精品解析：广东深圳中学2026届高三复习检测(一)数学试卷

深圳中学2026届复习检测（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 若集合，且，则满足条件的集合B的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A，并列举出A中元素，再由包含关系求集合B的个数. 【详解】由题设，，又， 所以集合B有个. 故选：D． 2. 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为求解. 【详解】解：因为衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为， 所以从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为： ， ， ， 故选：C 3. 要得到的图象，只需要将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案. 【详解】 又 所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像 故选：A 4. 制作一个面积为2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是（ ） A. 6.2 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 【答案】C 【解析】 【分析】 设两直角边为a，b，根据面积为2，得到ab=4，然后由，利用基本不等式求解. 【详解】设两直角边为a，b，则ab=4， 则， 当且仅当时，取等号， 故选：C 5. 在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】，，即， 整理得，或， 则是以、为底角的等腰三角形或以为直角的直角三角形. 因此，“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了余弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 6. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 7. 已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故选：D 8. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据极值点及零点得出满足的等式，再结合函数的单调性得出等式计算即可求值. 【详解】因为是函数的一个极值点， 所以， 因为是函数的一个零点， 所以， 设为单调递增函数， 因为， 所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数与是奇函数得到关于与的等式，联立为方程组得到函数的周期，进而验证 的奇偶性，从而得到答案. 【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数， 所以 所以关于原点对称，关于对称， 所以 所以 所以周期为 因为 所以将换为 则则 因为则 所以即 又因为周期为 所以 所以为奇函数， 故由A、B得 . 即为奇函数，故C正确；选项D错误. 10. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】函数极值点问题转化为方程根的问题研究.A项转化为二次方程有两不等正根求参数范围；BC项由韦达定理与参数范围可得；D项，先将所求式子整理变形，再利用韦达定理将整体代入消元，转化为求解函数的范围即可. 【详解】A项，函数有两个极值点， 则至少有两正根. ，， 设， 当时，，即没有实数根，不符合题意； 当时，由题意知方程有两不等正根，设两根为， 则有，解得. 即的取值范围是为，故A错误； BC项，因为是方程的两个不同的实数根， 所以，，故BC正确； D项， ， 设， 因为在上单调递减，所以. 且当，故. 即，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数的定义域为R，若，且，则（ ） A. B. 无最小值 C. D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可得A错误，且满足，即可知B正确，由递推关系式可求得C正确，利用对称中心定义可知，可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A错误； 对于B，令，可得，可知函数无最小值，即B正确； 对于C，由可知， 所以，即C正确； 对于D，令，可得， 由及，可得， 因此，可得， 的图象关于点中心对称，即D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，当时，，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果. 【详解】令，解得：；令，解得：； 图象如下图所示， 由图象可知：，，. 故答案为：. 13. 已知，若，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由题知，构造函数 ，则为函数的一个零点，再结合函数单调性，零点存在性定理求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 令 ，则为函数的一个零点， 因为 ，令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，， 所以函数在存在唯一零点， 因为 ， ， 所以在存在零点，它在区间内，即当时， 14. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇偶性和对称性得到 是周期为4的周期函数，然后计算出一个周期内函数值的和即 ，结合周期性可求原式的值. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 , 则 , 故 是周期为4的周期函数. 又当 时， 所以 解得 故当 时， . 因为 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数. （1）求函数的对称轴； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）；. 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式为，列式计算即可得对称轴； (2)求出(1)中函数的相位的范围，再借助正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】(1)依题意， ， 由，得， 所以函数的对称轴为； (2)由(1)知，当时，，而函数在上递增，在上递减， 则当，即时，，当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为，. 16. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 【答案】（1）120米（2）米 【解析】 【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得 米 （2）设总造价为万元，，设， (0舍去) 当时，；当时，，因此当时，取最小值， 答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果； （2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得． 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]射影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值； 方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值； 方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 18. 函数有且只有两个零点，（）． （1）求实数a的取值范围； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （2）令，则，进而得，，可将问题转化为，再构造函数 ，，求得，即可得答案. 【小问1详解】 解：函数定义域为，求导得， 当时，，在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意； 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，， 当趋近于0时，趋近于正无穷大；当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 故要使函数有且只有两个零点，， 只需，即， 此时在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意， 所以a的取值范围是． 【小问2详解】 解：由（1）知，，得， 令，则， ，，， ，， ，（）， ， 记 ，，， 令，则， 令，求导得， 当时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以，当时，，；当时，，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以，当时，，；当时，，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ， 所以，即的取值范围为 19. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”． 【答案】（1） （2）（i）2；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合； （2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个； （ii）根据区间长度的定义，对参数进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可得出证明. 【小问1详解】 由题意，，， 恒成立，所以在上单调递增， 可得的值域为， 因此只需， 即可得，即， 则的取值集合为． 【小问2详解】 （i）记函数， 则， 由得或；由得； 所以函数在和上单调递增，在上单调递减． 其中，因此当时，，不存在零点； 由在单调递减，易知，而， 由零点存在定理可知存在唯一的使得； 当时，，不存在零点． 综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2． （ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”， 则对，， 当时，由（i）得在单调递增， ，即，不满足要求； 当时，由（i）得在单调递增， ， 即，也不满足要求； 当时，闭区间，而显然在单调递增， ， 由（i）可得，， ，满足要求． 综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳中学2026届复习检测（一） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 若集合，且，则满足条件的集合B的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位：米）的关系式为（单位：），取，则从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ） A. B. C. D. 3. 要得到的图象，只需要将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 制作一个面积为2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是（ ） A. 6.2 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 5. 在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 6. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 10. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 已知函数的定义域为R，若，且，则（ ） A. B. 无最小值 C. D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数，当时，，则的最大值是________． 13. 已知，若，，则______． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数. （1）求函数的对称轴； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 18. 函数有且只有两个零点，（）． （1）求实数a的取值范围； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 19. 若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $