精品解析：2026年山东省烟台市春季高考学校高三年级4月份模拟考试数学知识试题

2026年山东省烟台市春季高考学校高三年级4月份模拟考试 数学知识试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 2. 已知复数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成共轭复数得出另一个根，再由韦达定理求值即可. 【详解】已知复数是的一个根， 则另一根为，由韦达定理得， 故选：B. 3. 在等比数列中，已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式确定公比，再由等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知，，设公比为， 则解得， 当时， 当时，， 故选：B. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的方程可知其斜率，从而可得其倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为， 所以，所以. 故选：A. 5. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意，函数是定义在R上的奇函数， 则，， 故. 故选：C. 6. 已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】且，同号，不等式两边同除以得，故充分性成立； 当，时，满足，此时且，故必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：. 7. 已知函数在区间上有最大值3和最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】，对称轴， 当时，函数值最小为， 当时，， 根据二次函数的对称关系，可知，当时，， 因为函数在区间上有最大值3和最小值， 故， 故选：. 8. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列出二项式的展开项的通项公式，再令的指数为求出的值即可． 【详解】已知展开式的通项公式为， 当时，的项的二项式系数为. 故选：A. 9. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义得出的值，再由诱导公式求值即可. 【详解】已知角的终边经过点， 则， 所以， 故选：A. 10. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（ ） A. 0 B. 0.8 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的期望与方差公式求解. 【详解】， . 故选：B. 11. 已知向量，，若，则实数等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算以及向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，解得. 故选：A. 12. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义及指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，， 故选：. 13. 某项目负责人将一次任务分解为编号为A，B，C，D的四个子任务，并分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为A的子任务的分配方法种数是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法求解，用总的分配方法数减去甲分到编号为A的子任务的分配方法数即可． 【详解】因为要将4个子任务分给3人，且每人至少一个子任务， 所以必然是其中一人分得2个子任务，另外两人各分得1个子任务， 所以总的分配方法有种． 若甲分到编号为A的子任务，分两种情况： 情况一：甲只分到A这一个任务，分配方法有种； 情况二：甲分到A和另外一个任务，分配方法有种， 则甲分到编号为A的子任务的分配方法共有种， 综上，甲没有分到编号为A的子任务的分配方法种数是种， 故选：C． 14. 若直线被圆截得的弦长为，则实数等于（ ） A. 或2 B. 或 C. 2 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦长求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 已知直线被圆截得的弦长，所以，解得圆心到直线距离. 因此，解得. 因此实数等于或2. 故选：A. 15. 已知函数的图像如图所示，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像和性质，求得参数的值，. 【详解】由图像过和，根据对称性可知图像必过， 由图像过和，根据对称性可知图像必过，且为最高点， 则函数的周期，则，则， 因为图像过点，所以，即， 所以，解得， 结合，解得， 故选：D. 16. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论和的情况，结合一元二次不等式恒成立问题即可得解. 【详解】关于的不等式的解集为， 时，恒成立； 时，， 故实数的取值范围是， 故选：. 17. 定义运算则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义运算确定函数的表达式，再分析其图像特征. 【详解】当，即时，， 这是一个二次函数，图像开口向上，对称轴为，且， 当，即或时，， 这是一个常函数，图像是平行于轴的直线， 作出的图像，如图， 故选：B. 18. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数以及古典概型概率公式求解即可. 【详解】从7张抽奖券中一次性随机抽出2张抽奖券，方法数为， 小李能获得奖品的情况为一张有奖，一张没奖或两张有奖，方法数为， ∴小李能获得奖品的概率是. 故选：C. 19. 已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出点坐标，代入椭圆方程中，利用椭圆的性质及离心率公式即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像， 以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，，则圆的半径为， 设，代入椭圆方程得， 则，即， 所以离心率， 故选：. 20. 如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线． 其中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】还原几何体，结合直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】 如图所示，还原正方体后： ①与异面，不平行； ②连接，； ③连接，在正方体中，，则为等边三角形，； ④，，两两异面， 故②③④正确， 故选：. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应题号的模线上。 21. 已知底面半径为1的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆柱侧面积公式求出圆柱的高，再利用圆柱体积公式计算体积. 【详解】已知圆柱底面半径，侧面积， 可得，解得， 故该圆柱的体积为. 故答案为：. 22. 在中，M是的中点，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及向量内积的运算性质求解. 【详解】M是的中点，则，， ， 故答案为：5. 23. 某校三年级1000名学生参加数学考试，从中随机抽取部分学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图，则估计这次考试成绩在区间内的学生人数为________． 【答案】400 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出成绩在区间内的频率，再结合样本容量求出该区间的学生人数. 【详解】成绩在区间的频率为， 则估计这次考试成绩在区间内的学生人数为， 故答案为：400. 24. 函数的定义域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域求法，结合正弦函数的性质解不等式可得结果. 【详解】对于，有，即， 所以在第一、二象限，当时，有或， 结合正弦函数的性质可知函数的定义域. 故答案为：. 25. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：. 三、解答题：本大题5个小题，共40分。 26. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据分段函数解析式求出函数值即可得解. （）根据一次函数及二次函数的性质求出分段函数的值域即可得解. 【小问1详解】 函数， ，. 【小问2详解】 函数， 时，单调递减， ；当趋近于时，函数值趋近于， 所以此时值域为； 时，； ，图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 时，单调递减， 当趋近于时，函数值趋近于，当趋近于时，函数值趋近于， 此时值域为； 综上，值域为. 27. 在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.求： （1）数列的通项公式； （2）的值. 【答案】（1）. （2）55. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式及等比中项公式求出公差即可得解. （）根据等差数列的性质可知数列为首项25，公差的等差数列，代入求和公式即可得解. 【小问1详解】 由，，成等比数列，得， ，解得或（舍）， 故. 【小问2详解】 因为数列为首项25，公差的等差数列， 则数列为首项25，公差的等差数列，共项， 则，则和为. 28. 如图所示，村庄B在村庄A的北偏东方向，且村庄A与B的距离是，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A与C的距离是8km．现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D与村庄C的距离是与村庄B的距离的倍．求： （1）村庄B与C的距离； （2）农贸市场D与村庄B的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意结合余弦定理即可得解. （）根据正弦定理求出，利用题意求出，代入余弦定理即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，在中，，， 由余弦定理： ， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可知，，解得， 因为，所以，故在的正西方向， ，， 由余弦定理：， 解得 或（舍）， 所以 . 29. 如图所示，在正四棱锥中，M，N分别是BC，PD的中点． （1）求证：平面PAM； （2）若四棱锥的棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线以及线面平行的判定定理求解即可. （2）根据（1）找到直线CN与AM所成角，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，. 因为点分别为的中点，所以且. 因为且，故且， 进而四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 根据（1）知，，所以直线CN与AM所成角为. 因为棱长均为2，所以，， ，， 根据余弦定理得． 故直线与所成角的余弦值为． 30. 如图所示，已知抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8． （1）求抛物线的标准方程及焦点F的坐标； （2）若过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1）方程为，焦点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离结合题意列式求出的值即可求解. （2）设直线，联立直线与抛物线方程得，根据向量的坐标表示结合根与系数的关系以及向量的内积运算即可求解. 【小问1详解】 由抛物线方程可得准线方程为， 因为抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8， 又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，解得，所以抛物线的方程为，焦点为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线方程为， 联立方程，解得或， 所以，则，不满足； 若直线的斜率存在，设直线， 联立得，则， 又， 由，则， ，结合，得， 由，所以 ，， 所以， ， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省烟台市春季高考学校高三年级4月份模拟考试 数学知识试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6 3. 在等比数列中，已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数在区间上有最大值3和最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（ ） A. 0 B. 0.8 C. 2 D. 1 11. 已知向量，，若，则实数等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 12. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. 11 C. 12 D. 18 13. 某项目负责人将一次任务分解为编号为A，B，C，D的四个子任务，并分配给甲、乙、丙3人，且每人至少分得一个子任务，则甲没有分到编号为A的子任务的分配方法种数是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 14. 若直线被圆截得的弦长为，则实数等于（ ） A. 或2 B. 或 C. 2 D. 或 15. 已知函数的图像如图所示，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 16. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17. 定义运算则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 18. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率是（ ） A. B. C. D. 19. 已知O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，以OA为直径的圆与椭圆交于A，M，N三点，若四边形是正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 20. 如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线． 其中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应题号的模线上。 21. 已知底面半径为1的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为________． 22. 在中，M是的中点，，，则________． 23. 某校三年级1000名学生参加数学考试，从中随机抽取部分学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图，则估计这次考试成绩在区间内的学生人数为________． 24. 函数的定义域是_________. 25. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 三、解答题：本大题5个小题，共40分。 26. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 27. 在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.求： （1）数列的通项公式； （2）的值. 28. 如图所示，村庄B在村庄A的北偏东方向，且村庄A与B的距离是，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A与C的距离是8km．现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D与村庄C的距离是与村庄B的距离的倍．求： （1）村庄B与C的距离； （2）农贸市场D与村庄B的距离． 29. 如图所示，在正四棱锥中，M，N分别是BC，PD的中点． （1）求证：平面PAM； （2）若四棱锥的棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 30. 如图所示，已知抛物线上横坐标为6的点到焦点F的距离为8． （1）求抛物线的标准方程及焦点F的坐标； （2）若过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $