，OB于点C，D，点C，D即为所求 PC＋CD＋DQ的最小值为P'Q'的长，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P'Q'的长返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型3：两定点一定长模型作法结论在直线l上找M，N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d AM＋MN＋NB的最小值为A″B＋d 将A向右平移d个单位长度到A'，作A'关于l的对称点A″，连接A″B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位长度即为M，点M，N即为所求返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型模型作法结论 l1∥l2，l1，l2间距离为d，在l1，l2分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小将A向下平移d个单位长度到A，连接A'B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M，连接AM.点M，N即为所求 AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型　如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为多少？ 1 解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴点A与点C关于BD对称. ∴AF＝CF. ∴CF＋EF＝AF＋EF＝AE，此时CF＋EF最小. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AB＝4，∠ABC＝90°. ∵点E在AB上，且BE＝1， ∴AE＝＝＝，即CF＋EF的最小值为. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(2，5)，P是x轴上一点，则PA＋PB的最小值为__________，此时点P的坐标为_________；｜PB－PA｜的最大值为_________，此时点P的坐标为_________ 2 第2题图返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，若M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为_______. 3 第3题图 8 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 (2025·广州)如图，☉O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，＝，P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是( ) A.2＋ B.2＋2 C.3＋ D.4＋4 4 第4题图 B 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 (2024·越秀区一模)如图，点E为菱形ABCD的边AD上一点，且AE＝3，DE＝2，F为对角线AC上一动点，若△DEF的周长最小值为6，则sin ∠BCD＝_________. 5 第5题图返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C在坐标轴上，点B的坐标为(6，4)，D为AB的中点，点E，F为OA边上两个动点，且EF＝2，求四边形CDFE的周长最小值. 6 解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，向右平移点C至点G，使CG＝2，连接D'G，与x轴交于点F，在OA上截取EF＝2. ∵CG∥EF，CG＝EF， ∴四边形CEFG为平行四边形. ∴CE＝GF. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 ∵四边形CDFE的周长为CD＋DF＋EF＋CE，CD，EF的长为定值， ∴当DF＋CE的值最小时，四边形CDFE的周长最小. ∵点D，点D'关于x轴对称， ∴DF＝D'F.∴DF＋CE＝D'F＋GF＝GD'. ∴此时得到的点E，F使四边形CDFE的周长最小. ∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(6，4)， ∴OA＝BC＝6，OC＝AB＝4. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 ∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝2. ∴CD＝＝2. ∵点D，点D'关于x轴对称，∴AD'＝2，BD'＝6. ∵CG＝2，∴BG＝4.∴GD'＝＝2. ∴CE＋FD的最小值为2. ∴四边形CDFE的周长最小值为GD'＋CD＋EF＝2＋2＋2. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，3)，D为OC的中点，E，F分别为x轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接DE，EF，CF，求四边形CDEF周长最小时点E，F的坐标. 7 解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，作点C关于抛物线对称轴的对称点C'，连接C'D'，交对称轴于点F，交x轴于点E.由对称知C'F＝CF，D'E＝DE， ∴此时四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF＝CD＋D'E＋EF＋C'F＝CD＋C'D'. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 ∴此时四边形CDEF的周长最小，最小值为CD＋C'D'. ∵A(1，0)，B(4，0)，∴抛物线对称轴为直线x＝.∴C'(5，3). ∵D为OC的中点，∴D.∴D'. 设直线C'D'的解析式为y＝kx＋b1. 将点C'，D'的坐标代入，得解得 ∴直线C'D'的解析为y＝x－. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型令y＝0，则x＝，∴点E的坐标为. 令x＝，则y＝，∴点F的坐标为. ∴当四边形CDEF周长最小时，点E的坐标为，点F的坐标为. 返回目录上一页下一页第17讲　将军饮马模型 $第二轮专题突破第三板块　最值问题第22讲　动点轨迹1 (直线型) 典例分析重点巩固拔尖突破【名师解读】1.动点直线型路径问题在全国各省市中考压轴题中经常出现. 2.判定动点路径的方法——瓜豆原理：主动点路径是圆弧型，则从动点路径也是圆弧型；主动点路径是直线型，则从动点路径也是直线型.此方法可以快速解决此类型选择、填空题，在解答题中也可以帮助学生辨别轨迹类型，注意要证明. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 3.直线型一般有以下几种情况： (1)几何定理型：动点到某两个定点始终等距，则其在两定点所连线段的垂直平分线上；动点到角两边的距离相等，则在此角的平分线上； (2)动点沿某一定角度移动，则其在角的一边上(通常证三角形全等或相似来证明)； (3)动点到某一定直线的距离始终相等，则其在平行于此定直线的一条直线上； (4)利用函数方法求动点坐标满足的函数关系式，当动点P(x，y)满足y＝kx＋b时，轨迹为直线型. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 类型一　几何定理型类型分析：根据几何的相关定理，如到两边距离相等的点在角的平分线上，确定动点轨迹是角平分线；如到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，确定动点轨迹是某垂直平分线. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 如图，在矩形ABCD中，点P在AD边上，AB＝2，AP＝1，∠EPF＝90°，PE，PF分别与AB，BC相交于点E，F，且当点E与B重合时，点F恰好与点C重合. (1)求PC的长； 1 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝2. 在Rt△ABP中，PE＝＝＝. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) ∵∠EPF＝90°，∴∠APB＋∠DPC＝90°. ∵∠PBA＋∠APB＝90°，∴∠PBA＝∠DPC. ∴△APB∽△DCP.∴＝，即＝，解得PC＝2. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) (2)将∠EPF绕点P按如图位置顺时针旋转，当点E与点A重合时停止. ①tan ∠PEF的值是否发生变化？说明理由；解：tan ∠PEF的值为2，不发生改变.理由如下：如答图1所示，过点F作FH⊥AD于H. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°. ∴四边形ABFH是矩形.∴FH＝AB＝2. 同(1)可证明△APE∽△HFP，∴＝＝＝2. ∴在Rt△PEF中，tan ∠PEF＝＝2.∴tan ∠PEF的值为2，不发生改变. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) ②从开始到停止，求线段EF的中点O经过的路径长. 解：如答图2，点O为EF的中点，则PO＝EF，BO＝EF，∴OP＝OB. ∴点O在线段PB的垂直平分线上，即O的运动轨迹为线段. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 如答图3，当点F点与C点重合时，点O在BC的中点O1处；当点E与点A重合时，点O在线段PB的中点O2处，∴整个运动过程中，线段EF的中点O运动轨迹即为线段O1O2.∵点O1为BC的中点，点O2为PB的中点，∴O1O2为△BPC的中位线. ∴O1O2＝PC＝，即线段EF的中点O经过的路径长为. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 类型二　瓜豆原理型类型分析：根据三角形全等或相似，证明动点轨迹与某定直线构成的角度恒不变，从而得到动点轨迹为一确定直线. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作Rt△DEF，且∠DFE＝30°，点E和点A位于DF的两侧.在点F从点A运动到点C的过程中，求点E运动的路径长. 2 解：如图，连接BD交AC于点O. ①当点F与点A重合时，如图. ∵在矩形ABCD中，∠DCA＝30°，OD＝OC， ∴∠BDC＝30°，∠DAF＝60°. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 在Rt△DE1A中，∠DAE1＝30°，∴∠DA＝2DE1，∠E1DA＝60°. ∵∠DFE＝30°，∴∠EDF＝60°，DF＝2DE. ∵∠EDF＝∠E1DA＝60°，∴∠EDF－∠E1DF＝∠E1DA－∠E1DF，即∠EDE1＝∠FDA. 如图，连接EE1. ∵＝＝，∴△EDE1∽△FDA. ∴∠DE1E＝∠DAF＝60°. ∵∠DE1E为定角，∴点E的运动轨迹为线段. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) ②当点F与C重合时，如图. ∵∠E2DC＝60°，∠E1DC＝30°，∴∠E1DE2＝90°. 由①知∠DE1E2＝60°，∴∠DE2E1＝30°.∴E1E2＝2DE1＝DA. ∵DA＝AB·tan 30°＝，∴E1E2＝. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 类型三　函数方法型类型分析：在直角坐标系中，通过设点法将动点的横纵坐标表示出来，进而求出动点的轨迹函数解析式为y＝kx＋b型，从而证明轨迹为直线. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) (原创)如图，已知点A(－2，0)，B(0，3)，点P为线段AB上一动点，连接OP，把线段PO绕点P顺时针旋转90°至PQ，Q是点O的对应点.当动点P从点B运动到点A时，判断动点Q的轨迹，并求动点Q所经过的路径长. 3 解：∵A(－2，0)，B(0，3)，设直线AB为y＝kx＋b. ∴解得∴lAB：y＝x＋3. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 设P，如图，过P作MN⊥y轴于点N，过Q作QM⊥x轴于点H交MN于点M，则∠QMP＝∠PNO＝90°. 由题知∠OPQ＝90°，OP＝OQ，∴∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＝∠3.∴△QMP≌△PNO. ∴QM＝PN＝－t，MP＝ON＝t＋3. ∴QH＝MH－QM＝t＋3－(－t)＝t＋3， OH＝PM＋PN＝t＋3－t＝t＋3. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) ∴Q.∴ 消去t，得5x＋y＝－12，即y＝－5x－12. ∴Q的轨迹为线段. 当P点在B点时，Q1(－3，3)；当P点在A点时，Q2(－2，－2).∴Q1Q2＝. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'.当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为___________；当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为__________. 4 120° 75° 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD.连接BD和AE，将AE绕点A逆时针旋转90°到AF，连接DF. (1)请判断线段BD和AF的位置关系并证明； 5 解：BD∥AF.证明如下：如答图1，延长BD交AE于点H. ∵将AE绕点A逆时针旋转90°到AF， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE(SAS). ∴BD＝AE＝AF，∠CBD＝∠CAE. ∵∠E＋∠CAE＝90°， ∴∠E＋∠CBD＝90°.∴∠BHA＝90°. ∴∠AHB＝90°.∴∠AHB＝∠EAF.∴BD∥AF. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) (2)如图2，连接EF，G为EF中点，AB＝2，当D从点C运动到点A的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长. 解：如答图2，连接AG，CG，过点G作GM⊥CE交CE延长线于点M，GN⊥AC于点N. ∵GM⊥CE，GN⊥AC， ∠ACM＝90°， ∴四边形CMGN是矩形. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) ∵AF＝AE，∠EAF＝90°，G为EF中点， ∴AG＝GE，AG⊥EF. ∵∠CAG＋∠ACM＋∠CEG＋∠AGE＝360°， ∴∠CAG＋∠CEG＝180°. ∵∠CEG＋∠GEM＝180°， ∴∠CAG＝∠GEM. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 又∵∠ANG＝∠GME＝90°， ∴△ANG≌△EMG(AAS). ∴NG＝GM.∴四边形CMGN是正方形. ∴CG平分∠ACE.∴点G在∠ACE的平分线上运动，∴当D从C运动到点A，点G所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半＝×AC＝·AB＝. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 　如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF，DE相交于点G. (1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； 6 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 证明：如答图1，连接DF，CE. ∵E为AB中点， ∴AF＝AE＝AB. ∴EF＝AB. ∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB. ∴EF＝CD. ∴四边形DFEC是平行四边形. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) (2)当CG＝2时，求AE的长；解：如答图2，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝2.∴∠CBH＝∠DAB＝ 60°.∴∠BCH＝30°.∴BH＝BC＝1. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 由勾股定理，得CH＝＝.∵CD∥AB，∴△CDG ∽△FEG.∴＝.∵CD＝CG＝2，∴EF＝FG.设AE＝x，则EF＝2x.∴FH＝3＋x，CF＝2＋2x.在Rt△CFH中，得CH2＋FH2＝CF2，∴＋(3＋x)2＝(2＋2x)2，解得x1＝，x2＝－2(不合题意，舍去).∴AE的长为. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) (3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度. 解：如答图3，连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝AD，∠DCB＝∠DAB＝60°.∴△ABD为等边三角形.同理可证：△BCD为等边三角形.∴BD＝AB＝BC.∵CD∥AB，∴△AFG∽△MCG，△AEG∽△MDG. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) ∴＝，＝.∴＝.∵AE＝AF，∴MC＝MD＝CD＝1. ∴BM⊥CD.由勾股定理，得BM＝＝，AM＝＝. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 当点E从A出发运动到点B时，点G始终在直线AM上运动，运动轨迹为线段，当点E与A重合时，点G与点A重合，当点E与B重合时，点G为BD与 AM 的交点N，∴点G运动路径的长度为线段AN的长.∵CD∥AB，∴＝.∴AN＝2MN.∴点G运动路径的长度为AN＝AM＝. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 　如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝6，点D在边BC的延长线上，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE，P为BE的中点. (1)求BC的长； 7 解：∵在等腰直角三角形ABC中，AC＝6， ∴BC＝AC＝6. 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 解：结论：AP＝PD，AP⊥PD. 证明：如答图1，连接CE，AP，PD. ∵将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE， ∴CD＝DE，∠CDE＝90°. ∴△CDE是等腰直角三角形. ∴∠DCE＝45°. (2)连接AP ，PD，请猜想AP与PD的数量和位置关系，并证明你的结论；答图1 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 又∵∠ACB＝45°， ∴A，C，E三点共线. ∵P为BE的中点，∠BAE＝BDE＝90°， ∴AP＝BE，PD＝PE. ∴AP＝PD. ∵∠BAE＝BDE＝90°， ∴A，B，E，D四点共圆. ∴∠APD＝2∠ABC＝90°.∴AP⊥PD. ∴AP＝PD，AP⊥PD. 答图1 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) (3)在(2)的条件下，若M为AC中点，连接MP，PC，求MP＋PC的最小值. 解：如答图2，过点A作AT⊥BC于点T. ∴∠ATD＝∠APD＝90°. ∴A，T，P，D四点共圆. ∴∠DTP＝∠DAP＝45°. ∴点P在射线TP上运动. ∵∠DTP＝∠ACB＝45°，∴TP∥AC. 答图2 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) 如答图2，作点M关于TP的对称点M'，连接CM'，当P点在CM'上时，PM＋PC＝PM'＋PC＝M'C，此时取得最小值， ∵△ATC是等腰直角三角形，M是AC的中点，AC＝6， ∴TM⊥AC，TM＝AC＝3，MC＝AC＝3. ∴MM'＝6. 在Rt△MM'C中，M'C＝＝＝3，即MP＋PC的最小值为3. 答图2 返回目录上一页下一页第22讲　动点轨迹1 (直线型) $第二轮专题突破第三板块　最值问题第19讲　胡不归综合运用典例分析巩固提高拔尖突破【名师解读】胡不归问题经常融合在各类问题中，转化成线段和问题后，还需要进一步掌握求线段、求坐标的技巧.主要方法有利用三角函数、等面积法、点到直线的距离公式、勾股定理及方程、解析几何法等，需要我们熟练运用各类方法继续求解. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用类型一　几何问题中的最值　如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，☉O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上. (1)试说明CE是☉O的切线； 1 解：如答图1，连接OC.∵CA＝CE，∠CAE＝30°， ∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.∴∠OCE＝90°. ∴OC⊥CE.又∵OC为半径，∴CE是☉O的切线. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 (2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示☉O的直径AB；解：如答图2，过点C作CH⊥AB于点H，连接OC.由题可得CH＝h，在Rt△OHC中，CH＝OC·sin ∠COH， ∴h＝OC·sin 60°＝OC， ∴OC＝＝h. ∴AB＝2OC＝h. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求☉O的直径AB的长. 解：如答图3，作OF平分∠AOC，交☉O于点F，连接AF，CF，DF，则 ∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝×(180°－60°)＝60°. ∵OA＝OF＝OC，∴△AOF，△COF是等边三角形， ∴AF＝AO＝OC＝FC. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 ∴四边形AOCF是菱形. ∴根据对称性可得DF＝DO，过点D作DH⊥OC于点H. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°. ∴DH＝DC·sin ∠DCH＝DC·sin 30°＝DC， ∴CD＋OD＝DH＋FD.根据两点之间线段最短，得当F，D，H三点共线时，DH＋FD(即CD＋OD)最小，此时FH＝OF·sin ∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，∴AB＝2OF＝8. ∴当CD＋OD的最小值为6时，☉O的直径AB的长为8. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用类型二　一次函数背景的最值如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2相交于y 轴上的点B，分别交x轴于A，C，且∠OBC＝30°.点E坐标为(5，0)，F为直线l1上一个动点，P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，求点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值. 2 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用解：在y＝x＋中，令x＝0，则y＝，∴B(0，). ∴OB＝.∵∠OBC＝30°， ∴OC＝OB·tan 30°＝×＝1， ∴C(1，0).在y＝x＋中，令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3.∴A(－3，0)， ∴OA＝3.∴tan ∠ABO＝＝＝. ∴∠ABO＝60°.∴∠ABC＝90°. ∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用如图，过点C'作C'K⊥y轴于K点， ∵∠KBC'＝∠CBO，∠C'KB＝∠COB，BC＝BC'，∴△C'KB≌△COB(AAS). ∴KB＝OB＝，KC'＝OC＝1. ∴C'(－1，2).连接C'E交l1于点F， ∵EF＋CF＝EF＋C'F≥C'E， ∴当C'，E，F三点共线时，EF＋CF的值最小为C'E的长. 设直线C'E的解析式为y＝k1x＋b1. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 ∵E(5，0)，C'(－1，2)，则　解得 ∴y＝－x＋. 联立解得∴F. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用作直线l3平分第二、第四象限，过点F作FQ⊥l3，交y轴于点P，交l3于点 Q，在Rt△PQO中，∠POQ＝45°，∴OP＝PQ. ∴PF＋OP＝PF＋PQ≥FQ. 当P，F，Q三点共线时，PF＋OP的值最小，过F作FG⊥x轴交l3于点G， ∴△FQG为等腰直角三角形.∴FQ＝FG. ∵l3的解析式为y＝－x，∴G(1，－1)，∴FG＝1＋， ∴FQ＝＋.∴PF＋OP的最小值为＋. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用类型三　二次函数背景的最值　如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B(0，－3)，若P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是_______. 3 4 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用如图，AC是☉O的直径，AC＝4，＝120°，点D是弦AB上的一个动点，则OD＋BD的最小值为______. 4 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用解：∵直线l1：y1＝kx＋b(k≠0)经过点A(－1，0)，B(2，3)， ∴　解得 ∴直线l1：y1＝x＋1. 　如图，已知直线l1：y1＝kx＋b(k≠0)经过点A(－1，0)，与另一条直线l2：y2＝nx－6n(n≠0)交于点B(2，3)，直线l2与x轴交于点C. (1)求直线l1的解析式，并写出y1＞y2＞0时，x的取值范围； 5 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 ∵点B在直线l2：y2＝nx－6n(n≠0)上，代入B(2，3)，得3＝2n－6n，解得n＝－. ∴直线l2：y2＝－x＋. 当y2＝0时，－x＋＝0，解得x＝6. ∴点C(6，0). ∴y1＞y2＞0时，x的取值范围为2＜x＜6. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 (2)若点D在直线AB上，且D的横坐标为－，过D作直线DQ，直线DQ交y 轴于点Q，且△DQB的面积为12，求点Q的坐标；返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用解：直线l1：y1＝x＋1与y轴的交点为E(0，1)，设Q(0，m).∴QE＝｜m－1｜. ∴S△QDB＝S△QDE＋S△BQE＝｜m－1｜×＋｜m－1｜×2＝｜m－1｜＝12，整理，得｜m－1｜＝，解得m＝或m＝－.∴点Q或. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 (3)点P为x轴上一个动点，连接BP，求CP＋BP的最小值. 解：如图，过点C作直线CM，使∠OCM＝30°，过点P作PF⊥CM，此时，PF＝PC， ∴CP＋BP＝PF＋BP，当B，P，F三点共线时，CP＋BP＝PF＋BP取最小值. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用如图，过点B作BH⊥x轴于点H. ∵点B(2，3)，∴BH＝3，OH＝2. ∵∠BPH＝∠CPF＝180°－90°－30°＝60°， BH⊥x轴，∴∠HBP＝90°－∠BPH＝30°. ∴BH＝PB·cos 30°＝3.∴PB＝＝＝2，HP＝BP＝×2＝. ∵点C(6，0)，∴HC＝6－2＝4，∴PC＝4－，∴PF＝2－. ∴＝ PF＋PB＝2－＋2＝2＋. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用如图，抛物线y＝－x2＋x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC，D是线段AB上一点，且AD＝AC，连接CD.P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC，PD，PQ，当△PCD面积最大时，求PQ＋CQ的最小值. 6 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用解：当y＝0时，－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－3，x2＝4. ∴A(－3，0)，B(4，0). ∵x＝0时，y＝4，∴C (0，4). 设OD＝a，则AD＝a＋3. 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，即(a＋3)2＝32＋42，解得a1＝2，a2＝－8.∴D(2，0). 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用如答图1，连接OP，设点P(m，n)， S△PCD＝S△PCO＋S△POD－S△COD ＝×m×4＋×2×n－×2×4 ＝2m＋n－4 ＝2m－m2＋m＋4－4 ＝－m2＋m ＝－＋. ∵a＝－＜0，0＜m＜4，∴m＝时，S△PCD有最大值，此时P；返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用如答图2，过点D作DH⊥CB，△DHB为等腰直角三角形，DB＝2. ∴DH＝BH＝. ∵BC＝4，∴CH＝3，∴CD＝2，∴sin ∠DCH＝＝＝. 如答图2，过点P作PG⊥CD交BC于Q， ∴sin ∠GCQ＝＝.∴GQ＝CQ，则PQ＋CQ＝PQ＋GQ＝PG. 易知直线CD解析式为y＝－2x＋4. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用设G(n，－2n＋4)，如答图3，作GM⊥CO，PN⊥GM，垂足分别为M，N，可知△CMG∽△GNP， ∴＝，∴＝，解得n＝. ∵△CDO∽△GPN，∴＝＝， ∴GP＝.∴PQ＋CQ的最小值为. 返回目录上一页下一页第19讲　胡不归综合运用 $ 第二轮专题突破第三板块　最值问题第21讲　二次函数最值问题典例分析重点巩固拔尖突破【名师解读】二次函数最值问题是中考的热门考点之一，我们要注意辨别“不限取值范围的顶点最值”和“一定取值范围内的最值”两种类型，利用数形结合分析最值情况，规范表达最值逻辑. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题已知二次函数y＝x2－ 2x － 3，画出二次函数图象的草图，当自变量x的取值范围不同内时，请求出该二次函数的最大、最小值对应的x值分别是多少. 1 x的取值范围 x取任意实数－1≤x≤2 2≤x≤4 图象返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 x的取值范围 x取任意实数－1≤x≤2 2≤x≤4 y最小值当x＝_______ 当x＝_______ 当x＝_______ y最大值 ______________ 当x＝_________ 当x＝_______ 1 1 2 无最大值－1 4 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题关于二次函数y＝－(x－1)2＋3的最值，说法正确的是( ) A.最小值为1 B.最大值为2 C.最大值为3 D.最大值为－1 变式2.1　关于二次函数y＝－x2＋2x＋2的最值，说法正确的是( ) A.最小值为1 B.最大值为2 C.最大值为3 D.最大值为－1 2 C C 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题变式2.2　关于二次函数y＝－x2＋2x＋2(2≤x≤3)的最值，说法正确的是( ) A.最小值为1 B.最大值为2 C.最大值为3 D.最大值为－1 B 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题某电商平台试销一种文艺用品，已知该用品进价为8元/件，试销发现：当销售单价定为10元时，每天可以销售300件；销售单价每提高1元，日销量将会减少15件.设该文艺用品的销售单价为x(x＞10，单位：元)，日销量为y(单位：件)，日销售利润为w(单位：元). (1)当定价为15元/件时，每天可以销售_________件； 3 225 (2)求y与x的函数关系式；解：y＝300－15(x－10)＝－15x＋450(10＜x＜30). 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (3)求销售单价x为何值时，日销售利润w最大，并求出最大利润. 解：w＝(x－8)y ＝(x－8)(－15x＋450) ＝－15x2＋570x－3 600 ＝－15(x－19)2＋1 815，其中10＜x＜30， ∵－15＜0，∴当x＝19时，w取得最大值，为1 815. 答：当售价为19元/件时，利润最大，为1 815元. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题如图，直线y＝x＋1与x轴，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2－2ax＋c过点A. (1)求出点A，B的坐标及c的值； 4 解：在y＝x＋1中，当x＝0时，y＝1.∴A(0，1). 当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－2.∴B(－2，0). 把A(0，1)代入y＝ax2－2ax＋c，得c＝1. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (2)若函数y＝ax2－2ax＋c在3≤x≤4时有最大值为a＋2，求a的值. 解：∵c＝1，∴y＝ax2－2ax＋1＝a(x－1)2＋1－a. ①当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y的值最大. 由题意，得9a＋1－a＝a＋2，解得a＝； ②当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，y的值最大. 由题意，得4a＋1－a＝a＋2，解得a＝(不合题意，舍去). 综上所述，a＝. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值为( ) A.2 B.2 C. D.＋1 5 D 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题如图，AB是☉O的直径，F是半圆上的一动点(F不与A，B重合)，弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点E. (1)求证：DE与☉O相切； 6 证明：如答图1，连接OD.∵OD＝OA， ∴∠1＝∠2. ∵AD平分∠BAE，∴∠1＝∠3.∴∠3＝∠2. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AF，∴OD⊥DE. 又∵OD是☉O的半径，∴DE与☉O相切. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (2)若AE＝8，AB＝10，求DE长；解：如答图2，连接BD.∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.∵∠1＝∠3，∴△AED∽△ADB，∴AD2＝AE·AB，∴AD2＝80.∴在Rt△ADE中，DE＝＝＝4. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (3)若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF·EF的最大值. 解：如答图3，连接DF，过点D作DG⊥AB于G.∵∠1＝∠3，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AED≌△AGD.∴AE＝AG，DE＝DG.又∵∠1＝∠3，∴＝，∴BD＝FD. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 ∴△EDF≌△GDB.∴EF＝BG，∴AB＝AG＋GB＝AE＋EF＝AF＋2EF，即x＋2y＝10.∴y＝－x＋5.∴AF·EF＝－x2＋5x＝－(x－5)2＋.∴当x＝5时，有最大值为.∴AF·EF的最大值为. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (2024·增城区一模)已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为( ) A.或4 B.－或－ C.－或4 D.－或4 7 D 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题已知抛物线G：y＝mx2－2mx－3有最低点. (1)求二次函数y＝mx2－2mx－3的最小值(用含m的式子表示)； 8 解：∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线有最低点， ∴二次函数y＝mx2－2mx－3的最小值为－m－3. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；解：∵抛物线G：y＝m(x－1)2－m－3， ∴平移后的抛物线G1：y＝m(x－1－m)2－m－3， ∴抛物线G1顶点坐标为(m＋1，－m－3). ∴x＝m＋1，y＝－m－3， ∴x＋y＝m＋1－m－3＝－2，返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题即x＋y＝－2，变形得y＝－x－2. ∵m＞0，m＝x－1， ∴x－1＞0，解得x＞1. ∴y与x的函数关系式为y＝－x－2(x＞1). 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 (3)记(2)所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题解：如图，函数H：y＝－x－2(x＞1)图象为射线， x＝1时，y＝－1－2＝－3；x＝2时，y＝－2－2＝－4， ∴函数H的图象恒过点B(2，－4). ∵抛物线G：y＝m(x－1)2－m－3， x＝1时，y＝－m－3；x＝2时，y＝m－m－3＝－3. ∴抛物线G恒过点A(2，－3)，由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA， ∴点P纵坐标的取值范围为－4＜yP＜－3. 返回目录上一页下一页第21讲　二次函数最值问题 $第二轮专题突破第三板块　最值问题第20讲　阿氏圆典例分析巩固提高拔尖突破【名师解读】阿氏圆问题是指动点P的轨迹为圆，已知两个定点A，B.求 PA＋kPB的最值问题，解决该问题的核心方法是通过构造相似三角形将系数不为1的线段转化为系数为1的线段进行求和. 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作☉C，分别交AC，BC于D，E两点，P是☉C上一个动点，则PA＋PB的最小值为多少？【思路分析】 (1)整体分析：通过构造相似三角形，将系数不为1的线段转化为系数为1的线段. 1 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆 (2)锁定母三角形：CP＝2，AC＝4，两者的比例为1∶2，与问题中PA＋PB的系数匹配，故目标三角形为______________. (3)构造子三角形：连接CP，在CA上取点Q，使得CQ＝_______时，CQ∶CP也为1∶2.从而构造出子母型相似三角形即______________ ∽______________. △CPA 1 △CQP △CPA 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆 (4)转化线段：有相似比，可得PA＝QP，所以PA＋PB ＝__________，从而将线段系数都化为了1. PQ＋PB 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆 (5)最值问题：当且仅当Q，P，B三点__________时，PA＋PB取得最小值，即求BQ的长. 解：取CD的中点Q， ∵CD＝2， ∴CQ＝DQ＝1. 如图，连接QP，CP，BQ， ∵＝，＝＝， ∴＝. 共线返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆又∠QCP＝∠PCA， ∴△CQP∽△CPA. ∴＝＝，∴QP＝PA. ∴PA＋PB＝QP＋PB≥BQ. 当Q，P，B三点共线时，QP＋PB取得最小值，且最小值为BQ， ∵∠QCB＝90°， ∴BQ＝＝＝. 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，☉B的半径为2，P是☉B上一动点，则PD＋PC的最小值为_______；PD＋4PC的最小值为_______；PD－PC的最大值为_______. 2 5 10 5 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆解：如图，在CB上取点D，使CD＝1，连接CP，DP，AD. ∵CD＝1，CP＝2，CB＝4， ∴＝＝. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，☉C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP.求： (1)AP＋BP的最小值； 3 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆又∵∠DCP＝∠PCB， ∴△DCP∽△PCB， ∴＝，即PD＝BP. ∴AP＋BP＝AP＋PD. ∴当A，P，D三点共线时，AP＋PD最小，最小值即为AD长. ∵在Rt△ACD中，AD＝＝＝， ∴AP＋BP的最小值为. 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆 (2)AP＋3BP的最小值. 解：∵AP＋3BP＝3，同(1)可得AP＋BP最小值为， ∴AP＋3BP的最小值为3×＝2. 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆解：如图，连接OP，在射线OA上截取AE＝6，连接EP. ∵C是OA的中点，∴OC＝OA＝OP. ∵在△OPC和△OEP中， ∴△OPC∽△OEP，∴＝，即EP＝2PC，如图，点A，B在☉O上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在☉O上.求2PC＋PD的最小值. 4 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆 ∴2PC＋PD＝PE＋PD. ∴当P，D，E三点共线时，PE＋PD最小，最小值即为DE的长，在Rt△OED中，DE＝＝＝4， ∴2PC＋PD 的最小值为4. 返回目录上一页下一页第20讲　阿氏圆 $第二轮专题突破第三板块　最值问题第23讲　构圆方法典例分析重点巩固拔尖突破【名师解读】初中数学的学习过程中，独立构图解析问题是学生重要的能力之一，其中构圆方法常在隐圆问题中出现，需要学生作出圆进行分析. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法如图，已知等边三角形ABC. (1)求作△ABC的外接圆☉O；(保留作图痕迹，不要求写作法) 1 解：如图，☉O即为所求作. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法 (2)求∠BOC的的度数. 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°. 又＝，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法　已知线段BC长为6，平面上有一动点A，且∠BAC＝60°恒成立，求点A的运动轨迹长度. 2 解：当点A在BC的上方时，点A的运动轨迹是如答图1所示的☉O中的. 过O作OD⊥BC，连接OB，OC. ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°. 答图1 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法 ∵OC，OB为半径， ∴OB＝OC.∴△OBC为等腰三角形. ∴∠OBC＝∠OCB＝×(180°－120°)＝30°. 在Rt△BOD中，∠BDO＝90°，∠OBD＝30°， BD＝BC＝×6＝3. ∴OB＝＝2. ∴＝＝. 答图1 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法当点A在BC的下方时，点A的运动轨迹是如答图2所示的☉O中的. 同理可得的弧长为＝. 综上所述，点A的运动轨迹长度是. 答图2 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法　已知点A(1，4)，B(4，1)，请问在x轴上是否存在点P，使得∠APB＝45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3 解：如图，作过点A作与y轴平行的直线，过点B作与x轴平行的直线，交于点Q. ∵A(1，4)，B(4，1)， ∴AQ＝3，BQ＝3. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法以点Q为圆心，作过点A，B的☉Q，交x轴于点P，P'.此时点PP'即为所求. 延长AQ交x轴于点R，连接QP，QP'，由题意，得QR＝1，QP＝QP'＝3， ∴PR＝P'R＝2. ∴P(1－2，0)，P'(1＋2，0). 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法不存在.理由如下：如图，构造∠AMB＝120°，以M为圆心，构造过A，B的圆M，则在优弧AB上的点P符合. ∠APB＝∠AMB＝60°，又∵A(1，3)，∴点A到x轴的距离为3. 已知点A(1，3)，点B(5，3)，请问在x轴上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法 ∵B(1，5)，∴AB＝4. 由∠AMB＝120°，得∠MAB＝30°，过点M作ME⊥AB于点E，∴AE＝AB＝2， ∴EM＝，AM＝. 过点M作y轴的平行线，交圆M于点F，则EF＝＋＝2＜3，此时圆M与x轴无交点， ∴P不在x轴上.∴没有满足条件的点P. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法解：如图，在AB下方构造等腰三角形AMB，且∠AMB＝120°，过点M作MN⊥x轴于点N，交AB于点K. 由A，B可知AB＝4，AB∥x轴. ∴MN⊥AB.又∠AMB＝120°，AM＝BM， ∴AK＝AB＝2，∠MAB＝30°. 　已知点A，点B，请问在x轴上是否存在点P，使得∠APB＝120°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 5 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法＝，MK＝AK·tan 30°＝. ∴MN＝.∴M(3，－). 以M为圆心，作过点A，B的☉M，交x轴于点P，P'，此时点P，P'即为所求. ∵PM＝AM＝，MN＝，∴PN＝P'N＝＝. 又ON＝3，∴P，P'. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°.点E在射线BC上运动(不与点B，点C重合)，△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF. (1)当∠BAF＝30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由； 6 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法解：AF＝AD，AF⊥AD.理由如下： ∵在菱形ABCD中，∠C＝120°， ∴∠BAD＝∠C＝120°，AB＝AD. ∵∠BAF＝30°，∴∠FAD＝120°－30°＝90°. ∴AF⊥AD. 由对折，得AB＝AF， ∴AF＝AD. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法 (2)若AB＝6＋6，☉O为△AEF的外接圆，设☉O的半径为r.求r的取值范围. 解：①如图，设△AEF的外接圆为☉O，连接AC交BD于H，连接OA，OE，OF，OC. ∵四边形ABCD为菱形，∠BCD＝120°， ∴AC⊥BD， ∠BCA＝60°，BA＝BC. ∴△ABC为等边三角形. ∴∠ABC＝∠AFE＝60°＝∠ACB. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法 ∴A，E，F，C共圆，∠AOE＝2∠AFE＝120°，O在BD上. ∵AO＝OE，∴∠AEO＝∠EAO＝30°. 如图，过O作OJ⊥AE于J. ∴AJ＝EJ，AO＝AJ. ∴AO＝AE. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法当AE⊥BC时，AE最小，则AO最小， ∵AB＝6＋6，∠ABC＝60°， ∴AE＝AB·sin 60°＝×＝3＋9. ∴AO＝＝3＋3. ∵点E不与B，C重合， ∴AE≥9＋3，且AE≠6＋6. ∴r的取值范围为r≥3＋3且r≠2＋6. 返回目录上一页下一页第23讲　构圆方法 $第二轮专题突破第三板块　最值问题第18讲　胡不归模型典例分析巩固提高拔尖突破【名师解读】胡不归问题是指动点P的轨迹为直线型，已知两个顶点A，B，求 PA＋kPB的最小值问题.它的解决主要是过构造直角三角形，利用三角函数将系数不为1的线段转化为系数为1的线段进行求解. 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型　阅读下列材料，并回答问题. “胡不归”小故事从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图所示)，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？……”.这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”. 1 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型假设小伙子从A地先走平路到点D的速度为4 km/h，再走砂砾地带到家(点B)的速度为2 km/h，AB＝12 km，∠BAD＝30°，则点D选在何处时，所用时间最短为多少小时？【方法分析】 (1)易得t＝＋，此时需要将，化为系数为1的线段；返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 (2)联想三角函数，在AC的下方构造一个Rt△ADE，且__________作斜边，∠DAE＝________°保持不变(即点E的轨迹在一条直线上)，即可得到sin________°·AD＝DE，即____________； (3)所以t＝＝__________________，当且仅当B，D，E三点共线且________________时，t取最小值为BE. AD 30 30 ＝DE (DE＋BD) BE⊥AE 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 (4)求出从点A走到家至少需要多少小时. 解：如图，∠DAE＝30°， ∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝60°. ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝30°. 由(3)得，tmin＝BE＝AB·cos ∠ABE＝9(h). 答：从点A走到家至少需要9 h. 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x与x轴的正半轴交于点A，B为抛物线的顶点，C为该抛物线对称轴上一点，则3BC＋5AC的最小值为________. 2 24 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型　如图，在△ABC中，AB＝AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_________. 3 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型　如图，在平面直角坐标系中，C为x轴正半轴上一点，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，求AP＋OP的最小值. 4 解：如图，连接AC交OB于点M，过点M作MH⊥OC于点H，过点A作AG⊥OC于点G，交OB于点P. ∵四边形ABCO是菱形，边长为5，OB＝4， ∴ AC⊥OB，OA＝AB＝BC＝CO＝5， OM＝MB＝OB＝2，AM＝MC＝AC. 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 ∴ AM＝MC＝＝＝.∴AC＝2. ∵ MH⊥OC，AC⊥OB， ∴ S△OMC＝OM·MC＝OC·MH， ∴ ×2×＝×5·MH，解得MH＝2. ∵ sin∠MOH＝＝＝＝，即PG＝OP. 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 ∴ AP＋OP＝AP＋PG.∴当A，P，G三点共线且AG⊥OC时，AP＋OP取最小值，最小值为AG的长， ∵菱形ABCO的面积＝OB·AC＝OC·AG， ∴ AG＝＝＝4， ∴ AP＋OP的最小值是4. 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED. (1)求证：四边形OCED是菱形； 5 证明：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴AC＝BD. ∵AC与BD交于点O，且△COD，△CED 关于CD 对称， ∴DO＝CO，DO＝DE，OC＝EC . ∴DO＝OC＝EC＝ED.∴ 四边形OCED 是菱形. 答图1 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 (2)连接AE，若AB＝6 cm，BC＝ cm. ①求sin ∠EAD的值；解：①如答图1，连接OE，直线OE分别交AB 于点F，交DC 于点G. ∵△COD关于CD的对称图形为△CED， ∴OE⊥DC.∵DC∥AB.∴OF⊥AB，EF∥AD. ∵在矩形ABCD中，G为DC的中点，且O为AC的中点， ∴OG为△CAD的中位线.∴OG＝GE＝. 答图1 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型同理，得F为AB的中点，OF＝，AF＝3， ∴AE＝＝＝. ∵∠EAD＝∠AEF，∴sin ∠EAD＝sin ∠AEF＝＝. 答图1 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 ②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间. 解：如答图1，过点P作PM⊥AB交AB于点M. ∴Q由O运动到P所需的时间为3 s. ∵由①，得AM＝AP， ∴点Q以1.5 cm/s的速度从P到A所需的时间等于以1 cm/s从M运动到A，答图1 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型即t＝tOP＋tPA＝＋＝OP＋MA. ∴Q由O运动到P所需的时间就是OP＋MA和最小. 答图1 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 ∵ 如答图2，当P运动到P1，即P1O∥AB 时，所用时间最短. ∴t＝OP＋MA＝3. ∵在Rt△AP1M1 中，设AM1＝2x，AP1＝3x， A＝A＋P1， ∴(3x)2＝(2x)2＋，解得x＝ . ∴AP＝.∴AP＝和Q走完全程所需时间为3 s. 答图2 返回目录上一页下一页第18讲　胡不归模型 $

2026年广东广州中考数学复习专题合集 最值问题

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