福建省第二届“卓越杯”数学思维能力测评高中组测试试题

福建省第二届“卓越杯”数学思维能力测评 高中组测试试题 (测试时间90分钟，试卷满分120分) 一、选择题(5道题，每题6分，共30分) 1.已知复数z= 3+4 1-i ,则川z+2z的值为( 4.V65 B.3 C.4 D.V58 2 2.3100除以17的余数是( ) A.11 B.12 C.13 D.14 3.已知{1,2}≤A三{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A的元素个数不超过7，则这样的集合A的 个数为( A.210 B.219 C.221 D.209 4.A1BC中，三内角4，B,C中A=2 对边a=√3.△4BC的外心为O,它到边 3 AB、AC的距离分别为d1,d2.则3d1+4d2的最大值为( A.√35 B.√37 C.6 D.39 5.已知正实数a.b满足2+4=l,则a+b+Va+b的最小值为( a b A.20 B.4V22 C.18 D.12√3 二.填空题(5道题，每题6分，共30分) 6.已知1a2,1i=4,a与6的夹角为7，且(d+而1(a-2万，2= 7.(lg2)3+(1g5)3+31g2.lg5+10g2025= 8.在1,2,3.，500这500个正整数中，能被3、5、7中至少一个整除的数共有个 9.数列{an}的通项公式为an= 2,记其前n项的和为S。则Sn= 1 10.己知对任意x∈R,都有不等式ex≥ar+b.恒成立.则ab的最小值为 二.解答题（四道题60分，每道题15分，每问5分） 11.已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+1,x∈R(其中a,b是常数)的图像经过点 (-1,-7),(1,3) (I)求f(x): (2)利用函数单调性定义证明：f(x)在R上单调递增； (3)求2f)=f-9+f-8)+.…+f00)+f0的值 12.如图，梯形ABCD中，AD/∥BC,已知 成立恒等式AC2+BD2=m(AB2+DC2)+nAD·BC. A D (1)试给出常数m、n的值； (2)证明你所得到的关系式： (3)求证：IAC-BD≥AB-DC|. B 第12题图 13.已知A(-1,0),BL,0),△MAB中，M为动点，记∠MAB=O,∠MBA=B, M满足条件：cosa+cosB=ksin(a+B)(k为常数，k>1),记动点M轨迹上的点 到原点的距离最小值为√f(k) (1)求M点的轨迹方程； 2)求了)的解折式6)求证f@)+f)+…+f侧<子 (6)求证f2+f3)++fm）< 3 3 14.已知数集A={a1,a2,,an}(1≤a41<a2<.<an,n≥2)具有性质P:对任意 满足1≤i≤j≤n的数a,4,都有：aa,与2两个数中至少有-个属于1 a; (1)分别判断数集{1,4,8}，1,2.4.8.16}是否具有性质P,并说明理由： (2)证明：a,=1,且4+4，+…+a, 1 1+a2+.+an =an; (4)证明：n=5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列. 4