直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”核心考点，依据高考评价体系梳理了位置关系判断、切线方程求解、弦长计算、公切线条件等考查要求。通过2026长春模拟、沧州质检等真题分析，明确位置关系判断占30%、切线与弦长问题占45%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+素养培养+技巧提炼”的复习模式，如以过圆上点的切线方程推导（第2题）、弦长公式应用（第3题）为例，培养学生几何直观与逻辑推理素养。特设“易错陷阱警示”（如两圆公切线条件的充要关系分析），帮助学生掌握轨迹方程推导等答题技巧，教师可据此精准定位学情，助力学生高效冲刺高考。

直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单项选择题 1.(2026·长春模拟)已知圆E:(x-2)2+(y-4)2=25,圆F:(x-2)2+(y-2)2=1,则这两圆的位置关系为(　　) A.内含 B.内切 C.相交 D.外离 基础过关 圆E:(x-2)2+(y-4)2=25的圆心为E(2,4),半径r1=5;圆F:(x-2)2+(y-2)2=1的圆心为F(2,2),半径r2=1,则|EF|==2,故|EF|<r1-r2,所以两圆内含. 解析 2.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为 (　　) A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,所以点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,连接圆心与切点,连线所在直线的斜率为k==,所以切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B. 解析 3.若直线x+y-m=0被圆C:(x-1)2+(y+1)2=4截得的弦长为2,则m=(　　) A.±2 B. C.2 D.2 由题意可得圆的圆心为C(1,-1),半径R=2,则圆心到直线x+y-m=0的距离d==,又因为截得的弦长为2,所以2=2,化简得4-=2,解得m=±2.故选A. 解析 4.(2026·沧州质检)“a≥”是“圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2,由题意可知C1(0,0),r1=2,C2(a,-a),r2 =1,连接C1C2,当且仅当圆C1和圆C2内含时,两圆没有公切线,即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为|C1C2|≥r1-r2=2-1=1,即≥1,解得a≤-或a≥.因为“a≥”是“a≤-或a≥”的充分不必要条件,所以“a≥”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件.故选A. 解析 5.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+4x-4y+4=0的圆心,则+的最小值为(　　) A.+ B.2+3 C. D. 由x2+y2+4x-4y+4=0,可得圆心坐标(-2,2),因为直线ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆心,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以+=(a+b)=++3≥2+3,所以+的最小值为2+3,故选B. 解析 6.(2025·合肥质量检测)已知直线l:x-ay-1=0与☉C:x2+y2-2x+4y-4=0交于A,B两点,设弦AB的中点为M,O为坐标原点,则|OM|的取值范围为 (　　) A.[3-,3+] B.[-1,+1] C.[2-,2+] D.[-1,+1] 直线l:x-ay-1=0过定点D(1,0).圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,所以圆心C(1,-2),半径r=3.因为点M为弦AB的中点,所以CM⊥AB,即CM⊥MD,所以点M的轨迹是以CD为直径的圆,所以点M的轨迹方程为(x-1)(x-1)+y(y+2)=0,即(x-1)2+(y+1)2=1,所以点M的轨迹是以点E(1,-1)为圆心,1为半径的圆.连接OE,则|OE|=,所以|OM|∈[-1,+1],故选D. 解析 二、多项选择题 7.已知圆C:x2+y2-4x-8y+12=0和直线l:x-y+k=0,则下列说法正确的是 (　　) A.当k=0时,直线l被圆截得的弦长为2 B.当k=0时,圆上到直线l的距离为1的点有3个 C.存在实数k,使得直线l与圆相切 D.若直线l与圆相交,则实数k的取值范围为(-2,6) 由x2+y2-4x-8y+12=0得(x-2)2+(y-4)2=8,所以圆C的圆心为(2,4),半径为r=2,对于A,当k=0时,直线l:x-y=0,圆心到直线的距离为d== ,所以直线l被圆截得的弦长为L=2=2=2,故A正确,对于B,由选项A知圆心到直线的距离为d=,又r=2,则r+d=3>1,r-d=>1,所以由图可知,圆上到直线l的距离为1的点有4个,故B错误,对于C,由=2,得到k2-4k-12=0,解得k=6或k=-2, 解析 所以当k=6或k=-2时,圆心到直线的距离等于半径,即存在实数k,使得直线l与圆相切,所以C正确,对于D,因为直线l与圆相交,则<2,整理得到k2-4k-12<0,解得-2<k<6,所以D正确,故选ACD. 解析 8.(2026·青岛模拟)已知动点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1和C2:(x-3)2+(y-4)2=3上,动点P在x轴上,则(　　) A.圆C2的半径为3 B.圆C1和圆C2相离 C.|PM|+|PN|的最小值为2 D.过点P作圆C1的切线,则切线长最短为 由题意得,圆C1的圆心C1(1,2),半径r1=1,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=.对于A,圆C2的半径为,A错误;对于B,|C1C2|=2>1+,圆C1和圆C2相离,B正确;对于C,圆C1关于x轴对称的圆为C0:(x-1)2+(y+2)2=1,C0(1,-2),连接C0C2交x轴于点P1,连接PC1,PC2,P1C1,PC0,由圆的性质得,|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-=|PC0|+|PC2|-1-≥ |C0C2|-1-=2-1-,当且仅当点P与P1重合,且M,N分别是线段P1C1,P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号,C错误;对于D,设点P(t,0), 解析 切点为A,连接AC1,则切线长|PA|==,当且仅当t=1,即P(1,0)时取等号,D正确. 解析 三、填空题 9.已知圆O:x2+y2=1与直线l:x=-1,写出一个半径为1,且与圆O及直线l都相切的圆的方程:　　　　　　　　　　　　　　.  设圆心C为(x0,y0),由已知圆C与直线l:x=-1相切,圆C与圆O:x2+y2=1相切,可得且已知半径为1,所以圆的方程可以为x2+(y-2)2=1或x2+(y+2)2=1或(x+2)2+y2=1. 解析 x2+(y-2)2=1(答案不唯一) 10.(2026·天津模拟)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-2)2+(y-1)2=所截得的弦长为　　　　.  圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的两方程作差得2x+2y-2=0,即公共弦所在直线方程为x+y-1=0.又圆C3:(x-2)2+(y-1)2=的圆心为C3(2,1),半径r=,所以圆心C3(2,1)到直线x+y-1=0的距离d==,则直线x+y-1=0被圆C3所截得的弦长为2=2=. 解析 11.已知☉C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:x+2y+2=0,M为直线l上的动点,过点M作☉C的切线MA,MB,切点为A,B,当四边形MACB的面积取最小值时,直线AB的方程为　　　　　　　.  ☉C:x2+y2-2x-2y-2=0的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心C(1,1),半径r=2.如图,连接MC,则四边形MACB的面积S=2S△CAM=|CA|·|AM|= 2|AM|=2.要使四边形MACB的面积最小,则需|CM|最小,此时CM与直线l垂直,直线CM的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得 解析 x+2y+1=0 解得M(0,-1),则|CM|=.则以CM为直径的圆的方程为+y2=,与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+1=0. 解析 四、解答题 12.已知圆O:x2+y2=4,直线l:x+my-4m=0. (1)试判断直线l与圆O的位置关系; 直线l:x+my-4m=0过定点(0,4),定点在圆外,易知当直线l与圆O相切时,斜率k=±,此时m=或m=-,即当m=或m=-时,直线l与 解 圆O相切;当直线l的斜率k∈(-,),此时m>或m<-,直线l与圆 O相离;当直线l的斜率k>或k<-或斜率不存在,此时-<m<,直线l与圆O相交. 解 (2)若直线l将圆周分成长度之比为1∶3的两部分,求直线l的方程. 直线l将圆周分成长度之比为1∶3的两部分,即劣弧所对的圆心角为90°,所以圆心O到直线l的距离为,即=,解得m=±,所以直线l的方程为7x±(y-4)=0. 解 13.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; 圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. 解 (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积. 由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,所以ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为x+3y-8=0.又|OM|=|OP|=2,点O到l的距离为,所以|PM|=,S△POM =××=,故△POM的面积为. 解 14.(多选题)如图,月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形,若两段圆弧所在圆的半径相同,两圆的圆心分别为坐标原点O和C,A(-1,-2),B(2,1),直线l:y=x+b与月牙形只有两个交点,则(　　) A.|OC|= B.圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=5 C.b的取值范围为(-2,)∪{-1} D.月牙形的面积约为+3 素养提升 由题易知,圆O的半径为|OA|=,圆心C在A(-1,-2),B(2,1)的垂直平分线上,kAB=1,且中点坐标为,设点C的坐标为(a,-a),且a≠0,所以(a-2)2+(a+1)2=5,解得a=1,所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,|OC|= ,故选项A正确,选项B错误.设直线l1:y=x+t,当直线l1过点B(2,1)时, t=-1,此时也过点A(-1,-2),当直线l1与圆O相切时,=,解得t=±,当直线l1与圆C相切时,=,解得t=-2或t= 解析 --2,因为直线l:y=x+b与月牙形只有两个交点,结合图象可知b的取值范围为(-2,)∪{-1},故选项C正确.连接AC,BC,AB,直线AB方程为:y=x-1,点C到AB的距离为=,又|AB|=3,所以△ABC的面积为,设∠ACB=θ,=(-2,-1),=(1,2),所以cos θ= =-,所以θ≈π-=,由对称性可知月牙形的面积约为:5π- 解析 2×=+3,故选项D正确.故选ACD. 解析 15.(2026·常州模拟)已知圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:kx-y-4k=0,当k=时,直线l与圆O恰好相切. (1)求圆O的方程; 当k=时,圆心O到直线l的距离为=2,则r=2,所以圆O 的方程为x2+y2=4. 解 (2)若直线l上存在距离为2的两点M,N,在圆O上存在一点P,使得=0,求实数k的取值范围. 圆心O到直线l的距离d=. ①当直线l与圆O有公共点,即d=≤r=2,解得-≤k≤,若点P与点M(或N)重合,则满足=0,符合题意. 解 ②当直线l与圆O无公共点,即d=>r=2,解得k<-或k>,由=0,可知点P在以MN为直径的圆上,设线段MN的中点为Q(x0,y0),则圆Q的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=1,又圆Q与圆O有公共点,设圆Q的半径r2=1,圆O的半径r1=2,则1=r1-r2≤|OQ|=≤r1+r2= 3,只需点O到直线l的距离d=≤3,所以-≤k<-<k≤.综上,实数k的取值范围为. 解 $