2026年山西中考数学备考——方程及不等式的实际应用

**基本信息** 聚焦方程与不等式实际应用，通过生活情境问题构建数学模型，强化建模能力与应用意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程应用|1-11题|含速度/效率比较、价格变化、行程问题，需找等量关系列分式方程|从实际问题抽象等量关系→设元列方程→求解检验，体现模型意识| |一元二次方程应用|17-19题|增长率问题（产量、收入），涉及连续增长模型|基于增长规律建立方程，培养数学思维的逻辑性与推理能力| |不等式应用|12-16题|方案优化、费用控制、最值问题，需列不等式（组）求解|通过不等关系分析实际限制条件，发展应用意识与数据观念|

方程及不等式的实际应用 1．“翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读420页和300页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的1.2倍，结果乙同学比甲同学提前1天完成．求乙同学每天读书多少页？ 2．为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 3．某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 4．2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价提高了20%，同样用2400元购进的数量比第一次少10套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 5．峰谷分时电价是按高峰用电和低谷用电分别计算电费的一种电价制度．市电力公司为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，规定峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民汪萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为45元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 6．意大利著名数学家列昂纳多•斐波那契的著作《Liberabaci》一书中提出的“分钱问题”体现了中世纪商人日常交易中的数学应用，是斐波那契将印度一阿拉伯数字系统与实际商业问题结合的典型例证．用现代汉语翻译该问题大意如下：一组人平分10元钱，每人分得若干元；若再加上6人，共同平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数． 7．低空经济是国家“十五五”规划重点布局的战略性新兴产业．佛山某外卖平台启用无人机开展配送测试，市民小王在公园露营时，通过手机在该平台下单．一架无人机接收指令后从商家起飞执行配送任务，原本传统方式配送需行驶的5km行程，经无人机配送缩短至3km，配送时间也较传统方式节省12min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的3倍，求无人机的配送速度（单位：km/h）． 8．街头巷尾的小摊小店，藏着最动人的烟火气，也撑起了许多普通人的创业梦．地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者为摆地摊购进了瓦猫冰箱贴和野生菌冰箱贴两种商品，已知用450元购进的瓦猫冰箱贴数量比用200元购进的野生菌冰箱贴数量多10个，且瓦猫冰箱贴的单价是野生菌冰箱贴单价的1.5倍．求这两种冰箱贴的单价各是多少元？ 9．无人机技术正深刻变革农业生产模式，成为现代农业发展的关键助力．某公司计划批量制造无人机，总计完成90台的生产任务，项目启动后，研发团队优化算法与生产流程，实际每个月制造的无人机数量是原计划的1.5倍．若最终提前3个月完成任务，求该公司每个月实际制造的无人机数量． 10．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从A地到B地，路程为180km，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少30min，求该动车行驶的平均速度． 11．列分式方程解应用题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 12．某校计划租用客车，组织师生参加一次大型公益活动，每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值． 13．山西孝义皮影戏是国家级非物质文化遗产，其造型古朴、雕刻精湛，深受大众喜欢．某非遗体验馆计划定制一批皮影文创，用于研学活动和非遗文化推广．已知定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元． （1）求一个传统人物皮影和一个动物皮影的价格分别是多少元． （2）该体验馆计划定制两种皮影共70个，为丰富研学活动的展示内容，馆方希望在总费用不超过5100元的前提下，尽可能多定制传统人物皮影，求最多可定制多少个传统人物皮影． 14．学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示． （1）若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？ （2）若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？ 15．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有三种收费方式，详情见表： 收费方式 详细介绍 日卡 日卡一张30元（当天不限制文体活动时间） 会员卡 办卡需210元，每活动1小时收费4元 普通卡 进入文体中心要收取10元/日，可免费文体活动2小时，超过2小时后每小时需收费5元 （注：不足一个小时的按一小时计算） （1）小明打算这周六去文体中心活动5小时，最少需要花费　 　 元； （2）小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为x小时（x为正整数，且x＞2），对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，哪种更划算？ 16．某工艺品商店用2100元购进“年年有余风铃”和“平安福袋”两款室内装饰挂件．已知“年年有余风铃”每件14元，“平安福袋”每件10元；购进“年年有余风铃”的数量比“平安福袋”的数量多30个． （1）求该店购进这两款挂件各多少个？ （2）销售一段时间后，该店计划按原来的价格再购进这两款挂件共50个，且两款挂件的费用不超过600元，问该店主最多能购进多少个“年年有余风铃”？ 17．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为200吨，二月初水稻采收产量增至242吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． （1）求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． （2）按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 18．2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武BOT》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 19．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ 任务三 有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：设乙同学每天读书x页，根据题意可得： ， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解， 答：乙同学每天读书50页． 2．【解答】解：设姜老师上班时骑电瓶车的平均速度是每小时x公里，则姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时3x公里， 由题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝60， 答：姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 3．【解答】解：设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花（x+10）亩， 根据题意列分式方程得，， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原分式方程的解且符合题意． ∴乙型号为：x+10＝30（亩）． 答：甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩． 4．【解答】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是（1+20%）x元， 根据题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40 是原方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是40元． 5．【解答】解：设该市谷时电价为a元/度，则峰时电价为（a+0.2）元/度， 根据题意得：， 解得：a＝0.4， 经检验，a＝0.4是所列方程的解，且符合题意． 答：该市谷时电价为0.4元/度． 6．【解答】解：设第一次分钱的人数为x人， ， 解得：x＝2， 经检验：x＝2是原分式方程的解， 答：第一次分钱的人数为2人． 7．【解答】解：设传统方式的配送速度为xkm/h，则无人机的配送速度为3xkm/h， 由题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝60， 答：无人机的配送速度为60km/h． 8．【解答】解：设野生菌冰箱贴的单价是x元，则瓦猫冰箱贴的单价是1.5x元， 根据题意得：10， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝15， 答：野生菌冰箱贴的单价是10元，瓦猫冰箱贴的单价是15元． 9．【解答】解：设该公司每个月原计划制作无人机x台，则实际每个月制作无人机1.5x台， 由题意得：3， 解得：x＝10， 经检验：x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝15， 答：该公司实际每个月制作无人机15台． 10．【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则该动车行驶的平均速度为（1+50%）x km/h，30minh， 由题意得：， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是方程的根且符合题意， ∴（1+50%）x＝120（1+50%）＝180， 答：该动车行驶的平均速度180km/h． 11．【解答】解：设每套B型号的“文房四宝”的价格是x元，则每套A型号的“文房四宝”的价格是（1+30%）x元， 根据题意得：40， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意． 答：每套B型号的“文房四宝”的价格是100元． 12．【解答】解：设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆， 参加活动的师生人数为35×6+18×5+30＝210+90+30＝330（人）． 依题意得：18x+35（6+5﹣x）≥330， 解得：x． 又∵x为整数， ∴x的最大值为3． 答：租用小客车数量的最大值为3辆． 13．【解答】解：（1）设一个传统人物皮影的价格为x元，一个动物皮影的价格为y元，定制2个传统人物皮影和1个动物皮影共需200元，定制3个传统人物皮影和2个动物皮影共需320元．则： 由题意得，， 解得， ∴一个传统人物皮影的价格为80元，一个动物皮影的价格为40元． （2）设定制m个传统人物皮影， 由题意得，80m+40（70﹣m）≤5100， 解得：， ∵m取最大值，且为正整数， ∴m＝57， ∴最多可定制57个传统人物皮影． 14．【解答】解：（1）设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套， 由题意可得，， 解得， 即购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套， 答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套； （2）设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型（200﹣m）套， 由题意可得，99m+29（200﹣m）≤8000， 整理得，70m≤2200， 解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31， 答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套． 15．【解答】解：（1）分别计算三种收费方式的花费： 日卡：30元； 会员卡：5×4+210＝230元； 普通卡：（5﹣2）×5+10＝25元； ∵25＜30＜230， ∴最少需要花费25元． （2）设使用会员卡所收费用为y1元，使用普通卡所收费用为y2元， 则y1＝210+120x，y2＝[10+5（x﹣2）]×30＝150x 当y1＞y2时，则210+120x＞150x时，即x＜7， 当y1＝y2时，则210+120x＝150x，即x＝7， 当y1＜y2时，则210+120x＜150x时，即x＞7， 综上所述，当x＝7时，选择普通卡或会员卡都一样；当2＜x＜7时，选择普通卡更划算；当x＞7时，选择会员卡更划算． 16．【解答】解：（1）设购进“年年有余风铃”x个，“平安福袋”y个， 根据题意，得 解得 即购进“年年有余风铃”100个，“平安福袋”70个， 答：购进“年年有余风铃”100个，“平安福袋”70个； （2）设再次购进“年年有余风铃”m个，则再次购进“平安福袋”（50﹣m）个． 根据题意，得14m+10（50﹣m）≤600， 整理得，4m≤100， 解得m≤25． 因为m取整数，所以m的最大值为25． 答：该店主最多能购进25个“年年有余风铃． 17．【解答】解：（1）设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为x． 由题意得200（1+x）2＝242， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为10%． （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算可得： 242×（1+10%）＝242×1.1＝266.2（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到266.2吨． 18．【解答】解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x． 根据题意得2400（1+x）2＝4704． 解得x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去）． ∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为0.4＝40%， 4704×（1+40%）＝6585.6≈6586（万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为40%，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 19．【解答】解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得100（1+x）2＝144， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为20%； （2）设该零件的实际售价为m元， 由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000， 解得m＝50或m＝80． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴m＝50． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）设实际售价为n元， 由题意得（n﹣30）[600﹣10（n﹣40）]＝20000， 整理得n2﹣130n+5000＝0， ∵Δ＝（﹣130）2﹣4×1×5000＝﹣3100＜0， ∴方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/20 10:57:08；用户：试用；邮箱：hanm@xyh.com；学号：38871860 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $