第六章 变量之间的关系 章节（7知识详解+3典例分析）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学单元复习讲义通过“7个知识点详解+表格归纳”系统构建变量关系知识体系，涵盖常量与变量、自变量因变量及表格、关系式、图象三种表示方法，用对应表呈现图象形状与变化趋势的关联，清晰梳理重难点内在逻辑。 讲义亮点在于生活情境化例题设计，如用烤鸭烤制时间表、汽车耗油数据等培养抽象能力，通过弹簧长度关系式、齿轮转动模型发展模型意识，结合节气白昼时长图象提升数据意识。分层例题适配不同学生，助力自主复习，为教师精准教学提供扎实支持。

第六章 变量之间的关系 章节（7知识详解+3典例分析） 【知识点01】常量与变量 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 说明：(1)“常量”是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v就是一个常量. (2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，也可能是变量. 如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量. 【知识点02】自变量和因变量 1. 自变量和因变量 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量. 2. 自变量与因变量的联系与区别 (1)联系：二者都是某一个变化过程中的变量，因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化. (2)区别：自变量是在一定范围内发生变化或主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量. 【知识点03】用表格表示变量间的关系 1. 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 2. 用表格表示两个变量之间关系的步骤 (1)确定各行、各列的栏目(一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量)； (2)写出栏目名称并根据问题内容写上单位； (3)在第一行列出自变量的各个变化取值，在第二行对应列出因变量的各个变化取值. 一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量随自变量变化的趋势. 【知识点04】用关系式表示两个变量之间的关系 1. 两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法. 2. 关系式的基本特征 关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，通常把表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边. 【知识点05】根据关系式求变量的值 利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以根据因变量的值求出相应的自变量的值. 【知识点06】用图象表示两个变量之间的关系 1. 图象是表示两个变量之间关系的又一种方法. 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)表示因变量. 2. 利用图象可以判断变量的变化趋势. 图象(或其局部)的呈现形状 变化趋势 “/”“    ”“    ”或“ ”等 因变量随自变量的增大而增大 “ \  ”“    ”“    ”或“  ”等 因变量随自变量的增大而减小 “   ”“∧”等 因变量先随自变量的增大而增大，后随自变量的增大而减小 “    ”“∨”等 因变量先随自变量的增大而减小，后随自变量的增大而增大 【知识点07】用图象表示行程问题中变量之间的关系 1. 行程问题中，根据速度与时间之间的关系图象解决问题时，关键是正确理解图象中各段的意义. 根据如图6.4-2的速度与时间之间的关系图象， 可以得到如下信息： (1)横轴表示时间，纵轴表示速度； (2)线段OA从左到右是上升的，表示速度在 增加，即物体从0(点O处)开始加速运动； (3)线段AB是水平的，表示物体匀速运动； (4)线段BC从左到右是下降的，表示速度在减小，即物体减速运动，直到速度为0. 2. 根据如图6.4-3 的离起点的距离与时间的关系图象，可以得到如下信息：(1)横轴表示时间，纵轴 表示离起点的距离；(2)线段OA从左到右 是上升的，表示物体离起点越来越远，且 是匀速运动；(3)线段AB是水平的，表示 物体离起点的距离不变，即物体静止；(4)线段BC表示物体离起点越来越近，直到回到起点，且是匀速运动. 【题型一】用表格表示变量间的关系 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 2．（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 5．（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 _______ ，因变量是 _______ ． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 8．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多长？不挂物体呢？ (3)若所挂物体质量为时（在弹簧的允许范围内），说出此时弹簧的长度？ 9．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【题型二】用关系式表示变量间的关系 10．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23七年级下·贵州·期中）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积 12．某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.8厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为____________ (). 14．（22-23七年级下·贵州·期中）如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 15．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． (2)某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 17．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 18．（25-26七年级下·吉林长春·月考）数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 … 10 12 14 16 … (1)当时，______； (2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示） (3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释） 【题型三】用图象表示变量间的关系 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 20．（24-25七年级下·全国·周测）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 21．（23-24七年级下·海南海口·月考）小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 23．（24-25七年级下·河南开封·期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 24．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 25．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 26．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 27．（24-25七年级下·广东深圳·期末）为确保首届“深圳市坪山区环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，充分展示坪山魅力，我区串联坪山核心地标，展现“创新坪山、未来之城”的城市形象、自然生态与人文底蕴，制定了详尽的比赛方案．你作为坪山区志愿者团队一员，也参与了活动组织与策划． 此类比赛一般分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始1小时后发车，以固定速度行驶，在比赛结束时行驶了7个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ． （2）某选手速度为时，收容车需在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和）． （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为 时，选手刚好能和2小时20分的赛会纪录持平． 28．（24-25七年级下·河南郑州·期末）刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 变量之间的关系 章节（7知识详解+3典例分析） 【知识点01】常量与变量 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 说明：(1)“常量”是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v就是一个常量. (2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，也可能是变量. 如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量. 【知识点02】自变量和因变量 1. 自变量和因变量 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量. 2. 自变量与因变量的联系与区别 (1)联系：二者都是某一个变化过程中的变量，因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化. (2)区别：自变量是在一定范围内发生变化或主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量. 【知识点03】用表格表示变量间的关系 1. 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 2. 用表格表示两个变量之间关系的步骤 (1)确定各行、各列的栏目(一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量)； (2)写出栏目名称并根据问题内容写上单位； (3)在第一行列出自变量的各个变化取值，在第二行对应列出因变量的各个变化取值. 一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量随自变量变化的趋势. 【知识点04】用关系式表示两个变量之间的关系 1. 两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法. 2. 关系式的基本特征 关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，通常把表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边. 【知识点05】根据关系式求变量的值 利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以根据因变量的值求出相应的自变量的值. 【知识点06】用图象表示两个变量之间的关系 1. 图象是表示两个变量之间关系的又一种方法. 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)表示因变量. 2. 利用图象可以判断变量的变化趋势. 图象(或其局部)的呈现形状 变化趋势 “/”“    ”“    ”或“ ”等 因变量随自变量的增大而增大 “ \  ”“    ”“    ”或“  ”等 因变量随自变量的增大而减小 “   ”“∧”等 因变量先随自变量的增大而增大，后随自变量的增大而减小 “    ”“∨”等 因变量先随自变量的增大而减小，后随自变量的增大而增大 【知识点07】用图象表示行程问题中变量之间的关系 1. 行程问题中，根据速度与时间之间的关系图象解决问题时，关键是正确理解图象中各段的意义. 根据如图6.4-2的速度与时间之间的关系图象， 可以得到如下信息： (1)横轴表示时间，纵轴表示速度； (2)线段OA从左到右是上升的，表示速度在 增加，即物体从0(点O处)开始加速运动； (3)线段AB是水平的，表示物体匀速运动； (4)线段BC从左到右是下降的，表示速度在减小，即物体减速运动，直到速度为0. 2. 根据如图6.4-3 的离起点的距离与时间的关系图象，可以得到如下信息：(1)横轴表示时间，纵轴 表示离起点的距离；(2)线段OA从左到右 是上升的，表示物体离起点越来越远，且 是匀速运动；(3)线段AB是水平的，表示 物体离起点的距离不变，即物体静止；(4)线段BC表示物体离起点越来越近，直到回到起点，且是匀速运动. 【题型一】用表格表示变量间的关系 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【详解】解：由表格得，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分， ∴当时，的值为． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】需先明确常量的定义，再判断购物小票中各量是否固定不变，从而选出常量对应的选项． 【详解】解：常量是在变化过程中固定不变的量： A、金额随购买数量变化，是变量，不符合题意； B、单价是每瓶矿泉水的固定价格，是常量，符合题意； C、数量是购买的瓶数，可随购买需求变化，是变量，不符合题意； D、金额是变量，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了常量的概念，掌握常量是在变化过程中固定不变的量是解题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 【答案】 50 100 38 【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了从表格数据中提取信息及行程耗油量的计算，掌握利用初始数据确定总量，通过单位路程耗油量计算剩余油量是解题的关键． （1）从表格初始数据确定油箱容量； （2）通过表格直接匹配行驶路程与剩余油量的对应关系，再计算单位路程耗油量，进而求出指定行驶路程的剩余油量． 【详解】解：（1）当行驶路程时，油箱处于加满状态，此时剩余油量为，故该轿车油箱的容量为． 故答案为：. （2）由表格可知，行驶时，油箱剩余油量为，每行驶，油量减少， 所以行驶时，油箱剩余油量为． 故答案为：，． 5．（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 _______ ，因变量是 _______ ． 【答案】 t s 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 【答案】 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可知，时间每增加，水位的高度增加，据此求解即可． 【详解】解：由表格可知，时间每增加，水位的高度增加， ∴当h为时，对应的时间t为， 故答案为：20． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【答案】(1)降价金额x，日销量y (2)45 (3)165盒 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键； （1）根据函数的定义“在变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量”进行求解即可； （2）根据表格可直接进行求解； （3）根据（2）及题意可列式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y； 故答案为降价金额x，日销量y； （2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）； 故答案为45； （3）解：由题意得：（盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 8．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表两个变量哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体质量为时，弹簧的长度为多长？不挂物体呢？ (3)若所挂物体质量为时（在弹簧的允许范围内），说出此时弹簧的长度？ 【答案】(1)所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)物体质量为时，弹簧长，不挂重物时长 (3)此时弹簧的长度为 【知识点】用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念 【分析】本题考查函数的表示方法，自变量与因变量的关系． （1）由题意可直接得出，弹簧的长度与所挂物体质量，所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）由表数据可直接得出； （3）通过观察表格，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加可得结论． 【详解】（1）解：由表可得，弹簧的长度与所挂物体质量，所挂物体质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：由表直接可得，物体质量为时，弹簧长，不挂重物时长； （3）解：通过观察表格，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加， 则所挂重物为时，长度为． 答：此时弹簧的长度为． 9．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【答案】(1)每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入 (2)每周需要有900人次乘坐该路公交车 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键： （1）直接根据表格进行作答即可； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化， 故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：每周需要有900人次乘坐该路公交车． 【题型二】用关系式表示变量间的关系 10．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据已知表示出买件礼盒超过100元部分的应付款，然后加上100元，即可得到总应付款，据此列式解答． 【详解】解：∵凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒件， ∴方方应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是：． 11．（22-23七年级下·贵州·期中）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：由题可知，当旋转时，的长度不变，则为常量． 12．某齿轮每分钟转120转，如果n表示总转数，t表示转动时间（分钟），那么n与t的关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据“总转数=每分钟转数×转动时间”，找出n与t的等量关系即可得到结果． 【详解】解：∵齿轮每分钟转120转，n表示总转数，t表示转动时间（单位：分钟）， ∴总转数=每分钟转数×转动时间， 即． 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）一根弹簧原长13厘米，挂物体质量不得超过16千克，并且每挂1千克就伸长0.8厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为____________ (). 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．先得到千克重物在原来基础上增加的长度，再加上原来长度即可得到函数关系式． 【详解】解：每挂1千克重物伸长0.8厘米， 挂千克重物伸长厘米，则挂物体（千克）与弹簧长度（厘米）的函数关系式是（）． 故答案为：． 14．（22-23七年级下·贵州·期中）如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】因为点速度为，运动时间为秒，所以可得出的长度表达式，再结合三角形面积公式，即可推导出关系式．因为点P从B运动到C停止，所以需要确定x的取值范围，从而完善关系式． 【详解】解：∵点速度为，运动时间为秒， ∴； ∵点从运动到停止，， ∴，即． ∵ ， ∴与的关系式为． 15．李奶奶要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式为__________． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，则，即可作答． 【详解】解：∵用篱笆围成的另外三边总长度恰好为36米，设边的长为米，边的长为米， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． (2)某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 【答案】(1)常量：6；自变量：t；因变量：n． (2)常量：0.58；自变量：x；因变量：y 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量、自变量与因变量的概念，掌握常量是固定不变的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． （1）（2）根据常量、自变量、因变量的定义，分别判断每个关系式中对应的量． 【详解】（1）解：在关系式中： ∵是固定不变的量， ∴常量是； ∵时间是主动变化的量， ∴自变量是； ∵旋转的角度随时间的变化而变化， ∴因变量是． （2）解：在关系式中： ∵是固定不变的电价， ∴常量是 ； ∵用电量是主动变化的量， ∴自变量是； ∵应交电费随用电量的变化而变化， ∴因变量是． 17．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 【详解】（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 18．（25-26七年级下·吉林长春·月考）数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 … 10 12 14 16 … (1)当时，______； (2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示） (3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释） 【答案】(1)18 (2) (3)不可能，理由见解析 【知识点】用关系式表示变量间的关系、其他问题(一元一次方程的应用)、用表格表示变量间的关系 【分析】（1）由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米，据此求解； （2）由（1）求出一个碗的高度，然后表示出y即可； （3）将代入列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米， ∴当时，； （2）解：由（1）得，增加一个碗的高度为 ∴； （3）解：不可能，理由如下： 当时，得：， 解得：，不是整数 ∴y的值不可能是35厘米． 【题型三】用图象表示变量间的关系 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 20．（24-25七年级下·全国·周测）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了变量、自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据变量、自变量、因变量的定义，判断三角形个数与火柴棒根数的变化关系，逐一验证选项的正确性． 【详解】解：变量是变化的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量：三角形个数和火柴棒根数都在变化，故都是变量，故选项A正确； 是主动变化的三角形个数，是自变量； 随的变化而变化，是因变量，故选项B、D正确，选项C错误． 故选：C． 21．（23-24七年级下·海南海口·月考）小颖站在离家不远的公交车站等车，下列各图中能够最好地刻画等车这段时间小颖离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，根据小颖在等车这段时间，离家距离不随时间的变化而变化即可得解． 【详解】解：∵小颖站在离家不远的公共车站等车， ∴这段时间离家距离不随时间的变化而变化， 故选：A． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【答案】 时间 喷出水的高度 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 【详解】解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 23．（24-25七年级下·河南开封·期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 【答案】 100 甲 8 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； （2）根据函数图象的横坐标，谁用时短谁跑得快，可得答案； （3）根据“速度路程时间”，即乙的路程除以乙的时间，可得答案． 【详解】解：（1）由纵坐标看出，这是一次100米赛跑； 故答案为：100； （2）由横坐标看出，甲的用时短，先到达终点的是甲； 故答案为：甲； （3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒， 乙在这次赛跑中的速度为（米/秒）， 故答案为：8． 24．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【答案】 D B A C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 25．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 【详解】（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 26．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 27．（24-25七年级下·广东深圳·期末）为确保首届“深圳市坪山区环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，充分展示坪山魅力，我区串联坪山核心地标，展现“创新坪山、未来之城”的城市形象、自然生态与人文底蕴，制定了详尽的比赛方案．你作为坪山区志愿者团队一员，也参与了活动组织与策划． 此类比赛一般分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始1小时后发车，以固定速度行驶，在比赛结束时行驶了7个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ． （2）某选手速度为时，收容车需在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和）． （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为 时，选手刚好能和2小时20分的赛会纪录持平． 【答案】收容车调度模型：（1）；（2）； 精英组冲奖分析：（1）（2）． 【知识点】用图象表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用中的行程问题，用关系式表示变量间的关系，通过条件或图象获取信息，列出方程或算式进行求解是解题的关系． 收容车调度模型： （1）根据路程、时间、速度关系求出速度与关系式； （2）追及过程中路程相等，可列方程，求出追上时间进而求出收容车需在距起点多远处接走他； 精英组冲奖分析： （1）分段计算时间（不同速度对应不同路段），然后相加计算即可； （2）求出最后所用时间，利用路程除以时间求出冲刺速度，注意单位一致． 【详解】解：收容车调度模型 （1） 由题意得，赛程，行驶小时，速度， 关系式 ， 故答案为：；； （2）解：设收容车行驶时间为th时接走了该选手，则该选手骑行了， 由题意得 ， 解得 ， 则 ， 答：收容车需在距起点 处接走选手； 【精英组冲奖分析】（1）由题意得， ； 答：骑行所需时间； （2）骑行前所用时间为，赛会记录为2小时20分小时， ， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·河南郑州·期末）刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)图象中的自变量是________，因变量是________； (2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点； (3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟； (4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米； (5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米． 【答案】(1)时间x，路程y (2)1200，乙 (3)320 (4)1008 (5)3.7或4.7或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键． （1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可； （2）结合图象，进行作答即可； （3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可； （4）设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解． （5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答． 【详解】（1）解：由图象可知，自变量是时间，因变量是路程， 即自变量是时间，因变量是路程； （2）解：由图象可知：这次龙舟的全程是1200米，乙到达终点共用了分钟，甲到达终点共用了5分钟， ∵ 乙队先到达终点； （3）解：由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是： （米分钟）； （4）解：由图象可知，甲的速度为：（米分钟）， 设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：， 解得：， 甲队走了：（米． （5）解：如图： 由（4）知道相遇时间为分钟 设时间为分钟，甲乙两队相距40米， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴当乙停船检查时，两船相距：（米）， ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； ∴当时，此时乙的速度为（米分钟）， ∵甲的速度为：（米分钟）， ∴ ∴； ∵当时，乙船停止运动， 甲的速度为：（米分钟）， ∴， ∴； 综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过3.7或4.7或 分钟时，甲乙两队相距40米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $