培优专训(7) 相似三角形的判定&培优专训(8) 相似三角形与圆-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 培优专训（七） 相似三角形的判定 1.如图，在矩形ABCD中，F是BD上一点，E 是矩形外一点，且∠EAF=90°，∠EFA =∠BDA, (1)求证：△EAFcの△BAD: (2)若BE=1,AB=2,AD=3,求DF的长。 3.如图，矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在 边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH.若AB -2.5C-5,求6的雀。 D B H 2.如图，正方形ABCD中，E,F分别为边BC, CD上的点，AE,AF分别与BD交于点M, N,∠EAF=45°. (1)求证：AE=√2AN; D (2)求票的值。 M B7 跨单元整合 培优专训（八） 相似三角形与圆 1.(2024·眉山)如图，△ABC 3.(2024·贵州)如图，AB为半圆O的直径， 内接于⊙O,点O在AB上， 点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC AD平分∠BAC交⊙O于 与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于 D,连接BD.若AB=10,BD 点D,AC与OF相交于点E,DC=DE. =25,则BC的长为 (1)写出图中一个与∠DEC相等的角 【点拨】延长AC,BD交于E,证△BAD≌ ； △EAD,得BD=DE=2√5，利用勾股定理求 (2)求证：OD⊥AB: AD,再利用△ABD△BEC求BC. (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长. 2.(2024·南充)如图，在⊙O中，AB是直径 AE是弦，点F是弧AE上一点，AF=BE, AE,BF交于点C,点D为BF延长线上一 点，且∠CAD=∠CDA. (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)若BE=4,AD=2√5，求⊙O的半径长， B82.1)21.5解：(2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y=12 x十2 (x≥0)的图象如图所示.②不断减小(3)x>2 培优专训（五）反比例函数与新课标、新中考 1.A2.1(答案不唯一)3.①③4.(1)3(2)反比例y=86解：(3)由题可得，音调 x “ao对应频率/kHz为0.26，即y-0.26,将y-0.26代人y-86,可得吸管的长度≈ 331mm.答：音调“do”对应吸管的长度331mm. 培优专训（六）平行线分线段成比例定理 1C2B30414（2):点G是DE的中点，QG-吾，DQ∥EH品-8器 QH=QG=5:QD/BE/CR8器能=号PH=125.4PM 1 52 =QM85.76.C 培优专训（七）相似三角形的判定 1.(1)证明：.矩形ABCD,.∠BAD=90°.，∠EAF=90°，.∠BAD=∠EAF.又， ZEFA=∠BDA,△EAFn△BAD:(2)解：由D知△EAFn△BAD,B款- 0-器又：∠EAF=∠BAD∠EAB=∠DAR△EABO△FAD.小器-铝 “D号解得DF=是21)证明：连接AC:正方形ACD∠ACE=∠ADN =∠CAD=45°..∠EAF=45°，.∠EAF=∠CAD...∠EAF-∠CAF=∠CAD ∠CAF.即∠EAC-∠DAN.又：∠ACE=∠ADN,△ACE△ADN..AE=AC AN AD E.AE=EAN:(2)解：由1)知、-S-E.同理可证△CAF△BAM s=E.÷怎-点=E.又：∠MAN=∠PAE△PAB△MAN票-、 2.3.解：过点E作EN⊥CD于N,过点H作HM⊥AD于M.EN交HM于F,交GH 于P..∠GMH=∠DMH=∠ENF=90°..矩形ABCD,∴.∠A=∠B=∠C=90°，BC= AD=3.AD∥BC,AB∥CD..∠A=∠DMH,∠C=∠ENF..AB∥MH.EN∥BC..四 边形ETHB为平行四边形.：∠B=90,.□ETHB是矩形.∠ETH=90°，∠GHM+ ∠HPT=90°.又，∠EOH=90°，∴.∠FEN+∠EPO=90°.又，∠EPO=∠HPT, ∠FEN-∠GHM:∠GMH-∠ENF△EFN△HGM器-x:AB∥HM, BH四边形ABHM是矩形.∴，AB=MH=2.同理可证BC=EN=3.G月 EN 3 HM2 培优专训（八）相似三角形与圆 1.82.(1)证明：：AF=BE,∴∠ABF=∠BAE,:∠CAD+∠BAE+∠CDA十∠ABF =180°，且∠CAD=∠CDA,.∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE=180°.∴.∠OAD= ∠CAD+∠BAE=90°.即OA⊥AD.:OA是⊙O的半径，∴.AD是⊙O的切线.(2)解：连 接AF,:AF=BE,BE=4,AF=BE=4.:AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠AFB= 90°.∴.DF=√AD-AF=W(25)2-4=2,∠BAD=∠AFD=90°，∠D=∠D, △DAF△DAB贺-福“2子在AB-45.六O0的半轻是25.3.1 ∠DCE(2)证明：连接OC,:PC与半圆相切于点C,∴∠OCD=90°，∴.∠DCE+∠ACO =90°.：OA=OC,∴.∠A=∠ACO.∠DCE=∠DEC=∠AEO,∴.∠A+∠AEO=90°， ∠AOE=90°..OD⊥AB;(3)解：设OE=x,则AO=2x..EF=OF-OE=x..DE= DC=x+2,OD=2x+2.OC+CD=OD,∴.(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2.∴.x=4或x =0(不合题意舍去).∴.OD=10,OC=OB=8,CD=6.∠DOP=∠OCD=90°，∴.∠D+ ∠0c=∠D0c+∠coP=9o.∠D=∠coP.△cn0n△coR8器-80÷品 -.Op-4 .BP-OP-0B-1 培优专训（九）相似三角形的类比探究问题 1.(I)①AE=CD②解：AD=BD十DF.理由如下：：△BDE是等边三角形，.BD= DE.点C与点F关于AD对称，.CD=DF..AD=AE十DE,.AD=BD十DF;(2) —181