精品解析：2026年河南省鹤壁市九年级中考一模数学试题

2026年初中学业水平调研暨中考模拟测试 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 鹤壁市坚持“项目为王”，年实施重点项目“”工程，安排基础设施项目个、产业项目个、总投资达亿元．将亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 某校开展“非遗文化进校园”知识测试，抽取名学生的成绩（单位：分）如下：，，，，，，，，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围为______． 12. 已知一次函数，当时，的值可以是______．（写出一个合理的值即可） 13. 有五张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，0，2，，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为______． 14. 如图，在矩形中，，，以为圆心，分别以，的长为半径画弧，与、分别交于点、，则图中阴影部分的面积为____________． 15. 如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某班级拟开展“传承鹤壁本土文化”主题班会活动，现从“浚县泥咕咕”“淇河诗经文化”“浚县正月古庙会”“鹤壁窑古瓷”“鬼谷子传说”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共______人参与，其中“浚县泥咕咕”所占百分比为______，并补全条形统计图； （2）为确定班会主题，从该班选择7名学生代表为“淇河诗经文化”和“鬼谷子传说”打分，分数列表如下： 淇河诗经文化 10 9 9 3 6 9 10 鬼谷子传说 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 淇河诗经文化 9 鬼谷子传说 8 8 求表中的数据：______，______，______； （3）结合上述信息，班会课应该选择哪个鹤壁本土文化主题？并说明理由． 18. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 19. 某体育用品店为支持学校开展“阳光体育”活动，计划同时购进篮球和足球两类体育用品，已知购进3个篮球和4个足球共需380元；购进6个篮球和2个足球共需460元． （1）每个篮球和每个足球的进价各是多少元？ （2）该体育用品店计划恰好用3600元全部购进这两类用品，设购进篮球个，足球个． ①求关于的关系式； ②进货时，篮球的购进数量不少于20个，已知每个篮球的售价为90元，每个足球的售价为80元．若体育用品店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明：应该如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 21. 长嘴壶茶艺是我国非物质文化遗产，以行云流水的技法展现传统茶文化魅力．如图①是某款长嘴壶的抽象示意图，水平桌面抽象为直线．已知壶身，且，，，且．壶嘴长，． （参考数据：，，，，，） （1）求所在直线与水平桌面的夹角度数． （2）如图②，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点转动壶身，当恰好倒出茶水时，，求此时点下落的高度．（结果保留一位小数） 22. 已知中，为直径，、分别切于点、． （1）如图①．若，求的大小． （2）如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 23. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平调研暨中考模拟测试 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用零指数幂的运算法则计算出给定表达式的值，再根据相反数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵ 任何非零数的次幂等于， ， ， 又∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是． 2. 鹤壁市坚持“项目为王”，年实施重点项目“”工程，安排基础设施项目个、产业项目个、总投资达亿元．将亿元用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】先将亿元单位换算为元，再根据科学记数法的要求写出正确形式，科学记数法表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：亿元元， 亿元元， 调整满足，得． 3. 平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标符号特点可得，再解不等式组，在数轴上表示出a的取值范围即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 在数轴上可表示为． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、完全平方公式，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及字母的指数不变， ∴，A错误． 选项B：∵与不是同类项，不能合并， ∴，B错误． 选项C：∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，且， ∴，C正确． 选项D：∵根据完全平方公式，， ∴，D错误． 5. 《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系表示出甲、乙两人的用时，注意统一单位，再根据时间差列出方程即可． 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 6. 如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，解不等式得到的取值范围，再结合选项选出符合条件的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，其中，，常数项为， 代入得：， 整理得， 解得， ∵选项中只有， ∴的值可以是． 8. 某校开展“非遗文化进校园”知识测试，抽取名学生的成绩（单位：分）如下：，，，，，，，，则这组数据的平均数、众数、中位数分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】只需先对数据排序，再根据定义分别计算三个统计量即可得到结果． 【详解】将这组数据从小到大排序得：，，，，，，，， 数据总和为，共有个数据， 平均数为； 在这组数据中出现次数最多(共次)， 众数为； 数据个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第个和第个数据的平均数， 中位数为； 因此这组数据的平均数，众数，中位数分别是，，． 9. 鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，首先确定，结合菱形的性质以及旋转的性质，确定旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上；连接，过点作轴于点E，易得，，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，的长度，结合点在第三象限即可确定其坐标；根据图像变化规律可知第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点在x轴上， ∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上， 连接，过点作轴于点E，如图，则， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 又∵， ∴第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同， ∴． 10. 规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给出的规定公式，逐一化简每个结论，即可判断出正确结论的个数． 【详解】解：① 由规定， 可得，故①正确； ② ， 根据， 可得，故②正确； ③ ， 根据，以及，， 可得： ，故③正确； ④ ， 根据， 代入得： ，故④正确； 综上，四个结论都正确，正确结论个数为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式被开方数的非负性列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：有意义， 被开方数满足非负性， 即， 解得． 12. 已知一次函数，当时，的值可以是______．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性结合的取值范围，得到的取值范围，即可写出符合要求的解． 【详解】解：在一次函数中，，随的增大而减小， 当时，， 时，， 的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 有五张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，0，2，，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出数字之和为正数的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表得出所有等可能结果如下： 0 2 0 2 由表可知，共有20种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有12种， ∴两张卡片上的数字之和为正数的概率为． 14. 如图，在矩形中，，，以为圆心，分别以，的长为半径画弧，与、分别交于点、，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，勾股定理等，掌握相关的性质是解题的关键． 连接，交弧于点，由勾股定理先求出的长度，得到，然后分别求出，，，即可． 【详解】解：如图，连接，交弧于点， 由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 15. 如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按运算顺序分别计算负整数指数幂、立方根和绝对值，再将结果进行加减运算，得出答案； （2）先对括号内通分相减，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最终化简得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某班级拟开展“传承鹤壁本土文化”主题班会活动，现从“浚县泥咕咕”“淇河诗经文化”“浚县正月古庙会”“鹤壁窑古瓷”“鬼谷子传说”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共______人参与，其中“浚县泥咕咕”所占百分比为______，并补全条形统计图； （2）为确定班会主题，从该班选择7名学生代表为“淇河诗经文化”和“鬼谷子传说”打分，分数列表如下： 淇河诗经文化 10 9 9 3 6 9 10 鬼谷子传说 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 淇河诗经文化 9 鬼谷子传说 8 8 求表中的数据：______，______，______； （3）结合上述信息，班会课应该选择哪个鹤壁本土文化主题？并说明理由． 【答案】（1）50，；图见解析 （2）8，9，8 （3）班会课应选择“淇河诗经文化”作为主题，见解析 【解析】 【分析】（1）由“浚县正月古庙会”的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出“浚县泥咕咕”的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图； （2）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解； （3）可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 【小问1详解】 解：本次投票人数为：（人）， “浚县泥咕咕”的人数为：（人）， ∴占比为：， 补全条形统计图为： 【小问2详解】 解：， 将“淇河诗经文化”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数； 在“鬼谷子传说”打分中，8分出现次数最多， ∴； 【小问3详解】 解：应该选择“淇河诗经文化”，因为给“淇河诗经文化”活动的打高分的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯一）． 18. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】（1）是 （2）0或3 （3）6，4 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． 【小问2详解】 解：， ∴， ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． 【小问3详解】 解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 19. 某体育用品店为支持学校开展“阳光体育”活动，计划同时购进篮球和足球两类体育用品，已知购进3个篮球和4个足球共需380元；购进6个篮球和2个足球共需460元． （1）每个篮球和每个足球的进价各是多少元？ （2）该体育用品店计划恰好用3600元全部购进这两类用品，设购进篮球个，足球个． ①求关于的关系式； ②进货时，篮球的购进数量不少于20个，已知每个篮球的售价为90元，每个足球的售价为80元．若体育用品店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明：应该如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）每个篮球的进价为60元，每个足球的进价为50元 （2）① ；②当购进篮球20个、足球48个时，才能使体育用品店所获利润最大，最大利润为2040元 【解析】 【分析】（1）设每个篮球的进价为元，每个足球的进价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①根据“该体育用品店计划恰好用3600元全部购进这两类用品”建立关于的关系式；②列出关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球的进价为元，每个足球的进价为元． 根据题意，得， 解得． 答：每个篮球的进价为60元，每个足球的进价为50元． 【小问2详解】 解：①由题意得 ， ， ∴ ． 关于的函数解析式为； ② ， ， ， ． 是关于的一次函数且， 随的增大而减小． ，是整数， 为5的倍数． 故当， 时，取最大值， 为 ． 答：当购进篮球20个、足球48个时，才能使体育用品店所获利润最大，最大利润为2040元． 20. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 21. 长嘴壶茶艺是我国非物质文化遗产，以行云流水的技法展现传统茶文化魅力．如图①是某款长嘴壶的抽象示意图，水平桌面抽象为直线．已知壶身，且，，，且．壶嘴长，． （参考数据：，，，，，） （1）求所在直线与水平桌面的夹角度数． （2）如图②，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点转动壶身，当恰好倒出茶水时，，求此时点下落的高度．（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）cm 【解析】 【分析】（1）延长交于点，分别过点、作，，垂足为、，先证明四边形是平行四边形，得到，cm，再证明，得到，最后在中，由 ，求得，从而求出结果； （2）分别过点E、F作直线l的垂线段、，证明四边形是平行四边形，，，，，在中求出，进而求出，再在如图3中，水平状态下，过点作于点Q，在中，求出，进而求出点F下落的高度． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 四边形是平行四边形， ，cm， ， cm， 在中，，由参考数据知， ， ， ， 所在直线与水平桌面的夹角度数约为． 【小问2详解】 解：如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ，， 由（1）可知， cm， cm， cm， 在中，， ， cm， ， 如图3，过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， ， 点下落的高度约为． 22. 已知中，为直径，、分别切于点、． （1）如图①．若，求的大小． （2）如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 【答案】（1）45° （2）60° 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，得到，进而求出的度数，切线长定理，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）连接、，证明四边形是菱形，证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：切于点， ， ． ， ∴ ． 、分别切于点、， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接、， ，， ． 又 ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形， ． 为直径，， ∴弧弧， ． ，， ， 是等边三角形， ． ∴在菱形中，． 23. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 【答案】（1）垂直，见解析． （2）成立，理由见解析． （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过构造全等或相似三角形，结合正方形和角度条件推导线段与角的关系． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即． （2）过点作交于点，可得，易证：，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 解：与位置关系是垂直． 证明如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 时，的结论成立． 理由是： 如图过，点A作交于点， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 即． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： 如图②，点D在线段上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， ∵，， ，． ，， （当时，）． 四边形是正方形， ，则． ， ． ， ． 如图，点D在线段延长线上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， 同理可证， 此时， 同理可证， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $