2025-2026学年苏科版八年级下学期第10章《分式》单元测试

**基本信息** 苏科八下分式单元卷，覆盖分式判断、方程求解、实际应用等核心知识点，难度梯度合理（容易-较易-适中-较难），适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|8|分式判断、基本性质、方程求解|基础巩固，如1题分式判断，7题行程问题初步| |填空题|8|最简分式、实际问题、方程解的情况|能力提升，如15题用分式解决实际问题| |解答题|9|混合运算、化简求值、经济问题|创新应用，24题结合经济问题考查分式方程与不等式，25题综合分式性质与一次函数|

分式单元测试 双向细目表 考查范围：苏科八下第10章 分式 题号 难度 知识点 一、单选题 1 较易 分式的判断 2 容易 利用分式的基本性质判断分式值的变化 3 较易 利用分式的基本性质判断分式值的变化 4 较易 解分式方程（化为一元一次） 5 适中 求使分式值为整数时未知数的整数值,平方差公式分解因式,完全平方公式分解因式,分式有意义的条件 6 适中 解分式方程（化为一元一次）,根据分式方程解的情况求值,求一元一次不等式的解集 7 适中 列分式方程,分式方程的行程问题 8 较难 因式分解的应用,分式加减乘除混合运算 二、填空题 9 容易 最简分式,按要求构造分式,分式有意义的条件 10 较易 最简公分母 11 适中 判断分式变形是否正确 12 容易 根据分式方程解的情况求值 13 适中 分式除法 14 适中 同分母分式加减法 15 适中 用分式解决实际问题 16 较难 根据分式方程解的情况求值,由不等式组解集的情况求参数 三、解答题 17 较易 分式加减乘除混合运算,分式除法 18 适中 解分式方程（化为一元一次） 19 适中 分式加减乘除混合运算,分式化简求值,解分式方程（化为一元一次） 20 适中 解分式方程（化为一元一次） 21 适中 分式的求值 22 适中 求使分式值为整数时未知数的整数值,同分母分式加减法,异分母分式加减法 23 适中 分式的求值 24 适中 解分式方程（化为一元一次）,分式方程的经济问题,用一元一次不等式解决实际问题 25 较难 利用分式的基本性质判断分式值的变化,其他问题(一次函数的实际应用),列代数式,用一元一次不等式解决实际问题 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科八下第10章《分式》单元测试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D A C C D A 1．A 【分析】根据分式定义：若都是整式，且中含有字母，则是分式，逐个判断：分式要求分母中含有字母，注意是常数不是字母． 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 分母是常数，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 综上，一共有个分式． 2．A 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 3．D 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 4．A 【分析】先观察分母的关系，对分母变形后确定最简公分母，给方程两边同乘最简公分母即可得到所求整式方程． 【详解】解：将原方程变形为， 将方程两边同时乘以最简公分母得． 5．C 【分析】先对分式分子分母因式分解，结合分式有意义的条件约分，再将分式变形，根据分式值为整数的条件，找出所有符合要求的整数即可． 【详解】解：对分子分母因式分解：，， ∵分式有意义要求分母不为， ∴，得且， 对原式约分变形：， 为整数，上式结果也为整数， 为整数，即是的整数约数，的所有整数约数为， 分别计算对应的值： ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，符合要求； ，不满足分式有意义，舍去； ，符合要求． 综上，符合条件的共有个． 6．A 【分析】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0． 先解分式方程，得到x关于k的表达式，根据解为正数且分母不为零，确定k的取值范围． 【详解】解：， ∴， 去分母得， 即， ∴， ∵原方程的解为正数， ∴，即，∴， 又∵分母不为零， ∴且， 即且， ∴，， ∴且， 故选：A． 7．D 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 【详解】解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 8．A 【分析】借助因式分解，换元，逆用幂的乘方，用作差法比较大小即可． 【详解】解：设，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 9．（答案不唯一） 【分析】根据最简分式的定义和分式有意义的条件，进行构造即可. 【详解】解：由题意，这样的分式可以为. 10． 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 11．②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 12． 2 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程的最简公分母为零的未知数的值，据此计算即可． 【详解】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 13． 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 14． 【分析】首先确定，然后依次化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 15.咖啡杯子中的牛奶与牛奶杯子中的咖啡数量相等. 【详解】解：通过设混合前体积为a、勺子容积为b，计算得： 咖啡杯子中的牛奶体积为； 牛奶杯子中的咖啡体积为. 两者体积相同，因此一样多. 16．5 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘得， 解得， 检验，时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： ， 整理得 ， 同乘得， ， 解得， 检验：时，，则是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19．(1)的值不能为0，理由见解析 (2)，；当时， 【分析】（1）分式Q的值不能为0，化简后令，得到方程无解即可； （2）P与R化简后，把分别代入计算得到结果，比较即可． 【详解】（1）解：． 令，无解， 所以的值不能为0． （2）解：． ． 当时，，， 所以． 20．(1) (2)小华的结论正确，理由见解析 【分析】（1）把代入方程，两边同乘，化为整式方程求解，然后检验即可； （2）把代入方程，两边同乘，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：当时，方程为． 两边同乘，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的解． （2）解：小华的结论正确．当时，方程变为， 两边同乘得， 解得． 检验，当时，， ∴是增根， ∴原分式方程无解． 21．(1) (2) 【分析】（1）先对已知等式进行变形，然后通过等式两边同时除以来求解的值； （2）对分子分母同时除以，最后整体代入的值以及，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可得， ∴， ； （2）解： ， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． 22．(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2) (3)5 【分析】（1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，整理可得：的表达式； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 不是的“和谐式”； （2）解：∵是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ∵，， ， ， ； （3）解：∵， ∴ ， ∵是的“和谐式”， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴关于的“和谐值”是5． 23．(1)分式的基本性质 (2)过程见解析 (3) 【分析】（1）方法1使用了通分和约分运算，依据是分式的基本性质； （2）先分子分母同除以，再将整体代入即可； （3）仿照“方法2”进行计算即可． 【详解】（1）解：分式的基本性质； （2）解：； （3）解：． 24．(1)单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】（1）根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出现在单枪和双枪新能源充电桩的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，列分式方程可得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个） 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 根据题意，得 解得 ∵a为整数， ∴a的最小值为4， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 25．(1)①；② (2) (3)200， (4)该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． （2）解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． （4）解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科八下第10章《分式》单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．在式子中，分式的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 3．分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 5．若m为整数，则能使也为整数的有（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 6．关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（改编）若，，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（原创）请写出一个分式使它满足：①含有字母；②当时该分式的值为0；③最简分式；④取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是_______（只写一个）． 10．分式，，的最简公分母是____________． 11．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 12．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 13．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 14．（改编）对于正数，规定，例如，．则_______ 15.（原创）小丽购买了两杯相同体积的咖啡和牛奶.小丽先从盛咖啡的杯子中盛出一勺咖啡，加入盛牛奶的杯子中搅拌均匀；再从盛牛奶的杯子中盛出均匀混合的咖啡和牛奶，加入盛咖啡的杯子中.现在两个杯子中都有了咖啡和牛奶.请问：到底是咖啡杯子中的牛奶多，还是牛奶杯子中的咖啡多呢？___________． 16．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）化简． (1)；(2) 18．（6分）解分式方程： (1)；(2)． 19．（8分）已知分式，， (1)分式的值能否为0？若能，求出的值；若不能，请通过化简分式，说明理由． (2)请化简分式和，且当时，比较分式与的大小． 20．（8分）已知关于的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解． (2)小华认为时，原分式方程无解．你认为小华的结论正确吗？请判断并说明理由． 21．（6分）已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 22．（8分）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． (3)已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 23．（8分）如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题． 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果． 题目：已知，求的值． 方法1：由，得，所以． 代入所求分式： 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以…… (1)“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是________________________． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若，（、都不为）请直接写出的值． 24．（10分） 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 25．（12分）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $