第38卷 平面向量的内积 -考点训练卷 -2027年江西省三校生对口升学《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的平面向量内积专项突破，聚焦考纲微目标拆解与综合应用，强化概念辨析到运算推理的逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|5是非题|内积本质/符号判定/特殊图形性质|从向量内积定义出发，辨析概念属性与几何意义| |基本运算|10选择填空题|夹角计算/模长公式/垂直条件|内积公式→夹角公式→模长公式的推导应用| |综合应用|3解答题|模长综合计算/三角形形状判定/分类讨论|概念与运算结合，解决几何图形中的向量关系|

编写说明：2027年江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》，严格依据《江西省“三校生”对口升学考试数学科目考试说明》，在近五年三校生升学考试数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》 第38卷 平面向量的内积 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：（本大题共5小题．每小题4分，共20分，对每小题的命题做出判断，对的选 A，错的选 B。） 1．两个向量的内积仍然是向量．………………………………………………………………………………………(A B) 2．在中，，则是锐角三角形.…………………………………………………(A B) 3．若，则或.  ．……………………………………………………………………………………(A B) 4．………………………………………………………………………………………………………(A B) 5．已知等边三角形的边长为2，则．…………………………………………………(A B) 二、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共 25分。 6．已知，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．若，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．已知向量的夹角为，，则（    ） A．3 B．9 C．12 D．13 10．正方形的边长为1，为的中点，则向量（    ） A． B． C．0 D．1 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知，且，则__________． 12．已知向量，则向量的夹角为______. 13．已知，若与垂直，则__________． 14．已知向量满足，则___________. 15．设平面向量，，若的的夹角为锐角，则的取值范围是__________.． 四、解答题：（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知，求． 17．已知、、是坐标平面上的三点，判断的形状． 18．已知， (1)若，求； (2)若，的夹角为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》，严格依据《江西省“三校生”对口升学考试数学科目考试说明》，在近五年三校生升学考试数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 江西省三校生对口升学考试《数学考纲百套卷》 第38卷 平面向量的内积 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：（本大题共5小题．每小题4分，共20分，对每小题的命题做出判断，对的选 A，错的选 B。） 1．两个向量的内积仍然是向量．(A B) 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义即可判断. 【详解】两个向量的内积是实数． 故选B. 2．在中，，则是锐角三角形.( ) 【答案】B 【分析】利用向量内积的定义分析得角是锐角，进而得以判断. 【详解】因为在中，，即， 所以，又，故角是锐角， 但无法确定另两个角是否都是锐角， 故不一定是锐角三角形，即该说法错误. 故选B. 3．若，则或.        ( ) 【答案】B 【分析】根据向量的内积中两个非零垂直向量的内积为进行判断. 【详解】若均为非零向量，且两者夹角为时，也成立. 故选B. 4．．( ) 【答案】B 【分析】根据向量的内积的运算律判断. 【详解】三个向量的内积的结合律不成立，即. 例如，设是两个互相垂直的单位向量，， ，则； ，则， ∵，∴. 故选B. 5．已知等边三角形的边长为2，则( ) 【答案】A 【分析】根据向量的内积运算易得答案. 【详解】等边三角形中，则向量的夹角为， 所以， 故选A. 二、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共 25分。 6．已知，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角的公式计算即可. 【详解】因为，且， ， 因为， 所以. 故选:B. 7．若，则与的夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，且，据此可得结论. 【详解】由题可知，， 所以且， 故夹角的取值范围是. 故选：D 8.已知向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 因为， 所以，， 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 9．已知向量的夹角为，，则（    ） A．3 B．9 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先利用向量内积的运算律化简，再由向量内积的定义计算即可. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以. 故选：D. 10．正方形的边长为1，为的中点，则向量（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】依题意建立直角坐标系，再利用向量的内积坐标表示即可得解. 【详解】以为原点、以边所在直线为轴、以边所在直线为轴建立直角坐标系，    则，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以. 故选：B. 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知，且，则__________． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】解：因为，且， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知向量，则向量的夹角为______. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示求得内积和模长，再根据内积的定义求得夹角的余弦，即可得到夹角. 【详解】∵向量， ∴，，， 令向量的夹角为，， 则，解得， 所以. 故答案为：. 13．已知，若与垂直，则__________． 【答案】 【分析】根据向量垂直得到对应坐标的关系，列出方程即可求解. 【详解】因为. 所以. 又因为与垂直. 所以，即. 所以. 故答案为：. 14．已知向量满足，则___________. 【答案】3 【分析】根据题意结合向量内积计算公式即可得解. 【详解】由，得，两边平方，得， 因为，所以，解得， 故答案为：. 15．设平面向量，，若的的夹角为锐角，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据与的夹角为锐角或，所以只需求出且不共线时的取值范围即可. 【详解】与的夹角为锐角，所以， 而时，方向相同，夹角为， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．已知，求． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及性质将展开后求出的值即可. 【详解】由，展开得： ，化简得； 又由于两向量的夹角范围为，所以. 17．已知、、是坐标平面上的三点，判断的形状． 【答案】等腰直角三角形． 【分析】根据题意可得、的坐标，进而得到，进一步可判断的形状． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 18．已知， (1)若，求； (2)若，的夹角为，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义求值即可. （2）根据向量内积的运算律运算即可. 【详解】（1）已知，， 若，则或， 当时，， 当时，， 所以或. （2）若，的夹角为， 则， ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $