28 模型构建专题(3) 构造基本图形解直角三角形-【名师学案】2025-2026学年九年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 模型构建专题（三） 构造基本图形解直角三角形 模型一背靠背型及其变式 3.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如 模型展示 图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度 通过在三角形内作高AD,构造两个直角三角形 i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽 求解，两个直角三角形有一条公共边，图形变式如下： 平移 度BF的比.已知斜坡CD长度为20m,∠C =18°，求斜坡AB的长.（结果精确到0.1m) (参考数据：sinl8°≈0.31，cos18°≈0.95， d h D C D D' tanl8°≈0.32) 旋转 =3:4 1.(2024·甘孜州)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B 处距离A处的距离约为 海里.（参考 数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37° ≈0.75) 50° 63.69 1459 B 第1题图 第2题图 2.(2024·泰安)在综合实践课上，数学兴趣小 组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽 度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无 模型二母子型及其变式 人机.如图，无人机在河上方距水面高60m 模型展示 的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为 通过作高构造两个直角三角形求解，两个直角三 50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已 角形共用一条直角边和一个直角，图形变式： B 知瞭望台BC高12m(图中点A,B,C,P在 旋转 平移 D 同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为 A m.(参考数据：sin40° 5,sin63.6≈ B DC 平移 平移 9 10,tan506.tan63.6≈2) B D C D 71 九年级数学·下册 4.(2024·雅安)在数学课外实践活动中，某小 模型三拥抱型及其变式 组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在 模型展示 分别解两个直角三角形，其中公 A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方 共边BC是解题的关键， 向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么这 等量关系：在Rt△ABC和Rt△DCB 栋楼的高度为（人的身高忽略不计） () 中，BC=BC D 图形演变： 口口口口 D将△DEF D当点F与 沿BC平移4 点C重合4 30° 60° B(F)C(E) BF CE B C(F BF+FC+CE=BE BC+CE=BE A.25√3mB.25mC.25√2m D.50m 5.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网 6.(2024·河南模拟)如图，亮亮和聪聪两人在 络信号塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底 某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信 P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他 塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水 们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26m 平放置的小平面镜至点C处，此时亮亮在小 到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B 平面镜内恰好看到塔顶E,经测量，亮亮的眼 的仰角为76° 睛到地面的距离AB=4.8m,BC=7.2m, 求：(1)坡顶A到地面PO的距离： CD=15m,在点D处测得通信塔顶端E的 (2)网络信号塔BC的高度（结果精确到 仰角a为53°.已知点B,C,D在同一条水平 0.1m).(参考数据：sin76°≈0.97，cos76° 直线上，求塔顶E到水平地面的距离.（参考 ≈0.24，tan76°≈4.01) 数据：in37≈g,c0s37r≈号，an37≈， sim53≈号，co53≈g,tan53≈) P smmmmmmmti 请完成培优专训（十一）一（十三） 助学助教优质高敦 72m..DC=FD+CF=68.08十18.00=86.08≈86.1m.答：从A处的九孔桥到C处的二 龙源瀑布上升的高度DC约为861m8解：1)：斜坡的坡度为1：3铝-子.： BD=CD-CB=3.2-1=2.2(m),.在Rt△ABD中，AB=3BD=6.6m.故AD= √/BD+AB=J10BD≈3.2×2.2=7.04.答：斜面AD的长度应约为7.04米.(2)过点 C作CELAD.垂足为E,在R△ABD中，m∠ADB是RD音0，在 R△CDE中.sin∠CDE-8器CE=CD·sm∠CDE=3.2X高而≈3(m.:3>2 8,.货车能进入地下停车场. 模型构建专题（三）构造基本图形解直角三角形 1.1402.743.解：过点D作DE⊥BC,垂足为E,由题意，得AF BC,DE=AF,斜 AB的坡度i=3:4,F=号.·设AF=3xm,则BF=4rm,在Rt△ABF中，A /AF+BF=/(3x)2十(4.x)2=5x(m).在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20m,.∴.DE CD·sin18≈20X0.31=6,2(m.“AF=DE=6,2m,3x=6.2,解得：x.AB =5x≈10.3(m).答：斜坡AB的长约为10.3m.4.A5.解：(1)过点A作AH⊥PO于 点H,由题意，得AP-26m:斜坡AP的按度为1：24立-言设AH 5a,则PH=12a,AP=13a=26m.∴.a=2m,∴.AH=5a=10m.答：坡顶A到地面PO的 距离为10m.(2)延长BC交PO于点D,由题意得，CD=AH=10m,AC=DH,∠BPD= 45°，∠BAC=76°，设BC=xm,则BD=(x+10)m,在Rt△BPD中，∠BPD=45°，.BD =PD=(x+10)m,,PH=24m,∴.DH=AC=(x+10)-24=(x-14)m.在Rt△ABC x 中，tan76C=≈4.01，解得x之18,7，经橙验.x18.7是原方程的解且符合题 意.答：网络信号塔BC的高度约为18.7m.6.解：过点E作EF⊥CD,交CD的延长线 于点F,在R△DFE中，∠EDF=e=53an53-票≈专设EF=,则DF=8 .CF=CD+DF=(15+3x),由题意，得∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF,· △CFE0△CBA.能-器号53解得：=5，经检验：=5是原方程的解 4 .EF=4.x=20(m). 综合与实践（四）探究纸伞中的数学问题 任务一：证明：“AB=AC.AE=号AB,AF=号AC.AE=AK.又：AD=AD,DE= DF,∴.△ADE≌△ADF.∠BAD=∠CAD..AP是∠BAC的角平分线；任务二：解： AD'=50cm,AE=20cm,.DE=D'E=30cm.,∠BAC=120°，.∠EAD=60°.过点E 作EG⊥AD于点G,连接ED.在Rt△AEG中，AG=AE·cos∠EAG=20·cos60°=10 (cm).EG=AE·sin∠EAG=20·sin60°=10√/3(cm).在Rt△DEG中，由勾股定理，得 DG=√DE-EG=√600≈24.5(cm).∴.AD=AG+DG=34.5(cm).∴.DD'=AD'- AD=50一34.5=15.5(cm).答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5 cm;任务三：60cm. 第二十八章核心素养与跨学科融合专练 1.解：原式=2-+2×号-1=1.2.号53.284(1)20解：(2)由题可知0N =AC=10cm,NB=ON=10cm.又：∠DON=32..DN=ON·tan∠D0N= EC=21 10·tan32≈10X0.62=6.2cm..BD=BV-DN=10-6.2=3.8cm.答：B,D之间的 距离约是3.8cm. 第二十八章大单元整合与素养提升 1.C2.B3.14.D5.N61)解：原式=5×5+3×号-（号）=4.(2)解：原 式=3√2-1+1-√2=2√2.7.解：过点A作AD⊥BC于D.则∠ADB=∠ADC=90. 在R△ABD中.asB-0:BD=AB·os60=4X号=2.AD=V个-F-25 ERt△ADC中，tanC-号=tan45°=1.AD=CD=23.BC=BD+CD=2+2B 8.C9.5110.(150+150√/3)11.A12.15°或75°13.4+√7或4-√/714.C 15.解：过点E作EH⊥AD于点H,由题意可知，∠CEB=a=36.9°，EH=1.20m,四边 形CEHD是矩形，CE=DH.CE-Tan SG.≈。：君1.60(m,AH=AD-CE- —166