28.2.2 应用举例-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

28.2.2 第1课时与视 恐知识储备出++++ 如图，在进行高度测量时，视线与水平线所成的角 中，视线在水平线 的角叫仰角；视线在水 平线 的角叫俯角.如图，∠ABO是 ,∠CBO是 视线 水乎线0 视线 A基础练 》必备知识梳理 知识点一 利用解直角三角形解决简单问题 1.如图，钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线 BC长3√2m,某钓者想看看鱼钩上的情况， 把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水 面上的鱼线BC'为33m,则鱼竿转过的角 度是 A.60° B.45° C.15 D.90 67而 DE 第1题图 第2题图 2.【新课标·跨地理学科】如图，点A,B分别为 地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪 的平面交于点D,所成的角度约为67°，半径 OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为E 若DE=15cm,AD=14cm,则半径OA的长 为 cm.(结果精确到0.1cm,参考数据： sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36) 3.【教材P76练习T2变式】如图，某施工队沿 AC方向开山修路.为了加快施工进度，施工 队需在小山的另一边同时施工，从AC上的 一点B取∠ABD=120°，BD=520m,∠D= 应用举例 角有关的实际问题 30°，那么当另一边的开挖点E离点D多远 时，正好使A,C,E三点在一直线上？（√3取 1.732,结果取整数) 知识点二仰角、俯角问题 4.【新情境·科技信息】 (2024·长春)2024年5 月29日16时12分，“长 春净月一号”卫星搭乘 R 谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火 箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测 得点R到点A的距离为a千米，仰角为0，则此 时火箭距海平面的高度AL为 千米. 5.【教材P75例4变式】(2024·绥化)如图，用 热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球 上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°， 测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的 水平距离AD=50m,求这栋楼的高度（结果 保留根号). D 助学助教优质高数64 B综合练 骨关键能力提升一 6.(2024·盐城)如图，小明用无人机测量教学 楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的 点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°， 再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m 至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为 45°，则教学楼AB的高度约为 m.（精 确到1m,参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈ 0.80,tan37°≈0.75) Q 37 45 777777777777777777777777777777 7.图1是某款笔记本电脑的支架，它可以进行 角度调节，图2是它的平面示意图.已知AO =OB=22cm,当∠AOB=123°，∠B=159 时，用眼舒适度较为理想，求此时顶部边缘 A处离桌面BC的高度.（结果精确到1cm, 参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95， tan18≈0.32，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27) 图1 图2 65 九年级数学·下册 C素养练 学科素养培育 8.【一日一优】【新情境·安全出行】 超速容易造成交通事故，高速公路 管理部门在某隧道内的C,E两处 安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图 所示，图中所有点都在同一平面内，且A,D, B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离 分别为CD,EF,且CD=EF=7m,CE= 895m,在C处测得A点的俯角为30°，在E 处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A 行驶到点B所用时间为45s. 30°.C 45o:E D B (1)求A,B两点之间的距离（结果精确到1m); (2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽 车从点A行驶到点B是否超速？并通过 计算说明理由.（参考数据：√2≈1.4， √3≈1.7) 解题妙招 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤： (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解 直角三角形； (3)得到数学问题和实际问题的答案 综合与实践（三）探究太阳能热水器的安装 (2024·烟台)根据收集的素材，探索完成任务 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一 项发明，某品牌热水器主要部件太阳能板需要安 素材1 装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保 证使用效果，否则不予安装. sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 素材2 为a,冬至日时，14°≤a≤29°；夏至日时，43°≤a≤ sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.94 76°. sin76°≈0.97，cos76≈0.24，tan76°≈4.01 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西 两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面 ▣ 墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为 素材3 E 54m,甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层 --ar 从地面起，每层楼高皆为3.3m.AE为某时刻的 ▣ 大阳光线 甲B D乙 问题解决 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 日 任务一 确定使用数据 (填冬至或夏至)时，a为 (填14°，29°，43°，76°中的一个)进行 计算 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装 任务二 探究安装范围 该品牌太阳能热水器. A 月店 E 甲B D乙 助学助教优质高效 66 第2课时与方向 出知识储备出 方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的 90°的角. 如右图所示，目标方向线OA, OB,OC的方向角分别可以表 15 309 示为北偏东30°、 45°、 45°，其中南偏 东45°习惯上又叫做东南方向， 南 北偏西45°习惯上又叫做西北方向. ++++…+++十+++…十+十十十十十十”十十十”十 A基础练 必备知识梳理 知识点利用方向角解决实际问题 1.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在 河岸边相距200m的P,Q两点分别测定对 岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且 T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长) 可以表示为 () A.200tan70°m 乃 200 tan 705 m 200 C.200sin70°m D sin70°n 北 东 B 第1题图 第2题图 2.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西 走向的公路，现测得有一水塔（图中点A处） 在距离她家北偏东60°方向的500m处，那么 水塔所在的位置到公路的距离AB是() A.250m B.250√3m C.50m D.500√2m 3.如图，某人从点O沿北偏东30°的方向走了 20m到达点A处，点B在点O的正东方，且 在点A的正南方，则此时A,B间的距离是 m.(结果保留根号) 67 九年级数学·下册 角有关的实际问题 北 北1 43 OB东 >B 第3题图 第4题图 4.如图，海上B,C两岛分别位于A岛的正东和 正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时 的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此 时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A, B两岛之间的距离是 海里（结果精确 到0.1海里.参考数据：sin43°≈0.68，cos43 ≈0.73，tan43°≈0.93) 5.【教材P77练习T1变式】如图，灯塔A周围9 海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处， 测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6 海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向 上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没 有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530， cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈ 0.848,cos58°≈0.530，tan58°≈1.6) 北 东 C B B综合练 骨关键能力提升一 6.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到 码头C,货轮航行到A处时，测得码头C在北 偏东60°的方向上.为了躲避A,C之间的暗 礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°的方 向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏 东70°的方向航行40海里到达码头C.(参考 数据：sin50°≈0.766，c0s50°≈0.643，tan 50°≈1.192) (1)则∠ACB的度数是 (2)求货轮从A处到B处航行的距离（结果 精确到0.1海里). 北 B 1709 北 L60 30 A C素养练 卧学科素养培育口 7.【一日一优】(2024·重庆)如图，甲、乙两艘货 轮同时从A港出发，分别向B,D两港运送物 资，最后到达A港正东方向的C港装运新的 物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里 后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距 离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方 向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30 方向航行一定距离到达C港.（参考数据：√2 ≈1.41，W3≈1.73，W6≈2.45) (1)求A,C两港之间的距离（结果保留小数 点后一位)； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B,D 两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？ 请通过计算说明， D 西十东 30 南 160° A 459 609 解题妙招 解决方向角问题的“四点注意”： (1)经过不同点的南北线（或东西线）互相平行或 重合； (2)根据条件进行逻辑推理，如推出一个三角形是 直角三角形、等腰三角形等结论； (3)适当设未知数构建方程模型； (4)对于非直角三角形问题，一般是过固定目标点 作垂线构造直角三角形来解决.（注意不能过 特殊角的顶点作垂线，如T6) 助学助教优质高数 68 第3课时与坡 出知识储备出 如图，我们通常把坡面的 高度h和 宽度l的比叫做坡度（或 坡比)，一般用字母i表示，即i=tana= 这里，a是 与 的夹角，这个角 叫做坡角. A基础练 必备知识梳理一 知识点坡度、坡角问题 1.【概念辨析】(1)如图，修建抽水站时，沿着坡 度为i=1:6的斜坡铺设管道，下列等式成 立的是 () 1 1 A.sin a B.cos a= 6 6 C.tan a=6 D.以上都不对 ==0归 C 第1(1)题图 第1(2)题图 (2)【T1(1)变式】如图，某水库堤坝横断面迎 水坡AB的斜面坡度i=1：√3，则坡角度数 是 2.如图，一山坡的坡度为i= 1：3,小辰从山脚A出 i=1:5 发，沿山坡向上走了200m4 到达点B,则小辰上升了 m, 3.【教材P77练习T2变式】如图，某市高铁的 某段路基横断面为梯形ABCD,DC∥AB, BC=6m,试根据图中数据，求出坡角a,B的 度数和斜坡AD的长.（结果保留根号） D C i=1:w⑤ =1:1 69 九年级数学·下册 度有关的实际问题 4.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示 的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为 矩形，DE=10m,其坡度为i1=1：√3，将步 梯DE改造为斜坡AF,其坡度为i2=1：4, 求斜坡AF的长度.（结果精确到0.01m,参 考数据：√3≈1.732，√/17≈4.123) E 易错点○因对坡度的概念理解不透致错 5.【教材P78习题T5变式】在种植树木时，负责 人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m.如图，若在坡比为1：2的山坡上种树，那 么相邻两树A,C间的坡面距离AC为() 4 A.2/5mB.4m C.8m D.45 m B综合练 骨关镜能力提升一 6.如图，某校教学楼后面 B C 紧邻着一个山坡，坡上 面是一块平地，BC∥ 口口口口 AD,BE⊥AD,斜坡AB A D 长26m,斜坡AB的坡度为12：5.为了减缓 坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行 改造.经地质人员勘测，当坡角不超过50°时， 可确保山体不滑坡.若改造时保持坡脚A不 动，则坡顶B沿BC至少向右移约 2 时，才能确保山体不滑坡.（取tan50°≈l.2) 7.【新情境·地域文化】渔湾是国家“AAAA”级 风景区，图1是景区游览的部分示意图.如图 2,小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的 山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布， 再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C 处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到 C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少 米？（结果精确到0.1m)(参考数据：sin48° ≈0.74，c0s48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80) (二龙潭瀑布) 金鸡石 C 龙祈洞 龙门 莲花池 (三龙潭瀑布B对 二龙潭瀑布。 下山道 三龙潭瀑布●/ 飞雪石刻 三潭汲浪 九孔桥 人480 ● ·珍珠瀑 A(九孔桥) DP 游客服务中心 图1 图2 C素养练 学科素养培育一 8.【一日一优】西山公园要修建一个地下停车 场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中 斜坡的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面 的垂直高度CD=3.2m,一楼到地平线的距 离BC=1m. (1)为保证斜坡的坡度为1：3，斜面AD的长 度应为多少米？ (2)如果给该地下停车场送货的货车高度为 2.8m,那么按这样的设计能否保证货车 顺利进入地下停车场？并说明理由.（参 考数据：√10≈3.2) 一楼 B.入口.-A地平线 地下停车场 D 助学助优质高70基础练 DA(2D2解：在R△ABC中，:tan A-C行2-号.∠A=30.∠B=90 -∠A=60.inA=sm30-8S-2∴AB=2BC=2,6.∴∠A=80,∠B=60,AB =26.3.B4.C5.解：∠C=90°，∠B=45,∠A=90°-∠B=45.:sinB=b =sim45.h=c·im45°=82X2=8.:tanB=b=tan45°=1，a=b=8.∠A= 2 a 45,a=b=8.6.7或177.B8.69.510.解：1)：AD1BC.∠ADB=∠ADC -90.BD-AD-/1-6-8.tm ZACB-1-@D..CD-AD-6. BC=BD+CD=8+6=14:(2)AE是BC边上的中线CE=2BC=7.DE=CE CD=7-6=1.在Rt△AED中，AE=√/AD+DE=√G+1下=√37，∴.sin∠DAE= 器方得1疗部【过B作 C BD⊥AC,垂足为D.AB=c,∠A=a,.BD=c sin a, ∴Sac=合AC·BD=号e sin【应用】I)2E 图1 图2 (2)过点C作CE LDO于点E.“sin a-Co:在口ABCD中，AC=a,BD=b,CO= za,CE=7 a sin=CEBD=号×号a sin a·b=ab sin∴Sm 1 1 1 2SAucp=ab sin a. 重点突破专题（二）锐角三角函数与圆 1.D2.A3.D49556,1)证明：连接BD,0C.OD,:BC=DBC=BD ,OC=OD,.点O,B在CD的垂直平分线上..OB垂直平分CD.∴∠AFD=90°. ∠ADC=∠AEB,∴.CD∥BE..∠ABE=∠AFD=90°.∴.AB⊥BE.,'AB是⊙O的直 径，.BE是⊙O的切线；(2)解：⊙O的半径为2，∴AB=2×2=4.:AB是⊙O的直 径.∴∠ACB=90.BC=3∴AC=VAB-BC=√—3=7.∴tan∠ABC=C FS,:AC=AC,∠ADC=∠ABC.Y∠AEB=∠ADC,·∠AEB=∠ABC ∠AEB=tan∠ABC=F, 3 28.2.2应用举例 第1课时与视角有关的实际问题 知识储备 上方下方仰角俯角 基础练 1.C2.24.53.解：∠ABD=120°，∠D=30°，∴.∠AED=120°-30°=90°.在Rt △BDE中，BD-520m∠D-30casD-器-号DE-2005≈450(m.答：当另 一边上开挖点E离点D450m时，正好使A,C,E三点在一直线上.4.asin05.解：由 题意知，AD⊥BC,∠DAC=60°，∠DAB=45°，AD=50m,∴.∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ADC巾，im∠DAC-册=尽.：CD=5X50=50Bm在R△ADB巾，m ∠DAB=m45-0=1BD=AD=50Cm.CB=CD+BD=(50,5+50m,答：这 栋楼的高度为(50√3+50)m.6.177.解：过点A作AE⊥BC于点E,过点O分别作 OD LBC于点D,OF⊥AE于点F,则四边形ODEF为矩形，∴.OD=FE,∠FOD=90°.在 Rt△BOD中，∠B=15°，OB=22cm,.OD=OB·sinB≈22×0.26=5.72(cm).在Rt △AOF中，∠AOF=360°-123°-(90°-15)-90°=72，∴.∠A=90°-72°=18°..OA= 22cm,∴.AF=OA·cosA≈22×0.95=20.9(cm)..AE=AF+FE=AF+OD=20.9+ 5.72≈27(cm).答：顶部边缘A处离桌面BC的高度约为27cm.8.解：(1)根据题意，四 边形CDFE是矩形，∠CAD=30°，∠EBF=45°，DF=CE=895m.在Rt△EBF中，BF anBF7-70m.DB=DF-BF=895-7=8(m.在R△ACD中，AD EF 164 an∠CAD75≈1.9(m).AB=AD+BD=11.9+888≈900(m).答：A,B两点之间 CD 的距离为900m;(2),900÷45=20(m/s),.小型汽车每小时行驶20×3600= 72000(m),.72000m=72km,72<80,.小型汽车从点A行驶到点B没有超速. 综合与实践（三）探究太阳能热水器的安装 解：任务一：冬至14°任务二：过E作EF⊥AB于F,则∠AFE=90°，EF=54m,BF= AF DE,在Rt△AFE中，tana-E示AF=EF·an14≈54X0.25=13.5(m).AB=11 ×3.3=36.3(m),∴.DE=BF=AB-AF=36.3-13.5=22.8(m)..22.8÷3.3≈7 (层).答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器.想法二：题干中说品牌 热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用 效果，否则不予安装，而冬至日时，14°≤a≤29°，指一天当中的变化，所以任务一选择29°， 任务二结果为一、二层不能安装. 第2课时与方向角有关的实际问题 知识储备 小于南偏东北偏西 基础练 1.B2.A3.10√34.33.55.解：没有触礁的危险，理由如下：过点A作AD⊥BC于 D,设AD=x海里，由题意，得∠ABD=32°，∠ACD=45,BC=6海里，在Rt△ACD中， ∠ACD=∠CAD=45AD=CD=x海里在R△ABD巾，an∠ABD-品千6 0.625,解得x=10,经检验x=10是原方程的解，∴.AD=10海里.·10>9，如果船不改 变航线继续向西航行，没有触礁危险.6.(1)50°(2)解：过点B作BE⊥AC于E,在Rt △BBC中，BC=40海里，∠C=50,:smC-85BE=BC·sinC≈40X0,766=30.64 (海里).在Rt△ABE中，∠BAE=30°，则AB=2BE=2X30.64≈61.3（海里）.答：货轮从 A到B航行的距离约为61.3海里.7.解：(1)过点B作BE⊥AC,垂足为E,在R1 △ABE中，∠BAE=90°-45°=45°=∠ABE,AB=40海里，.AE=AB·cos45°=20√2 (海里)=BE.在Rt△BCE中，∠CBE=60°，.CE=BE·tn60°=20√2×√3=20√6（海 里).∴.AC-AE十CE=20√2+20√6≈77.2（海里）.答：A,C两港之间的距离约为77.2 海里；(2)甲货轮先到达C港，理由：由题意，得∠CDF=30°，DF∥AG,.∴.∠GAD=∠ADF =60°.∴.∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°.在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠GAD=30°， CD=号AC=(I0E+10,6)海里.AD=5CD=(I06+302)海里.在R△BCE中. ∠CBE=60°，BE=20V2海里，BCc060=40/2(海里.甲货轮航行的路程=AB +BC=40+40√2≈96.4（海里），乙货轮航行的路程=AD+CD=10√6+30√2+102+ 10√6=20√6十40√2≈105.4（海里）.：96.4海里<105.4海里，.甲货轮先到达C港. 第3课时与坡度有关的实际问题 知识储备 铅直水平么坡面水平面 基础练 1.(1)C(2)30°2.1003.解：过点D作DE⊥AB于E,过点C作CF⊥AB于点F.则 ∠AED=∠BED=∠CFA=∠CFB=9O°，.DE∥CF.又：CD∥AB,.四边形DEFC是 矩形.∴DE=CE在Rt△CBF中，i1=tanB,B=45°..CF=BC·sinB=6× 、8in4532(m)=DE.在R△AED中，i是=-号..e=30,“AD=2DE=2X 3√2=6√2(m).答：a,3分别是30°，45°，AD长62m.4.解：：DE=10m,其坡度为 =1:,B,∠DEC=30.在R△DCE中，DC=号DE=5m:四边形ABCD为矩形. AB=CD=5m:斜坡AF的坡度为=1：4部-子BF=MB=20n在Rr △ABF中，AF=√AB+BF=5√17≈20.62(m).答：斜坡AF的长度约为20.62m. 5.A6.107.解：过点B作BE⊥AP于E,则∠BEA=∠BEP=90°.在Rt△ABE中， ∠BAE=E.BE=AB sin∠BAE=92Xsin48≈92×0.74=68.08m.过点B作 BF⊥CD于F,则∠CDE=∠BFC=∠BFD=9O°.，四边形BEDF是矩形.，BE=DF= 68.08m,在RtACBF中，sin∠CBF-gC,∴CF=BCX sin∠CBF≈30×0.60=18,00 -165 m..DC=FD+CF=68.08十18.00=86.08≈86.1m.答：从A处的九孔桥到C处的二 龙源瀑布上升的高度DC约为861m8解：1)：斜坡的坡度为1：3铝-子.： BD=CD-CB=3.2-1=2.2(m),.在Rt△ABD中，AB=3BD=6.6m.故AD= √/BD+AB=J10BD≈3.2×2.2=7.04.答：斜面AD的长度应约为7.04米.(2)过点 C作CELAD.垂足为E,在R△ABD中，m∠ADB是RD音0，在 R△CDE中.sin∠CDE-8器CE=CD·sm∠CDE=3.2X高而≈3(m.:3>2 8,.货车能进入地下停车场. 模型构建专题（三）构造基本图形解直角三角形 1.1402.743.解：过点D作DE⊥BC,垂足为E,由题意，得AF BC,DE=AF,斜 AB的坡度i=3:4,F=号.·设AF=3xm,则BF=4rm,在Rt△ABF中，A /AF+BF=/(3x)2十(4.x)2=5x(m).在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20m,.∴.DE CD·sin18≈20X0.31=6,2(m.“AF=DE=6,2m,3x=6.2,解得：x.AB =5x≈10.3(m).答：斜坡AB的长约为10.3m.4.A5.解：(1)过点A作AH⊥PO于 点H,由题意，得AP-26m:斜坡AP的按度为1：24立-言设AH 5a,则PH=12a,AP=13a=26m.∴.a=2m,∴.AH=5a=10m.答：坡顶A到地面PO的 距离为10m.(2)延长BC交PO于点D,由题意得，CD=AH=10m,AC=DH,∠BPD= 45°，∠BAC=76°，设BC=xm,则BD=(x+10)m,在Rt△BPD中，∠BPD=45°，.BD =PD=(x+10)m,,PH=24m,∴.DH=AC=(x+10)-24=(x-14)m.在Rt△ABC x 中，tan76C=≈4.01，解得x之18,7，经橙验.x18.7是原方程的解且符合题 意.答：网络信号塔BC的高度约为18.7m.6.解：过点E作EF⊥CD,交CD的延长线 于点F,在R△DFE中，∠EDF=e=53an53-票≈专设EF=,则DF=8 .CF=CD+DF=(15+3x),由题意，得∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF,· △CFE0△CBA.能-器号53解得：=5，经检验：=5是原方程的解 4 .EF=4.x=20(m). 综合与实践（四）探究纸伞中的数学问题 任务一：证明：“AB=AC.AE=号AB,AF=号AC.AE=AK.又：AD=AD,DE= DF,∴.△ADE≌△ADF.∠BAD=∠CAD..AP是∠BAC的角平分线；任务二：解： AD'=50cm,AE=20cm,.DE=D'E=30cm.,∠BAC=120°，.∠EAD=60°.过点E 作EG⊥AD于点G,连接ED.在Rt△AEG中，AG=AE·cos∠EAG=20·cos60°=10 (cm).EG=AE·sin∠EAG=20·sin60°=10√/3(cm).在Rt△DEG中，由勾股定理，得 DG=√DE-EG=√600≈24.5(cm).∴.AD=AG+DG=34.5(cm).∴.DD'=AD'- AD=50一34.5=15.5(cm).答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5 cm;任务三：60cm. 第二十八章核心素养与跨学科融合专练 1.解：原式=2-+2×号-1=1.2.号53.284(1)20解：(2)由题可知0N =AC=10cm,NB=ON=10cm.又：∠DON=32..DN=ON·tan∠D0N= EC=21 10·tan32≈10X0.62=6.2cm..BD=BV-DN=10-6.2=3.8cm.答：B,D之间的 距离约是3.8cm. 第二十八章大单元整合与素养提升 1.C2.B3.14.D5.N61)解：原式=5×5+3×号-（号）=4.(2)解：原 式=3√2-1+1-√2=2√2.7.解：过点A作AD⊥BC于D.则∠ADB=∠ADC=90. 在R△ABD中.asB-0:BD=AB·os60=4X号=2.AD=V个-F-25 ERt△ADC中，tanC-号=tan45°=1.AD=CD=23.BC=BD+CD=2+2B 8.C9.5110.(150+150√/3)11.A12.15°或75°13.4+√7或4-√/714.C 15.解：过点E作EH⊥AD于点H,由题意可知，∠CEB=a=36.9°，EH=1.20m,四边 形CEHD是矩形，CE=DH.CE-Tan SG.≈。：君1.60(m,AH=AD-CE- —166