精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗2026年初中学业水平模拟预测数学试题

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试冲刺卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到 万人，将数据 万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. ，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 的符号无法判断 7. 如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2019 D. 2026 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若，是一元二次方程的两根，则的值为________． 10. 如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为________． 11. 不等式组的解集为，则________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点，，则经过顶点的反比例函数表达式为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 化简及解方程： （1）化简：； （2）解方程：． 14. 如图所示，可以自由转动的转盘被两条直径均匀分成了四个分别标有数字的扇形区域．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘A两次，用树状图或列表法求两次分别转出的数字之积为非负数的概率； （2）若改用转盘B进行上述操作，则转出的数字之积为非负数的概率是________． 15. 浮箭漏（如图①）是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到的数据如表所示： 供水时间 0 1 2 3 4 5 箭尺读数 6 12 18 24 30 36 （1）建立平面直角坐标系如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请画出该一次函数的图象； （2）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 16. 如图，四边形内接于圆，为圆的直径，点为弧的中点，的延长线上有一点，与圆相切于点，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 17. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． （1）求a的值和抛物线的对称轴； （2）已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 18. 在菱形中，是射线上一点，点在射线上（点不与点，重合）． （1）如图1，当时，连接，交于点，连接，若，求证：； （2）如图2，当时，连接，交于点，连接，，若，，求的长； （3）如图3，当时，连接，于点，连接，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试冲刺卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 2. 哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把万表示为的形式，其中，为整数进行解答，即可． 【详解】解：万． 3. 如图，直线，平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，根据平行线内错角相等的性质，可得与 的数量关系，求出 的度数．因为平分 ，根据角平分线的定义，可得到 的度数．结合平行线的性质，得到的对顶角与已知角的关系，进而推导的度数． 【详解】解：∵ ， ∴  ． ∵ 平分  ， ∴  ． ∵ ， ∴  ． ∴  ， ∴ ． 4. 某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，即可． 【详解】解：设第一次买了个足球 ∴每个足球的单价为：； ∵第二次用元在同一商家买同样的足球，结果比上次多买了个， ∴第二次购买的足球的单价为：； ∵商家第二次购买足球每个优惠元， ∴分式方程为： ． 5. 如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图得，推出，然后利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：由作图得， ∴ ∴ ∴． 6. ，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 的符号无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，函数中，随的增大而减小 ，通过分类讨论进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小 ， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，． 7. 如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 8. 将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ） A. 2022 B. 2024 C. 2019 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数字规律探究，解题核心是根据数表排列规律，设出方框中三个数的表达式，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 【详解】解：设连续的三个数为，，， 则， 方框中三个数的和为3的倍数， B，D选项不符合题意， 不能为每一行第一个数和最后一个数， 除以7余数不能为0或1， ， ， C选项不符合题意． ， ， A选项符合题意． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，对代数式进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解：由，是一元二次方程的两根可得，， ∴， 将，代入可得 原式． 10. 如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算三角形三条边的长度，再根据勾股定理逆定理验证是直角三角形，最后根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 11. 不等式组的解集为，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别解不等式，则 ， ；根据，可得，解出，；根据，即可． 【详解】解：∵不等式组， ∴ ， ； ∵， ∴， 解得：， ∴． 12. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点，，则经过顶点的反比例函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，根据角的和差关系得出，可证明，可得，，，即可得出，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 经过顶点的反比例函数表达式为， ∴， 解得：， ∴经过顶点的反比例函数表达式为． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 化简及解方程： （1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先处理括号内的整式部分，将其通分变为与括号内分式同分母的形式，合并括号内的运算；因为除法运算可转化为乘以除数的倒数，所以将除法改为乘法后，对分子分母的多项式进行因式分解，再约分得到最简结果． （2）先观察方程的形式，如果满足因式分解的特征，可优先用因式分解法求解；如果无法直接因式分解，可使用求根公式代入对应系数计算，或者使用配方法求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ， 或， 或． 14. 如图所示，可以自由转动的转盘被两条直径均匀分成了四个分别标有数字的扇形区域．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘A两次，用树状图或列表法求两次分别转出的数字之积为非负数的概率； （2）若改用转盘B进行上述操作，则转出的数字之积为非负数的概率是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转盘A是四等分，所以指针指向每个区域的可能性都相等，因此可以用列表法或树状图列举出所有等可能结果的总数，进而确定两次分别转出的数字之积为非负数的概率； 转盘B不是四等分，所以指针指向每个区域的可能性不相等，因此应先转化为等可能性，再分别将“”“”分成两等份，变为每转一次有6种等可能的结果，最后利用的方法求概率即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： 第一次 第二次 0 5 4 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 5 0 25 由列表可知共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之积为非负数的结果有12种， ∴P（两次转出的数字之积为非负数）=； 【小问2详解】 解：． 分别将“”“”分成两等份，则每转一次有6种等可能的结果，根据题意，列表如下： 第一次 第二次 0 0 5 4 4 2 0 0 4 4 2 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 25 由列表可知共有36种等可能的结果，其中两次转出的数字之积为非负数的结果有30种， ∴P（两次转出的数字之积为非负数）=． 15. 浮箭漏（如图①）是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到的数据如表所示： 供水时间 0 1 2 3 4 5 箭尺读数 6 12 18 24 30 36 （1）建立平面直角坐标系如图②，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请画出该一次函数的图象； （2）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 【答案】（1）见解析 （2）当箭尺读数为时是晚上 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）描点，连线即可； （2）根据待定系数法求出与之间的函数关系式，当时，求出对应的值，从而根据本次实验记录的开始时间求出当箭尺读数为时是几点即可． 【小问1详解】 解：描点，连线如图所示： 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 本次实验记录的开始时间是上午， 当箭尺读数为时是晚上． 16. 如图，四边形内接于圆，为圆的直径，点为弧的中点，的延长线上有一点，与圆相切于点，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，可得，再根据切线的性质，直角三角形两锐角互余，即可； （2）可证明，得到 ，根据等量代换，等角对等边，即可； （3）根据相似三角形的判定和性质，可得 ，推出，设，则，， ，得到 ，解出，即可． 【小问1详解】 证明：点为弧中点， ， ， 为圆直径，与圆相切于点， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：证明：如下 ，， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：为圆直径， ， ， ， 又， ， ， ，； 点为弧中点， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ． 17. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． （1）求a的值和抛物线的对称轴； （2）已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出a的值，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可； （2）求出当时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 把代入到中得，解得． ∴抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：令，得，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵， ∴， 即自动检票通道的总宽度为． 18. 在菱形中，是射线上一点，点在射线上（点不与点，重合）． （1）如图1，当时，连接，交于点，连接，若，求证：； （2）如图2，当时，连接，交于点，连接，，若，，求的长； （3）如图3，当时，连接，于点，连接，若，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、菱形的性质、线段垂直平分线的性质与判定证明，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的性质，解直角三角形，进行解答，即可． （1）连接，根据菱形的性质，推出，，，根据直角三角形中，两个锐角互余，可得 ，根据全等三角形的判定和性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可； （2）连接，根据菱形的性质，全等三角形的判定，证明得 ，得到，根据 ，，等量代换 可得，根据垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，可得是正三角形，最后根据菱形的性质，求出，根据，即可； （3）连接，，同理证明得，，根据垂直平分线的性质，，根据菱形的性质，求出，设，则，根据勾股定理得到，，同理，解出，根据，即可． 【小问1详解】 解：连接， 菱形，是对角线， ，，， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接， 菱形，、是对角线， ，，，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， 是正三角形， ， 菱形，是对角线，， ， 在中，， ， ． 【小问3详解】 解：连接，， 同（2）可得，， 于点， 为的垂直平分线， ， 菱形，， ， 设，则， 在中，， ， 同理， 即， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $