第二十五章 平行四边形（单元自测·提升卷）数学人教版五四制八年级下册

**基本信息** 本卷为八年级下册平行四边形单元能力提升卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查平行四边形及特殊四边形性质与判定，融入现实情境与动态几何，发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|外角和、特殊四边形性质、中位线应用|结合估测距离情境（第3题），基础概念与图形应用结合| |填空题|6/18|平行四边形判定、菱形面积、动点最值|五边形花环文化素材（第14题），开放性条件添加（第12题）| |解答题|9/72|折叠问题、动态几何、正方形判定|综合实践（第23题）与动态旋转探究（第25题），培养创新意识与推理能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十五章平行四边形能力提升（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 ⑤ 6 9 10 答案 B C D D B B C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.4 12.AB=CD(答案不唯一) 13.2 14.36°136度 15.30°/30度 161或2波子 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(6分) 【详解】(1)证明：由题意得：△ABC≌△DEF, .AC=DF,∠CAB=∠FDE, .AC∥DF, .四边形ACDF是平行四边形：3分 (2)解：四边形ACDF是菱形， .'CA=CD .∠CDA=∠CAD=30°， .AB=2BC=12 ∠CBA=60°， .∠CDA=∠BCD=30°， .BD=BC=6 .AD=AB+BD=18.6分 18.(6分) 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图所示，矩形ABCD即为所求. D 3分 (2)解：如图所示，菱形ACBD即为所求. D 6分 19.(6分) 【详解】(1)解：：∠ABC=80°， .∠ABE=180°-80°=100°， .BF平分∠ABE, ∴.∠ABF=∠EBF=50°， .BF∥CD .∠DCB=∠EBF=50°；3分 (2)解：CF平分∠BCD,BF平分∠ABE, &∠BCF=LDCF=5∠BCD,∠EBF=∠ABE 2 :∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=110°，∠D=120°， ∴.∠ABC+∠BCD=360°-110°-120°=130°， 即180°-∠ABE+2∠BCF=130°， '∠ABE=2∠EBF,∠EBF=∠F+∠BCF, .180°-2（∠F+∠BCF)+2∠BCF=130° .2∠F=50°， .∠F=25°.6分 20.(6分) 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：·AB∥DC, .CD∥BE, ..EB=DC, ∴四边形BCDE是平行四边形， .∠C=90°， .四边形BCDE是矩形；3分 (2)解：由(1)知，四边形BCDE是矩形， ∴.∠AED=∠BED=90°， CD∥AB, .∠CDB=∠ABD BD平分∠ADC, .∠ADB=∠CDB, ∴.∠ADB=∠ABD, .AD=AB=5. .AE=AB-BE=5-2=3 :DE=VD2-AE=S-3=46分 21.(8分) 【详解】(1)证明：：AB∥DC, ∴.∠CAB=∠DCA, AC平分∠DAB, ∴.∠CAB=∠DAC .∠DCA=∠DAC, ∴.CD=AD .AB=AD, .AB=CD, .AB∥CD ∴.四边形ABCD是平行四边形， 又.AD=AB, 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.平行四边形ABCD是菱形；4分 (2)解：，四边形ABCD是菱形，BD=2, 0A=OC OB=OD-2BD=1,BDLAC ∴.∠AOB=90° B=6 :.0C=0A=VAB2-0B=VW62-IP=5 .AC=20A=2√5 CE⊥AB, .∠AEC=90°， OA=OC, :0E=)4C=5.8分 2 22.(8分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD, .∴.∠ABC+∠BCD=180°， :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, :∠EBC=)∠ABC,∠ECB=∠BCD. 2 片<EC+∠EC8-∠4C+∠BCD)=0. .∠BEC=90° BF∥CE,CF∥BE,BF=CF, ∴四边形BECF是菱形， 又.∠BEC=90°， .菱形BECF是正方形. 即四边形BECF是正方形4分 (2)解：过点E作EG⊥AB,如图所示， 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G :四边形BECF是正方形， .∠EBC=45°， BE平分∠ABC, .∠GBE=∠EBC=45°， :EG⊥AB, ∴.∠GEB=∠GBE=45°， ..GB=GE, .∠AEB=75°， .∠AEG=∠AEB-∠GEB=75°-45°=30° ,在Rt△AGE中，设AG=x,AE=2AG=2x, GE=VAE2-AG2=(2x)-x=3x GB-GE-x 4B-AG+GB-x+x .AB=25, .x+V3x=25 :x=3-5 :GB=GE=53-5)=35-3 :BE=VGB+GE=V235-3)=36-3W2 :四边形BECF是正方形， 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF=BE=3V6-3√2 5分 23.(8分) 【详解】(I)解：：四边形ABCD是长方形， .BC=AD=3,AB=DC=4,∠C=∠D=90°， 由折叠可得，AB=AB'=4,B'P=BP, 在Rt△ADB中，DB'=VAB2-AD=42-32=万 :8C=DC-DB=4-7 4-√万 故答案为： 3分 (2)解：：四边形ABCD是长方形， :4C=vMD+DC=5+年=5∠B=90° 由折叠可得，AB=AB=4,B'P=BP,∠AB'P=∠B=90°， B'C=AC-AB'=1,∠PB'C=180°-∠AB'P=90°， 设B'P=BP=x,则PC=BC-BP=3-x, 在RtPCB'中，Bp+B'C2=PC,即+=(（3-x, 餐好子 4 PB的长为3.6分 (3)解：由折叠可得∠EAC=∠BAC, 四边形ABCD是长方形， .AB∥DC, .∠ECA=∠BAC, ∴.∠EAC=∠ECA, ∴.EA=EC, 设EA=EC=m,则DE=DC-EC=4-m, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在R△1DE中，AD+DE2=E,即3+(4-m=m 8,即EC=25 解得m 8’ .S.ACE -- 1、25 8 35 16 75 △ACE的面积为16.9分 24.(12分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠DCF=90°， ∴.∠CDF+∠DFC=90°， .AE⊥DF, .∠DGE=90°， ∴.∠CDF+∠AED=90°， .∠AED=∠DFC:4分 (2)证明：“四边形ABCD是正方形， AD=DC,AD∥BC,∠ADE=∠DCF=90°， AE=DF, ∴△ADE≌△DCF(HL) .DE=CF, 又CH=DE, ..CF=CH, 点H在BC的延长线上， ∠DCH=∠DCF=90°， .DC=DC, ∴.△DCF≌△DCH(SAS) .∠H=∠DFC, AD∥BC, ∠ADF=∠DFC, 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADF=∠H;8分 (3)解：如图，延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG, 四边形ABCD是菱形， AD=DC,AD∥BC, ∴.∠ADE=∠DCG ∴，△ADE≌△DCG(SAS) .∠DGC=∠AED=60°，DG=AE, AE DF, :.DG=DF, △DFG是等边三角形， :..FG=FC+CG=DF=11, ∴FC=11-CG=11-8=3, D 12分 25.(12分) 1 【详解】解：(1)当a=90,k=2时， 四边形ABCD和AB'CO'均为正方形，且O为AC的中点， 如图1，连接O'B,则O'B=O'C,∠OBE=∠O'CF=45°，∠BO'E+∠COE=∠COE+∠COF-90°， D O B C E B (图1) .∠BO'E=∠COF ABOE≌CO'F(ASA), 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BE=CF, BE+CE=BC, ..CF+CE BC: 故答案为：CF+CE=BC;4分 (2)如图2，过点0作OG‖AB,交BC于G, A D 四边形 和四边形 是形状、大小完全相同的菱形，且边长 (图2) ABCD A'B'C'O' 为8，a=60°， ∴AB=BC=CD=AD=AB'=B'C'=CO'=OA=8,∠B=∠D=∠B'=∠AO'C'=60° ∴△ABC、△ACD均为等边三角形， .∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°，AC=AB=8, :OG∥AB ∴∠CO'G=∠BAC=60°=∠O'CG. ∴△OCG是等边三角形， ..0'G=CG=0'C=k.AC=8k :∠E0'G+∠C0E=∠C0'E+∠C0F=60°， ∴.∠EO'G=∠CO'F .AOEG≌△OFC(ASA), :.EG=CF, CE+EG=CG .CE+CF=8k;8分 (3)连接BD交AC于O, ~四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,即∠BOC=90°， 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0c-4c-ac-4, 0B=VBC2-0C2=V82-42=43 00=V0B2-0B2=V72-(432=1 当点0在线段A0上时，如图2，过点0作OH⊥BC于H,则OC=O0+OC=1+4=5, B (图2) k=0℃5 由(2)知：CE+CF=8k, CE+CF-8x5-5 8 CF=7 5, CE=5-718 55: 当点0在线段OC上时，如图3， D B (图3) 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则0'C=0C-00'=4-1=3, k=0C-3 AC 8, 3 ..CE+CF=8x>=3 8 CE=3-78 55 188 综上所述，CE的长度为5或5，…12分 11/11………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十五章 平行四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 3．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 5．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 6．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 8．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（   ） A．4 B．5 C． D． 9．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，是的中点，，则的长为 ． 12．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 13．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 14．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则 ． 15．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则 ． 16．如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 18．（6分）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为一边，作一个周长为的矩形； (2)在图2中，以为对角线，作一个菱形，使其面积为4． 19．（6分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 20．（6分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．（8分）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 23．（8分）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 24．（12分）【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 25．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十五章 平行四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于，与边数无关，所以九边形的外角和为． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于， 九边形的外角和为． 故选：B． 2．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 3．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选D． 5．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 6．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为30， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴． 故选：B． 7．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接、，由矩形的性质可得，，，求出，得到，由勾股定理可得，由等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．关键是利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度，最后用面积法求出的长． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3，， ∴，，； ∵将沿直线翻折得， ∴，，， ∴； 在和中， ∴， ∴； 设，则，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得； 在中，． ∵，， ∴， 解得； 故选：B． 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，是的中点，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， 故答案为：4． 12．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法即可得结论． 【详解】解：添加， ∵， ∴四边形的一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形； 添加 ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形． 添加或， ∴， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形； 或， ∴， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 故答案为：或或或或或或或或或． 13．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质以及等角对等边； 根据平行四边形的性质得到，，从而得到，由角平分线的性质得到，进而推出，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，为其的一个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角， ∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 15．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则 ． 【答案】/度 【分析】过作于，得出，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理，求得，根据的最小值为，得到点在上，即可得出． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形，，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点在上时，可有的值最小，且最小值为， 此时， 故答案为：． 16．如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】1或2或 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：根据题意，可知：在正方形中，，点E是边的中点， ∴，，． 当时，设， ∴． ，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或2或 ． 故答案为：1或2或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质． （1）由题意得：，推出，得，即可求证； （2）由题意得，推出，得到，，推出，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（6分）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为一边，作一个周长为的矩形； (2)在图2中，以为对角线，作一个菱形，使其面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，菱形、矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形、矩形的性质是解题的关键． （1）由矩形的周长为，则两邻边之和为，根据勾股定理可得，所以矩形另一条直角边的长度为，由此作图即可； （2）根据菱形的面积等于对角线之积的一半，易求得菱形另一条对角线的长为2，由此作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，矩形即为所求． （2）解：如图所示，菱形即为所求． 19．（6分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形内角和外角，熟练掌握四边形的内角和是是解题的关键． （1）根据题意可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得； （2）根据角平分线的定义可得，，根据四边形内角和定理可得，结合三角形的外角等于不相邻的两个内角之和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（6分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，进而即可求证； （）利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（8分）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 23．（8分）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。 2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。 24．（12分）【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 25．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二十五章 平行四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 3．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 5．如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 6．如图，菱形的面积为30，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 8．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（   ） A．4 B．5 C． D． 9．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，是的中点，，则的长为 ． 12．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 13．如图，在中，是的平分线，，，则 ． 14．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则 ． 15．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则 ． 16．如图，在正方形中，，点F从点A出发，沿运动到点C，点E是边的中点，连接，，，当为等腰三角形时，的长为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（6分）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 18．（6分）如图是正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，以为一边，作一个周长为的矩形； (2)在图2中，以为对角线，作一个菱形，使其面积为4． 19．（6分）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F． (1)若，，求的度数； (2)已知四边形中，，，求的度数． 20．（6分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 21．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．（8分）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 23．（8分）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 24．（12分）【问题解决】 （1）如图，在矩形中，点，分别在边上，，垂足为点．求证：． 【拓展提升】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边上，，延长到点，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边上，，，，求的长． 25．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $