精品解析：山东省五岳联盟2025-2026学年高三下学期第二次联合考试中职数学试题

机密★启用前 五岳联盟（2023级）第二次联合考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 设全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出全集，利用补集的定义即可得解. 【详解】全集，集合， 则， 故选：. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合对数式、分式有意义需满足的条件，即可求解. 【详解】因为函数， 所以，即， 所以且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4. 圆心为，且与x轴相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心和半径确定圆的方程即可. 【详解】已知圆心为， 则半径， 所以与x轴相切的圆的标准方程为， 故选：D. 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线对称的性质即可解答. 【详解】已知随机变量X服从正态分布， 已知正态分布曲线的对称轴为， 所以， 故选：A. 6. 若角是第四象限角，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的象限确定三角函数的符号，即可确定点的象限. 【详解】已知角是第四象限角， 则， 所以点所在的象限是第二象限， 故选：B. 7. 如图，四边形是梯形，，对角线与相交于点O，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法运算可求. 【详解】； 故选：B. 8. 某校高一人，高二人，高三n人，为了了解学生学习的情况，现采用分层随机抽样的方法从中抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高二抽取的人确定抽样比，再由样本人数确定总体人数即可解答. 【详解】已知高二人，被抽取的人数为人， 所以抽样比为， 因为共抽取人，所以全校总人数为， 所以， 故选：D. 9. 已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程求解. 【详解】直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又直线在y轴上的截距为，则此直线的方程为. 故选：D. 10. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，是角终边上一点，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义和诱导公式求值即可 【详解】是角终边上一点， ， 所以，所以， 故选：A. 11. 已知二次函数，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据推导与的关系，再结合判断二次函数开口方向，即可确定的符号. 【详解】已知， 则对称轴为，即， 因为，且， 所以当时，函数单调递减，则该函数开口向上，， 故选：A. 12. 某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（ ） A. 84 B. 80 C. 76 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意可知，需分两类进行求解，第一类，只有一个入选，第二类：同时入选，再利用分类加法原理进行计算即可求解. 【详解】根据题意，可以分两类：第一类，从中选一个节目有种选法， 则从剩余4个节目中选择2个节目有种， 再将这3个节目全排列，所以不同演出顺序有种； 第二类：同时入选，则从剩余4个节目中选择一个节目有种， 因为当同时入选时，不能相邻演出，所以3个节目中不相邻的排法有2种， 则不同演出顺序有种， 所以所有不同演出顺序的种数是（种）. 故选：B. 13. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）． A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的边长求出原图形的边长，进而计算原图形的周长. 【详解】作出该直观图的原图形，是一个平行四边形， 因为直观图中的线段轴， 所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，则， 点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，则， 所以， 则四边形的长度为. 故选：B. 14. 在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（ ） A. －60 B. －70 C. 60 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】由偶数项的二项式系数之和求得项数及中间项，再由二项展开式通项求中间项系数即可. 【详解】因为偶数项的二项式系数之和为，所以， 则展开式共有项，中间项为第项， 因为二项式的展开式的通项为：， 所以，其系数为：. 故选：D. 15. 定义运算，则函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性结合所给代数式可判断. 【详解】因为，则函数， 又因为，解得，，解得， 所以函数， 当时，函数图像为一条直线， 当时，函数图像为一条曲线，且为增函数， 综上所述：函数的大致图像是A选项的图象. 故选：A. 16. 已知向量，，且与垂直，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 则，因为与垂直， 则，解得， 故选：B. 17. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将分子分母同时除以，得到，再将代入求值即可. 【详解】因为，显然， 所以. 故选：A. 18. 已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选：B. 19. 已知函数是偶函数，函数()在上有最大值6，则下列关于函数在上的结论正确的是（ ） A. 最大值6 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是偶函数，再利用偶函数图像关于轴对称的性质，得到其在对称区间上的最大值一致即可. 【详解】已知函数是偶函数， 对于任意，均满足， 函数， 则， 所以为偶函数，则的图像关于轴对称， 因为在上有最大值6， 所以函数在上有最大值6， 故选：A. 20. 已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 与是异面直线 C. 与所成的角是 D. 与互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及异面直线所成角、线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，如上图所示： 所以是异面直线，而不平行，故选项A错误； 所以，故选项B错误； 连接，则是等边三角形，故， 因为，所以与所成的角也是，故选项C错误； 连接，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故选项D正确. 故选：D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】35 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式即可求解. 【详解】因为在等差数列中，， 所以. 故答案为：. 22. 已知与半球等底等高的圆柱，若半球的表面积为，则这个圆柱的侧面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式求出半径，再利用圆柱的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意，解得， 这个圆柱的侧面积是． 故答案为：. 23. 小李登录手机银行转账时，忘记了账户密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是中的一个数字，则小李输入一次密码能够成功登录手机银行账户的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知账户密码的第一位为中的一个字母，共种可能， 第二位是中的一个数字，共种可能， 账户密码的前两位共有种可能， 所以小李输入一次密码能够成功的概率是， 故答案为：. 24. 已知函数的部分图像如图所示，则该函数的周期是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知函数周期. 【详解】设函数的周期为，根据图像知，，解得. 故答案为：. 25. 已知双曲线的左焦点，经过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线与中位线的定义得，构建直角三角形，利用勾股定理列式结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】设双曲线的左焦点，右焦点， 由圆可知圆心为，半径为， 因为直线与圆相切于点，所以，且， 因为，所以为的中点， 在中，是的中位线，， 所以， 根据双曲线的定义可知，所以， 又因为，所以， 在中，，即， 整理得，则，所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知二次函数的图像经过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求x的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，将三点代入解方程即可. （2）首先令，再由题意列一元二次不等式求解，最后由对数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 设二次函数， 将代入得， ，即， 解得， 所以. 【小问2详解】 令， 由（1）可知，， 则，即， 得，即， 解得或， 所以或， 因为在上为增函数， 所以由，得， 所以，由， 得，所以， 所以x的取值集合为 27. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以正方形ABCD的对角线的一半作为边长构成第一个新正方形，再取新正方形对角线的一半作为边长构成第二个新正方形，依此进行下去，直至构成第n个新正方形，这n个新构成的正方形的面积依次记作．求： （1）的值； （2）新构成的前10个正方形的面积和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次求出每个正方形的边长、对角线长度，再根据正方形面积求解即可. （2）根据等比数列的定义以及前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 已知原正方形边长为，原正方形对角线长为， 第一个新正方形边长为原正方形对角线的一半，即边长为，因此面积.​ 第一个新正方形对角线长为，第二个新正方形边长为第一个正方形对角线的一半，即边长为， 因此面积. 第二个新正方形对角线长为，第三个新正方形边长为第二个正方形对角线的一半，即边长为， 因此面积. 因此面积. 【小问2详解】 由（1）可知，数列是首项，公比的等比数列. 则. 28. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，求： （1）边a的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）先求出和的值，再利用二倍角公式求出和的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【小问1详解】 已知，根据正弦定理可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 根据余弦定理得， 因为是三角形内角，所以， 可得：， 所以， ， 所以. 29. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，E为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点E到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可. （2）首先由棱锥的体积公式求出棱锥的体积，再由等体积法求值即可. 【小问1详解】 因为为正方形， 所以，因为平面， 平面，所以， 因为平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 因为平面， 所以为棱锥的高，且 因为E为的中点，， 所以，， 设点E到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以，， 则， 因为， 所以，解得， 即点E到平面的距离为. 30. 已知椭圆的离心率，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距，离心率公式即可求解. （2）根据联立直线与椭圆方程，以及韦达定理，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为离心率，焦距为2，所以，解得. 所以，则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线斜率不为， 可设直线方程为，点， 联立，则， 所以， 因为以线段AB为直径的圆经过原点，所以，则， 即，又， 所以， 则， 即，整理得，解得， 所以，即直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 五岳联盟（2023级）第二次联合考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 设全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 4. 圆心为，且与x轴相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若角是第四象限角，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，四边形是梯形，，对角线与相交于点O，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 某校高一人，高二人，高三n人，为了了解学生学习的情况，现采用分层随机抽样的方法从中抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为，那么（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，是角终边上一点，则＝（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（ ） A. 84 B. 80 C. 76 D. 72 13. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）． A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 14. 在二项式的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为（ ） A. －60 B. －70 C. 60 D. 70 15. 定义运算，则函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 16. 已知向量，，且与垂直，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 17. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 18. 已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 19. 已知函数是偶函数，函数()在上有最大值6，则下列关于函数在上的结论正确的是（ ） A. 最大值6 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 20. 已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 与是异面直线 C. 与所成的角是 D. 与互相垂直 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 22. 已知与半球等底等高的圆柱，若半球的表面积为，则这个圆柱的侧面积是___________． 23. 小李登录手机银行转账时，忘记了账户密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是中的一个数字，则小李输入一次密码能够成功登录手机银行账户的概率是______． 24. 已知函数的部分图像如图所示，则该函数的周期是______． 25. 已知双曲线的左焦点，经过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率是______． 三、解答题（本大题5个小题，共40分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知二次函数的图像经过点． （1）求函数的解析式； （2）若，求x的取值集合． 27. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以正方形ABCD的对角线的一半作为边长构成第一个新正方形，再取新正方形对角线的一半作为边长构成第二个新正方形，依此进行下去，直至构成第n个新正方形，这n个新构成的正方形的面积依次记作．求： （1）的值； （2）新构成的前10个正方形的面积和． 28. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，求： （1）边a的值； （2）的值． 29. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，E为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点E到平面的距离． 30. 已知椭圆的离心率，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $