回归基础篇空间向量与立体几何解答题专题讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学讲义聚焦天津卷空间向量与立体几何解答题，覆盖线面/面面平行垂直证明、空间角距离体积计算等核心考点，按“考点分析-典型考法-命题预测-类型应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确几何法与向量法适用场景，方法指导强化中位线构造、等体积法等技巧，真题训练结合2025-2026模拟题及预测题，帮助学生系统突破证明与计算难点，体现复习的针对性和系统性。 资料突出命题趋势把握与几何法能力培养，如预测2026年几何体拼接、翻折新情景，设计“证明+计算”分层训练。教学中引导学生用数学眼光观察空间结构，通过线面垂直证明结合等腰三角形三线合一培养推理思维，用向量法精准表达空间关系。设置三类应用题型（直接求解、参数计算、存在性问题），配合即时方法总结，助力学生高效提升空间想象与解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高考冲刺训练---回归基础篇 空间向量与立体几何解答题专题训练 1、 考点分析 天津卷立体几何解答题稳定为第17题，分值15分，通常设置3小问，呈现“证明+计算”的固定结构，几何法与向量法均适用，近年逐步强化几何法的考查权重。 二、典型考法 1. 第一问：空间位置关系证明（必考） 核心考查线面平行/垂直、面面平行/垂直的判定，几何法为最优路径： （1） 线面平行：优先使用中位线构造、平行四边形构造，其次为面面平行转化，需注意“直线在平面外”等条件不能省略。 （2） 线面垂直：核心是证明直线垂直于平面内两条相交直线，常结合等腰三角形三线合一、特殊四边形（菱形/正方形）对角线垂直、直径所对圆周角为直角等隐含条件。 2. 第二-三问：空间量计算（固定考法） 主要考查三类计算，可灵活选择几何法或空间向量法： （1） 空间角：异面直线所成角、线面角、二面角（两平面夹角）。向量法通过方向向量与法向量的夹角计算，注意线面角取正弦值、两平面夹角取绝对值。 （2） 距离：以点面距为主，几何法优先用等体积法，向量法用点到平面的投影公式，也可转化为线面距、面面距求解。 （3） 体积：常结合割补法、等积转化，利用点到面距离公式求高，有时与截面、翻折情景结合，需准确确定几何体的底面积与高。 三、2026年命题预测 结合近年命题规律和最新模拟题导向，2026年天津卷立体几何解答题将保持稳定，局部略有创新： 1.题型结构不变：仍为15分解答题，3小问设置，第一问仍为线面/面面平行/线面垂直、面面垂直证明，后两问为角度+距离/体积的组合。 1. 载体情景创新：大概率出现几何体拼接、平面翻折、截面新情景，不排除结合生活实际建模（如容器、机械零件），强化空间想象能力考查。 2. 方法导向明确：几何法权重进一步提升，可能出现建系难度较高、几何法更简便的题目，点面距优先用等体积法求解。 3. 考点侧重预测： （1) 第一问：线面垂直、面面垂直证明概率略高于线面平行，可能结合面面垂直的性质定理。 （2) 第二问：线面角或二面角计算，注意两平面夹角与二面角的范围区别。(3)第三问：点面距或体积计算，可能结合动点参数讨论，需注意参数范围验证。 四、类型应用 类型一 平行垂直的证明+空间角+空间距离+体积直接求解 1.（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 2．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 3．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 4．（2025·天津滨海新区·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 5．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 6．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 7．（2026·天津东丽·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 8．（2026·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 9．如图，是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 类型二 已知角或距离求确定参数 进而求值 10．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 11．（2026·天津南开·二模）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 12．（2026·天津·二模）如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 13．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 类型三 存在性问题 14．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且 (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 五、高考预测 16．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 17．“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的体积． 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)四棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考冲刺训练---回归基础篇 空间向量与立体几何解答题专题训练 1、 考点分析 天津卷立体几何解答题稳定为第17题，分值15分，通常设置3小问，呈现“证明+计算”的固定结构，几何法与向量法均适用，近年逐步强化几何法的考查权重。 二、典型考法 1. 第一问：空间位置关系证明（必考） 核心考查线面平行/垂直、面面平行/垂直的判定，几何法为最优路径： （1） 线面平行：优先使用中位线构造、平行四边形构造，其次为面面平行转化，需注意“直线在平面外”等条件不能省略。 （2） 线面垂直：核心是证明直线垂直于平面内两条相交直线，常结合等腰三角形三线合一、特殊四边形（菱形/正方形）对角线垂直、直径所对圆周角为直角等隐含条件。 2. 第二-三问：空间量计算（固定考法） 主要考查三类计算，可灵活选择几何法或空间向量法： （1） 空间角：异面直线所成角、线面角、二面角（两平面夹角）。向量法通过方向向量与法向量的夹角计算，注意线面角取正弦值、两平面夹角取绝对值。 （2） 距离：以点面距为主，几何法优先用等体积法，向量法用点到平面的投影公式，也可转化为线面距、面面距求解。 （3） 体积：常结合割补法、等积转化，利用点到面距离公式求高，有时与截面、翻折情景结合，需准确确定几何体的底面积与高。 三、2026年命题预测 结合近年命题规律和最新模拟题导向，2026年天津卷立体几何解答题将保持稳定，局部略有创新： 1.题型结构不变：仍为15分解答题，3小问设置，第一问仍为线面/面面平行/线面垂直、面面垂直证明，后两问为角度+距离/体积的组合。 1. 载体情景创新：大概率出现几何体拼接、平面翻折、截面新情景，不排除结合生活实际建模（如容器、机械零件），强化空间想象能力考查。 2. 方法导向明确：几何法权重进一步提升，可能出现建系难度较高、几何法更简便的题目，点面距优先用等体积法求解。 3. 考点侧重预测： （1) 第一问：线面垂直、面面垂直证明概率略高于线面平行，可能结合面面垂直的性质定理。 （2) 第二问：线面角或二面角计算，注意两平面夹角与二面角的范围区别。(3)第三问：点面距或体积计算，可能结合动点参数讨论，需注意参数范围验证。 四、类型应用 类型一 平行垂直的证明+空间角+空间距离+体积直接求解 1.（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【知识点】线面角的向量求法、异面直线距离的向量求法、证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 2．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥中，平面ABC，为等腰三角形，，，M为AD的中点，P是的中点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性质进行运算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴，因为平面ABC，以AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， 因为平面ABC， 所以平面ABC的一个法向量为， 因为，平面，   所以平面； （2）因为y轴⊥平面BDM， 所以平面BDM的一个法向量为， ，              设平面BCD的一个法向量为， ， 取，则，所以，    设平面BCD与平面BDM的夹角为， ， ，       所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为； （3）， 设点M到平面BCD的距离为d， . 3．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到直线距离的向量求法、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 4．（2025·天津滨海新区·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明和，即可证明； （2）根据（1）的结果，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值； （3）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 5．（2026·天津河西·一模）已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【知识点】空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行，由此证明结论； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）利用向量方法求点到平面的距离，再锥体体积公式求结论. 【详解】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设是平面的一个法向量， 则，则，取，可得， 所以是平面的一个法向量． 因为，则，所以平面． （2）因为，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以是平面的一个法向量， 由（1）知是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． （3）因为，由（1）知是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 因为是直角三角形，，， 所以， 所以． 6．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是棱，的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【知识点】空间位置关系的向量证明、求点面距离、点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证， （2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 因为，， 平面， 所以平面. （2），，. 设平面的法向量为， 则即，令，得， 所以. （3），. 设平面的法向量为， 则，即，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 7．（2026·天津东丽·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD中点． (1)求证：平面PAC； (2)求平面PAD与平面ABN夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，根据勾股定理易得，结合平面ABCD可得，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，过点作，垂足为， 因为，，，，所以，则， 所以，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面. （2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）由于， 而到平面的距离为， 则. 8．（2026·天津红桥·二模）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明面面垂直、锥体体积的有关计算、求二面角、面面角的向量求法 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量点积证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，得出平面，再结合平面，证得平面平面； （2）先求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算出法向量夹角的余弦值，最后取其绝对值，得到两平面夹角的余弦值； （3）先计算底面的面积，再以点到底面的距离（即的竖坐标）为高，代入三棱锥体积公式计算出体积． 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以，因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （2）设平面的法向量， 则，即，令，可得， 又设平面的法向量， 则，即，令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（是的竖坐标）． 9．如图，是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】已知线面角求其他量、锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与垂直的直线作轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，再利用空间向量法可求得二面角的大小； （3）求出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：，则， 又因为，，、平面，平面， 平面，平面平面. （2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且与垂直的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， ，， 由题意可得，解得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为. （3）解：，，则，， 由（2）可知点到平面的距离为， 因此，. 类型二 已知角或距离求确定参数 进而求值 10．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量、锥体体积的有关计算 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 11．（2026·天津南开·二模）如图所示，正四棱锥中，，，分别为的中点，，平面与交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、求点面距离、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）先建系得各点坐标，算出向量，由点积为证，，结合线面垂直判定定理得证； （2）由（1）知是平面法向量，再求平面法向量，用两法向量夹角公式算余弦值； （3）设，由垂直条件求得位置，再用点到平面距离公式算出结果． 【详解】（1）连接，设，连接， 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 所以，，， 因为 ， ， 所以，，即，， 又平面，，所以平面． （2）由（1）知为平面的一个法向量． ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得． 设平面与平面的夹角为， 则． （3），设，． 因为，所以， 解得，从而． 所以点到平面的距离． 12．（2026·天津·二模）如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）通过证明平面的法向量与直线的方向向量平行，从而证明线面垂直； （2）通过求解两个平面的法向量的夹角，从而得到两个平面的夹角； （3）根据三棱锥的体积求解出直线对应的向量，然后通过求解直线与法向量的夹角从而得到直线与平面的夹角. 【详解】（1）如下图所示，以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 又因为，，所以， 所以平面. （2）设平面的一个法向量为， ，， 则，代入可得， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，         所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为点在棱上，设，， ， 解得，所以， ，平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法证明即可； （2）根据面面角向量法计算求解； （3）设，由空间向量线性运算可得，根据线面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）设的中点，连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，． ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 因为，所以， 又因为平面，所以平面． （2），，设平面的法向量为， 则，令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设，， ， 设与平面所成角为， 则， 因为，， 所以的取值范围是． 类型三 存在性问题 14．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在， 【知识点】空间线段点的存在性问题、证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 15．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， ，理由见解析. 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）建系求点坐标，计算直线方向向量与平面法向量夹角的正弦值； （2）分别求两平面法向量，再求它们夹角的余弦值； （3）设出点的坐标，由题意得平面的法向量. 【详解】（1）由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，，，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 （2）设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 （3）设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，， 则有，令，则， ，则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 5、 高考预测 16．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行进而得到线面平行，即证明. （2）①先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；②延长交的延长线于点，连接交于点，然后根据三棱锥体积公式计算即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，因为是的中点， 所以. 因为四边形为菱形，所以， 又是的中点，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）①因为平面，平面，所以. 因为，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量为，则有， 即，令，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为.    延长交的延长线于点，连接交于点， 易知， . 17．“明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱，如图2，底面为直角梯形，，，，，为的中点，在上且． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面即可； （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解； （3）利用向量法求出，再由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 根据已知得，，，，， ，，，，， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令，则， 因为，所以， 所以平面. （2），，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 与平面所成角的正弦值为. （3）因为， ，， 所以， 所以． 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)四棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算、面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式即可求解； （3）先说明四棱锥的所有顶点在球心为的球面上，再根据球的体积公式求解． 【详解】（1）证明：因为底面是正方形， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2）设交于点，过作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又，，，所以，所以， 所以，所以， 以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    在，，所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，取，得， 设平面的法向量为， 由得，取，得， 设平面与平面的夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）连接，由（2）知，又为的中点，所以， 又，所以， 所以四棱锥的所有顶点在球的球面上，所以球的半径， 所以球的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $