中考数学选择型压轴题丨最优解

中专数学 选泽型压轴题 最优解 聚集 二次函数、动点图像、几何折叠、圆综 合、相似解三角形、规律探究、新定义 代数含参 7大类21类核心题型 三年后上“强基”！ 中考数学选择型压轴题丨最优解 中考数学选择型压轴题必考 题型说明 1.二次函数压轴 抛物线系数符号、对称轴、最值、区间范围、多结论判断、一次+反比例综合； 1.二次函数图像与系数多结论判断 2.二次函数动点最值与区间范围 3.一次函数+反比例函数综合 2.动点函数图象 几何动，点生成面积/距离图象、折线运动、实际应用分段图象； 1.几何动点生成面积图像 2.折线运动距离类图象 3.分段函数实际应用图象 3.几何折叠翻折 矩形、正方形、三角形折叠，求线段长、角度、折痕； 1.矩形折叠计算 2.正方形折叠求值 3.三角形折叠角度与边长 4.圆综合压轴 垂径定理、切线性质、圆周角、多结论判断、隐圆最值、内切外接圆计算； 1.圆多结论正误判断 2.隐圆最值问题 3.圆与几何综合计算 5.相似解三角形 平行线相似、一线三等角、面积比、30°45°/120°特殊角求值； 1.相似三角形线段比值 2 2.一线三等角模型 3.特殊角解三角形 6.规律探究 数字数列、图形迭代、坐标周期循环，求第n项、第n个坐标； 1.数字数列规律 2.图形迭代规律 3.坐标周期规律 7.新定义代数含参 新定义函数几何、含参方程不等式、逻辑命题真假判断。 1.新定义函数几何 2.含参方程与不等式 3.逻辑命题多选判断 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题丨最优解 第一大类二次函数压轴 题型特征 以抛物线为载体，考查开口符号判断、对称轴性质、顶点最值、区间取值范围、 多结论辨析、一次函数与反比例函数综合。 解题技巧 1.开口向上>0，开口向下<0； 2.对称轴在y轴左侧、同号，对称轴在y轴右侧、异号； 3.抛物线与y轴交于正半轴>0，交于负半轴<0； 4.顶点纵坐标是函数整体的最大值或最小值； 5.函数值大小比较：图像在上方，函数值更大； 6.利用对称轴找对称点，代入解析式判断代数式正负。 3 4 小类1.1二次函数图象与系数多结论判断 真题1【2024·四川绵阳】 题干抛物线=2++开口向下，对称轴=2，与x轴一个交点在 (3,0)和(4,0)之间：①<0；②2+=0；③4+2+≥2++；④ 3+<0。正确个数() A.1 B.2 C.3 D.4 解题思路 先根据抛物线开口方向、对称轴位置判断、、符号，再利用对称轴公式推 导、数量关系，结合抛物线最值性质、对称性判断特殊点函数值正负，逐一验 证四个结论正误。 最优解法 1.开口向下，得<0；对称轴=2在y轴右侧，、异号，故>0；抛物 线交y轴正半轴，>0；一负两正相乘， <0,①正确。 2.由对称轴公式=-2=2，化简得=-4，代入2+=-2≠0，② 错误。 3.抛物线开口向下，顶点为最大值点，=2对应顶点，所以任意自变量x的 函数值，都不大于=2时的函数值，③正确。 4.对称轴为=2，则=-1与=5函数值相等；=5在右侧交点右边， 图像在x轴下方，函数值为负。将=-1代入得一+<0，再把=-4代入 化简，可得3+<0，④正确。综上①③④正确，共3个。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 答案：C 易错点 1.记错对称轴变形公式，误判2+=0； 2.搞反开口方向对应的函数最值； 3.不会利用抛物线对称点代值判断式子正负； 4.判断c的符号出现失误。 5 6 真题2【2023·安徽】 题千抛物线过(-1,0)，且4+2+=0：①+=0；②2-4>0： ③若>一，顶点在第二象限。正确的有（) 顶点 A(-1,0) A.①② B.①3 C.②③ D.①②③ 解题思路 将已知点代入抛物线解析式，联立等式推导、关系；由抛物线与轴交点个 数判断判别式符号；再结合对称轴位置判断顶点所在象限。 最优解法 1.把点(-1,0)代入解析式，得-+=0；结合条件4+2+=0，两 式相减消去c,整理化简得+=0，①正确。 2.抛物线经过（一1,0），又满足4+2+=0，说明抛物线与x轴有两个不 同交点，对应一元二次方程有两个不相等实数根，判别式△=2一4>0，②正 确。 3.由+=0得对称轴=，对称轴在y轴右侧，顶点横坐标为正数，不可 能在第二象限，③错误。 答案：A 易错点 1.不会联立等式消元推导、关系； 2.忽视两点确定两个交点，误判判别式； 3.算错对称轴位置，错判顶点象限。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类1.2二次函数动点最值与区间范围 真题1【2024·江苏苏州】 题干抛物线=-2+2+3，-2≤≤时最大值4，最小值-5，则m范 围() =-x2+2.x+3 A.1≤≤4B.-2≤≤1 C.1≤≤3 D.3≤≤4 解题思路 先配方确定抛物线顶点与最值，再求出函数值为最小值时对应的自变量，结合 给定区间左右端点，限定的取值范围。 最优解法 1.对解析式配方：=一（一1）2+4，顶点(1,4)是函数最大值点，要取到最大 值4，取值区间必须包含=1。 2.令=-5，解方程-2+2+3=-5，解得=-2和=4。题目区间左 端点固定为-2，若>4，最小值会小于-5，因此m最大取4。 3.综合得1≤≤4。 答案：A 易错点 1.忽略顶点位置，遗漏最小需大于等于1： 2.错求函数取最小值对应的自变量，误判上限； 3.混淆开口方向，搞反区间最值变化规律。 7 8 真题2【2023·湖南长沙】 题干抛物线=2-4+，0≤≤3最小值-3，则=() A.-6 B.-2 C.1 D.3 解题思路 先判断开口方向与对称轴位置，确定区间内最小值取得位置，再代入最值点坐 标列方程求解参数 最优解法 1.抛物线开口向上，对称轴为=2，对称轴落在区间0≤≤3内部，区间 最小值在对称轴=2处取得。 2.将=2，=-3代入解析式：-3=22-4×2+，逐步计算化简，解得 =10 答案：C 易错点 1.误判最值取值位置，错用区间端点代入计算； 2.配方或代数计算出错，导致参数求解错误。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类1.3一次函数+反比例函数综合 真题1【2024山东青岛】 题干直线=+1与双曲线=-交于A、B,A横坐标为1，不等式+ 1>-解集（) A.>1或-2<<0 B.>1 C.-2<<1 D.>1或<-2 解题思路 先求出交点坐标确定值，联立方程求出两交点横坐标，结合函数图象高低位 置确定不等式解集。 最优解法 1.把=1代入直线解析式，得=2，即A(1,2)；将A代入反比例解析式， 求得=2。 2.联立直线与反比例方程，解得交点横坐标为=1和=一2。 3.根据函数图像上下位置判断：直线图像在反比例图像上方时，对应自变量范 围为>1或-2<<0。 答案：A 易错点 1.忽略反比例函数≠0，直接合并区间出错； 2.分不清图象上下位置，解集区间写反。 9 10 真题2【2023·湖南株洲】 题干反比例函数y=与直线=一+5交于，两点，过点作1 轴，垂足为，则△=() y=-x+5 A.3 B.5 C.6 D.10 解题思路 利用反比例函数的几何意义直接求解，无需联立方程求交点。 最优解法 1.反比例函数=-有固定几何结论： 2.图象上任意一点与原点连线、向坐标轴作垂线，围成三角形面积： 21 3.本题=6，代入： 1 △ =2×6=3 4.跟一次函数解析式无关，不用求交点坐标。 答案：A 易错点 1.盲目联立解析式求点坐标，浪费解题时间； 2.记错面积公式，遗漏导致结果翻倍出错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第二大类动点函数图象 题型特征 几何图形上有动点沿边线匀速运动，带动图形面积、线段距离连续变化，判断 对应的函数图像走势。 解题技巧 1.动点每运动一段，对应图像一段变化； 2.面积、距离变大，图像上升；变小，图像下降；不变，图像水平； 3.匀速直线运动对应一次函数直线段，图形顶点、拐点处对应图像拐点。 11 12 小类2.1几何动点生成面积图象 真题1【2024四川成都】 题干如图，菱形ABCD边长为4，∠=60°，动点P从点A出发，沿折线 →→匀速运动。设点P运动的路程为x,△ 的面积为y,则下列能大致 反映y与x函数关系的图象是() A.先匀速上升，后匀速下降 B.先匀速上升，后保持水平不变 C.先增速上升，后水平不变 D.先匀速上升，再下降，再水平 解题思路 分两段讨论动点位置，结合三角形面积公式，依据底边与高的变化规律判断面 积变化趋势。 最优解析 1.在AB上运动：AD为定底边，高随x匀速增大，面积一次函数匀速上升； 2.在BC上运动：菱形中‖，点P到直线AD的距离不变，面积保持定 值不变。 3.综上：先匀速上升→后水平恒定， 答案：选B。 易错点 1.误判在段运动时面积减小； 2.混淆匀速变化与增速变化，错选增速上升选项。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023江苏扬州】 题干如图，Rt△ 中，∠=90°，=3， =4,动点从点出发， 沿向点匀速运动，过点作上，垂足为。设=，=，则 能大致反映与函数关系的图象是() A.从左到右单调递增的直线 B.从左到右单调递减的直线 C先递增后递减的折线 D.先递减后递增的折线 解题思路 利用直角三角形固定锐角三角函数值，建立线段之间的数量关系，判断函数增 减性与图象形状。 最优解析 1.在Rt△ 中，∠为定角，由三角函数： 2. ·sin,sin是定值，可得与成正比例一次函数。 3.从向运动， =逐渐变大， 随之一同均匀变短，图象为单调递 减直线。 答案选B 易错点 1.看错动点运动方向，误判线段变化趋势； 2.混淆三角函数边角关系，判断增减性出错。 13 14 小类2.2折线运动距离类图象 真题1【2024安徽】 题干正方形边长为2，动点从顶点 出发，按逆时针方向沿正方形四条边 绕行一周。设点运动的路程为，点到正方形中心的距离为，则能大致反映 与函数关系的图象是() A.四段完全相同，每段先减小后增大的光滑曲线 B.四段完全相同，每段先增大后减小的光滑曲线 C.四段水平直线交替变化 D.持续单调起伏无规律四段曲线 解题思路 结合正方形中心位置，分析动点在单条边上运动时，到中心距离的变化规律， 再推广至四条边整体趋势。 最优解析 正方形中心到各顶点、各边中点距离固定： 1.动点在任意一条边上：从顶点往边中点走，到中心距离逐渐减小； 2.从边中点往下一个顶点走，到中心距离逐渐增大； 3.四条边结构完全一致，所以整体是四段形状相同、每段先减后增的光滑曲线。 答案选A 易错点 1.搞反顶点、中点与中心的距离大小关系，颠倒增减趋势； 2.误认为距离为定值，错选水平直线图象。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023山东青岛】 题千如图，等边△ ，动点从三角形一个顶点出发，沿三边匀速绕行一周。 设点运动的路程为，线段的长度为，则能大致反映与函数关系的图象是 () A.三段形状相同，每段先减小后增大的对称曲线 B.三段形状相同，每段先增大后减小的对称曲线 C.三段单调上升直线 D.以上都不是 解题思路 分三段依次分析动点在三边运动时，线段的长度增减变化，对比选项判断 结果。 最优解析 1.第一段：从出发沿向移动 起点：=，=0， = = 过程：向中点移动时， 长度逐渐减小（到中点时，是等边三角形的 高，长度为，为这段最小值)： 继续向移动时，长度逐渐增大； 终点：=，=， == 这段函数图像是先减小后增大的对称曲线。 2.第二段：从出发沿向移动 起点：=， ， =0 过程：向移动时，长度逐渐减小； 15 16 终点：=，=2， =0。 这段函数图像是单调减小的曲线（不是先减小后增大）。 3.第三段：从出发沿向移动 起点：=，=2， =0。 过程：向移动时，长度逐渐增大； 终点：=， =3， = 这段函数图像是单调增大的曲线。 答案选D 易错点 1.误以为三边运动距离变化规律完全一致； 2.忽略动点不同路段下线段端点位置差异，统一判定为先减后增。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类2.3分段函数实际应用图象 真题1【2023·四川绵阳】 题干某蓄水池蓄水过程分为三个阶段：第一阶段：只进水、不出水；第二阶 段：进水口、出水口同时打开；第三阶段：只出水、不进水。下列能大致刻画蓄水 池蓄水量y随时间x变化的图象是() A.缓升→陡升→匀速下降 B.陡升→缓升→匀速下降 C.陡升→平缓不变→陡降 D.缓升→平缓不变→匀速下降 解题思路 根据进水、出水状态判断水量增减快慢，结合直线倾斜程度确定图象走势。 最优解析 1.只进水不出水：只进不出，水量增加最快，折线陡升； 2.进出水同时开：进水速率>出水速率，水量仍在增加但变慢，折线缓升； 3.只出水不进水：只出不进，水量匀速减少，折线匀速下降。 综上变化：陡升→缓升→匀速下降 答案：选B。 易错点 1.搞错单进水与双口同开的增速快慢； 2.误以为进出同开时水量保持不变。 17 18 真题2【2022·四川成都】 题干某市自来水公司收费标准： 设每月用水量为； 当≤103：按2元/3收费； 当10<≤203：超出103部分按3元/3收费； 当>203：超出203部分按4元/3收费。 设月水费为（元），若用水量为253，则水费为() A.50元 B.60元 C.70元 D.80元 解题技巧 找准分段界限，按量分层计价，分层算出费用再相加。 最优解析 我们可以分三段计算水费： 1.前103的费用：10×2=20元 2.103到203的部分（共103）：10×3=30元 3.超出203的部分（25-20=53)：5×4=20元 4.总水费：20+30+20=70元. 答案：选C。 易错点 1.全部水量统一用高价计算 2.算错每一段实际用水体积 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2020·山东青岛】 题干某快递公司收取快递费规则： 寄件重量在1以内（含1），统一收费8元： 重量超过1后，超出部分每增加0.5加收2元（不足0.5按0.5计 费)。 设快递重量为(>0)，快递费用为元，则能大致反映与函数关系的图 象是() A.从(0,8)出发，持续匀速上升的直线 B.0<≤1为水平线段，>1呈阶梯式上升的分段折线 C.从(1,0)出发，向右上方倾斜的直线 D.先下降后上升的曲线图象 解题技巧 先定区间定固定费用，再看计费单位，按档判断图像走势。 最优解析 1.0<≤1，费用固定8元，图象为水平线段； 2.>1,费用按0.5千克为单位分段加价，呈阶梯上升； 只有B符合实际计费图象特征。 答案：B 易错点 易当成正比例直线上升，忽略按重量区间阶梯收费的特点。 19 20 第三大类几何折叠与翻折 题型特征 以矩形、正方形、三角形翻折为背景，利用折叠前后图形全等、边角对应相等， 结合勾股定理求解线段长度、角度大小。 解题技巧 1.折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等； 2.求未知线段常设边长为x,用相等关系表示其余线段； 3.构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解； 4.角度计算利用等角代换、三角形内角和、外角性质推导。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类3.1矩形折叠计算 真题1【2024湖南长沙】 题干矩形 中，=5， =3,将△沿折叠，点落到点处， 交于点，则=() A.1.6 B.2 C.2.4 D.2.5 解题技巧 矩形折叠优先找等角证等腰，再设未知数，利用直角三角形勾股定理列方程求 解。 最优解法 1.折叠得∠ ,由‖ 得∠=∠ 2.推出∠ =∠，等腰三角形得 =。 3.设=，则=5-，=5-， =3。 4.在△中： 32+2=(5-)2=25-10+2。 16 =10=1.6 答案：A 易错点 分不清折叠后相等角与相等线段，设边错误，勾股定理列式颠倒直角边与斜 边。 21 22 真题2【2023·江苏扬州】 题干矩形 中，=4， =6,将△ 沿折叠，点落到处， ”交于点，则 的长为() ⊙ A号 B号 C.3 D.4 解题技巧 折叠题利用平行+等角转化证等腰线段相等，设未知边长，借助直角三角形 勾股定理建立方程求解。 最优解法 1.折叠性质：∠ =∠ 2.矩形性质： ，∠ =∠ 3.等量代换得∠· =∠ ,·BE=DE 4.设=，则 =6-, =4 5.在△中，由勾股定理： 2+2=242+(6-)2=216+36-12+2=252=1 2=3 3 答案：A 易借点 混淆折叠后对应角、看错直角三角形边长，整理方程时移项计算出错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类3.2正方形折叠求值 真题1【2024·安徽】 题干：正方形 边长为6，点E在AD边上，点F在CD边上。为中 点，将正方形沿折叠，使点落在边上的点处。则的长为( D A号 B C.4 D.5 解题技巧 抓住折叠前后线段相等，结合正方形直角构造直角三角形，设未知数用勾股定 理列方程求解。 最优解法 1.由折叠性质： 2.正方形边长为6，是中点，·=3 3.设=，则 =6- 4.在△中： 2十 2=2,即： 32+(6-)2=2 解得：又-号 5 答案：A 易错点 弄错中点分得线段长度，列勾股方程时边长对应错误，解方程移项计算失误。 23 24 真题2【2023山东青岛】 题千正方形边长为8，点E在AB边上，点F在CD边上。将顶点沿EF折叠， 折叠后点C落在边中点处，则折痕的长为() D A.4V5 B.8V2 C.5v3 D.10 解题技巧 正方形折叠遇求折痕长，常作垂线构造全等直角三角形，转化边长后用勾股定 理计算。 最优解法 1.设正方形 为竖直边， 、为水平边，边长8。 2.是中点，· =4。 3.连接 ，由折叠性质可知： 4.过点作1 于，易证△ 兰△ 5.可得 =8, =4。 6.在Rt△ 中： =V82+42=4V5 答案：A 易错点 不会利用折叠垂直关系构造全等，混淆对应边，根号化简出错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类3.3三角形折叠角度与边长 真题1【2022广东】 题干在Rt△ 中，∠ =90°，∠=30°，点在边上，将△ 沿 折叠，使点恰好落在边上的点处，则上 '的度数是() B ⊙ A.20°B.30°C.40°D.50° 解题技巧 折叠优先锁定相等角度，结合直角三角形角度关系与外角定理快速求角 最优解法 解析 1.在Rt△ 中，∠=30°，∠=90°，得∠=60°； 2.由折叠性质：△ 兰△‘，·∠'=ㄥ=60°； 3.∠·是△ '外角，上·=上+人； 4.代入得：60°=30°+∠，解得2 =30°。 答案：B 易错点 记错30°直角三角形内角度数，不会灵活运用外角公式推导角度。 25 26 真题2【2022·四川南充】 题干如图，边长为6的等边△ ,点在上，点在上，将△ 沿 折叠，使点落在边上的点‘处，已知 '=2,则·的长度为() A M B y A.2B.3C.4D.5 解题技巧 等边三角形折叠题，先抓60°等角，借助折叠等角证相似，利用相似比求线段 长。 最优解法 1.等边△ ,边长为6，∠=∠=∠=60°，·=6-2=4； 2.折叠得：·=，∠’=∠=60°； 3.证△ 一△·，结合边长关系推导得·=4。 答案：C 易错点 不会利用60°角推导相似关系，混淆对应边比例导致计算错误。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第四大类圆综合压轴 题型特征 考查垂径定理、圆周角定理、直径直角性质、切线性质，结合隐圆轨迹、线段 最值、几何边长计算。 解题技巧 1.直径所对的圆周角为90°； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等； 3.直径垂直于弦，平分弦且平分弦所对的两条弧； 4.遇到切线连接过切点的半径，半径与切线互相垂直； 5.定点定长、定角对定线段可构造隐圆； 6.圆外一点到圆上点最值：圆心距加半径为最大值，圆心距减半径为最小值。 27 28 小类4.1圆多结论正误判断 真题1【2024·四川绵阳】 题千AB是⊙O直径，CD是弦，AB⊥CD于E,下列：①CE=DE;②弧AC= 弧AD;③∠ACB=∠ADB;④CE=AE。正确有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题技巧 熟记垂径定理、直径圆周角性质，逐一对照结论快速判定对错。 最优解法 1.根据垂径定理：直径垂直于弦，必定平分弦、平分弦所对的弧，故①②正确。 2.同一段弧所对的圆周角相等，故③正确。 3.CE是弦的一半，AE是直径上的一段线段，无必然相等关系，④错误。综上 共3个正确。 答案：C 易借点 主观认为垂直分割线段就相等，误判CE=AE成立。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·安徽】 题干如图，、 为⊙ 的两条切线，、为切点，连接 交⊙ 于点 ，连接、 ○ 有下列结论： A.= B. 平分∠ C.四边形 有外接圆 D. 其中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题技巧 熟练运用切线长定理、切线垂直半径、圆的对称性、四点共圆判定逐一判断。 最优解析 1. = 切线长定理：圆外一点到圆的两条切线长相等，①正确。 2.平分∠ 切线性质：圆心与圆外一点的连线，平分两切线夹角，②正确。 3.四边形 有外接圆 是切线→∠ =∠ =90°，∠+∠=180°，对角互 补，四点共圆，③正确。 4.= 29 30 图形关于直线 轴对称，、关于 对称，对称线段相等，=，④ 正确。 四个结论全都正确。 答案：D 易错点 想不到直角对角互补证共圆，忽略圆轴对称性质误判线段不等。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类4.2隐圆最值问题 真题1【2024江苏苏州】 题干矩形ABCD,AB=2,BC=3,P在矩形内且∠ =90°，则PC最小值为 （) 90 A.5-1 B.5 C.2 D.3 解题技巧 见直角定角找隐圆，直径定轨迹，利用点到圆心距离减半径求线段最小值。 最优解法 1.固定线段AB,动点P满足∠=90°，由圆周角定理，P的轨迹是以AB 为直径的隐圆。 2.取AB中点为圆心，计算圆心到点C的距离，再减去圆的半径，即可得PC 最小值V5-1。 答案：A 易错点 不会识别定弦定角隐圆模型，误用普通几何方法求解。 31 32 真题2【2023·湖南长沙】 题干Rt△ABC,∠ =90°，=4，=3，点P满足AP=2,则BP最小值 为() ●力 A.3 B.4 C.5 D.6 解题技巧 定点定长直接定隐圆，利用点到圆最值口决：近减远加快速求值。 最优解法 1.定长定点模型： =2,动点轨迹是以点为圆心，2为半径的圆； 2.由勾股定理得： =V32+42=5; 3.圆外一点到圆上最短距离=圆心距-半径，即 最小=5-2=3。 答案：A 易错点 分不清最短、最长距离公式，容易错用加法计算。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类4.3圆与几何综合计算 真题1【2024山东青岛】 Rt△ABC,∠=90°，内切圆半径r=1,AB=5,则△ABC周长为() A.12 B.13 C.14 D.15 解题技巧 熟记直角三角形内切圆半径公式，直接求出两直角边之和，快速算周长。 最优解法 1.直角三角形内切圆半径公式：r=a+书-c 2 2.代人=1，=5： + +=7 3.周长=++=7+5=12 答案：A 易错点 记错内切圆半径公式，混淆普通三角形与直角三角形内切圆公式。 33 34 真题2【2023四川成都】 题千已知等边△ 的边长为6，则它的外接圆半径为(） 0 A.2V3 B.3 C.3v2 D.4 解题技巧 等边三角形外接圆半径直接套用=号，代入边长秒算。 最优解法 1.等边三角形高： 3 6=2×6=3N3 2.等边三角形五心合一，外接圆半径为高的： 2 2 =号4=号×35=25 答案：A 易错点 混淆外接圆与内切圆半径比例，错用1：2份数计算。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第五大类相似与解三角形 题型特征 考查相似三角形判定定理、对应边长比、面积比；结合平行线模型、一线三等 角模型、30°/45°/120°特殊三角形求解边长。 解题技巧 1.平行线可直接推出三角形相似： 2.相似三角形对应角相等、对应边成比例，列比例式即可计算； 3.相似三角形面积比等于对应边长比的平方； 4.一线三等角结构，可直接判定两三角形相似： 5.特殊三角形先拆分角度，再利用边角关系推导边长。 35 36 小类5.1相似三角形线段比值 真题1【2024安徽】 题干平行四边形ABCD,E为BC中点，AE交BD于F,则：=() D A.1:2 B.1:3 C.23 D.1:4 解题技巧 遇平行四边形内相交线段，直接利用平行线证相似，用边长比例求线段比。 最优解法 1.平行四边形对边平行， 2.两直线平行，内错角相等，得到两组对应角相等，可证△ ∽△ 3.E是BC中点， = ,;平行四边形中=，所以：=1：2。 4.相似三角形对应边之比相等，因此：=1：2。 答案：A 易错点 看错中点位置，颠倒前后线段比例。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·江苏扬州】 题干：△ABC中，D在AB上、E在AC上，DE II BC,AD:DB=2:3,则 △：四边形 =() A.4:25 B.421 C.23 D.49 解题技巧 平行线直接证相似，先求整体边长比，利用平方关系算面积比，再作差求图形 面积比。 最优解法 1.由Ⅱ，同位角相等，可证△ ~△ 2.由： =2:3,设整条边 =5,边长比：=2：5。 3.相似三角形面积比为边长比的平方，得△：△ =4:25。 4.把大三角形面积看作25份，小三角形占4份，剩余梯形面积为21份，比值 为421。 答案：B 易错点 直接用2：3平方算比值，忘记换算成整条线段之比。 37 38 小类5.2一线三等角模型 真题1【2024·湖南长沙】 题干△ ,∠=90°，在上，在上，∠=∠， =6, =8,AD=4,则=( A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.6 解题技巧 找准两组相等角判定相似，先求直角三角形斜边，套用相似对应边比例直接计 算线段长。 最优解法 1.在△ 和△ 中： -∠=∠（公共角） -∠ =∠（已知） 根据两角对应相等的判定定理，可得： △ △ 2.计算AC的长度 在Rt△ 中，∠=90°，=6， =8, 由勾股定理： =√ 2+2=V62+82=V36+64=V100=10 3.利用相似三角形的性质列比例式 因为△ ∽△ ,所以对应边成比例： 代入已知数据： 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 6=10 解得： =0=酷=号=24 答案：A 易错点 找错相似三角形对应边，比例式列反导致结果出错。 39 40 真题2【2023山东青岛】 题干等腰Rt△ABC,∠=90°，点D、E在AB上，∠=45°，CD比CE 为() A.1:V2 B.1:1 C.V3:1 D.2:1 解题技巧 等腰直角三角形内含45°角题型，常用旋转全等构造等量关系，快速证线段相 等。 最优解法 1.已知等腰Rt△ABC,∠C=90°，所以AC=BC,∠A=∠B=45°。 又因为∠DCE=45°，所以∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°。 2.我们可以用旋转法来证明： 将△BCE绕点C顺时针旋转90°，使BC与AC重合，得到△ACF。 此时： CF=CE,∠ACF=∠BCE,∠CAF=∠B=45°。 ∠DAF=∠A+∠CAF=45°+45°=90°。 ∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=45°=∠DCE. 3.在△DCE和△DCF中： CD=CD ∠DCE=∠DCF CE=CF 所以△DCE兰△DCF(SAS),因此CD=CE,即CD:CE=1:1。 答案：B 易错点 仅凭点位位置主观判断线段长短，忽略旋转推导得出的等量关系。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类5.3特殊角解三角形 真题1【2024四川绵阳】 题干△ABC中，∠=30°，∠=45°，=4，则BC=() 30 45入.B A.2V2 B.23 C.4 D.v6 解题技巧 等腰直角三角形含45°角题型，常用旋转全等构造相等角与相等线段，快速证 边相等。 最优解法 过点C作上，将原三角形拆分为两个直角三角形。 ●30 45△。B 在含30°的Rt△ACD中，30°对的直角边为斜边一半，得CD=2。 在含45°的Rt△BCD中，两直角边相等，BD=CD=2。 由勾股定理得 =V22+22=2V2 答案：A 易错点 主观凭位置判断线段长短，忽略旋转全等后的等量关系。 41 42 真题2【2023·安徽】 题千菱形边长为5，一个内角120°，较短对角线长为（) A.5 B.5v3 C.10 D 解题技巧 菱形有60°内角，必出等边三角形，短对角线直接等于边长。 最优解法 菱形邻角互补，一个内角120°，相邻内角为60°。 较短对角线正对60°内角，与菱形两条邻边围成三角形。 该三角形两边都是菱形边长5，夹角60°，为等边三角形。 等边三角形三边相等，故短对角线长度等于边长5。 答案：A 易错点 混淆长短对角线对应角度，误把长对角线长度当作答案。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第六大类规律探究 题型特征 分数字数列规律、图形个数规律、坐标循环周期三类；通过列举前几项，分析 增减变化、循环周期，求解第n项、第n个图形、第n个点坐标。 解题技巧 1.数字数列：列举前3项，看差值、倍数，推导通用公式； 2.图形规律：数前3个图形数量，看每次增加个数，套用等差通项； 3.坐标周期：先确定循环节点个数，用总数除以周期，由余数确定位置。 43 44 小类6.1数字数列规律 真题1【2024·江苏苏州】 题干数列：1,3,6,10,15…第n项为() A.(+1) D.(-1) 2 B.2 C.2-1 2 解题技巧 识别三角数数列，直接套用连续自然数求和公式即可。 最优解法 1.列举前几项：第1项1，第2项1+2，第3项1+2+3，第4项1+2+3+4。 2.规律：第n项等于从1开始连续n个自然数相加。 3.自然数求和公式：第n项=(+D 2 答案：A 易错点 记反公式分子顺序，选错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·湖南长沙】 题干数列：2,4,8,16…第10项为（) A.512 B.256 C.1024 D.2048 解题技巧 成倍增长数列为等比数列，底数不变，项数为指数直接计算。 最优解法 1.观察数列：第1项21，第2项22，第3项23，第4项24。 2.规律：第n项为2的n次方。 3.第10项：210=1024。 答案：C 易错点 数错项数，代入指数出错。 45 46 小类6.2图形迭代规律 真题1【2024山东青岛】 题干正方形逐层摆放，第1层1个，第2层5个，第3层9个…第n层个数 为() A.4-3 B.4+1 C.2 D.2-1 解题技巧 图形数量依次等差递增，直接用等差数列通项公式推导。 最优解法 1.列举数量：第1层1，第2层5，第3层9，后一层比前一层恒多4。 2.数列为首项1、公差4的等差数列。 3.代入等差通项公式，得个数=4一3。 答案：A 易错点 搞错首项对应关系，写错常数项。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·四川成都】 题千三角形点阵，第1层1个，第2层3个，第3层5个…第n层点数（) A.2-1 B.2+1 C.n D.2 解题技巧 图形点数依次加2，直接套用奇数通项公式即可。 最优解法 1.列举每层点数：1、3、5，为连续奇数。 2.每一层比上一层多2个，符合奇数数列特征。 3.连续奇数通用通项：第n层点数=2-1。 答案：A 易错点 混淆奇偶数列通项，误写成2+1。 47 48 小类6.3坐标周期规律 真题1【2024安徽】 题干：在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，按照 (1,0)→(1,1)(2,1)→2,0)→3,0)→3,1)→4,1)→4,0)…**的顺序依次循环运动，则第 2025个点的坐标是(） A.(1013,0) B.(1012,1) C.(1013,1) D.(1012,0) 解题技巧 先锁定周期长度，用总数除以周期看余数定纵坐标，再根据组数推算横坐标。 最优解法 1.周期：4个点一组； 2.2025÷4=506组余1，余数1对应周期第一个点，纵坐标为0； 3.506组走完横坐标1012，再加1得横坐标1013。 答案：A 易错点 算错周期对应横坐标数值，混淆余数对应的点位特征。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题丨最优解 真题2【2023·江苏扬州】 题干：动点沿矩形边框按固定路径循环绕行，运动规律为每8步回到起点，保 持此周期持续运动，则第2024步时动点的坐标是() A.起，点初始坐标 B.边上某一固定点坐标 C.另一顶点坐标 D.周期内中点位置坐标 解题技巧 周期余数为0直接判定回归起点，快速锁定答案。 最优解析 1.确定周期：运动周期为8步； 2.列式计算： 2024÷8=253余0 3.周期规律：余数为0，代表刚好走完整数个完整周期，动点回到起始起点位 置。 答案：选A 易错点 误把余数0当成周期最后一个非起点点位，判断位置出错。 49 50 第七大类新定义与代数含参 题型特征 以新定义概念、含参数一元二次方程、不等式组、命题真假判断为载体，仅用 课本基础知识，点即可逐步推理求解。 解题技巧 1.新定义题严格按题干字面规则代入套用，不主观臆造理解； 2.一元二次方程判别式△决定根的个数； 3.不等式组无解，即数轴上两个取值范围无重叠区域： 4.命题真假可通过举反例快速判断。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类7.1新定义函数几何 真题1【2024·湖南株洲】 题干：定义：横纵坐标相等的点叫“美好点”，下列有美好点的是（) ①=2-1② )=2-2 ③=4 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解题技巧 新定义点坐标相等，直接令y=x联立方程，有实数根即存在对应点。 最优解法 1.我们先明确“美好点”的定义：横纵坐标相等，也就是=。 2.我们把=分别代入三个函数，看是否有解： ①=2-1 代入=： =2-1 解得：=1，此时=1，所以有美好点(1,1)。 ②=2-2 代入=： =2-2 整理得：2-3=0 (-3)=0 解得：=0或=3，对应美好点(0,0)和(3,3)，所以有美好点。 ③=4 代人=： =4 整理得：2=4 解得：=2或=-2，对应美好点(2,2)和(-2，-2)，所以有美好点。 3.综上，①②③都有美好点 51 52 答案：D 易错点 解分式方程忘记验根，误判反比例函数无符合条件的，点。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·四川绵阳】 题干：定义“相伴函数”：两函数图象有唯一公共点，下列互为相伴函数的 是( A.=与=+1 B.=2与=2-1 C.=1与= D.=-2与=1 解题技巧 紧扣唯一交点定义，联立方程看解的个数，重根算唯一交，点。 最优解法 核心判定：联立解析式，方程只有一个实数解即为相伴函数 A:两直线斜率相等平行，无交点，排除 B:联立2=2-1，整理得(-1)2=0，仅有唯一解，符合定义 C:联立得2=1，两解两个交点，排除 D:一2=1无实数解，无交点，排除 答案：B 易错点 分不清无交点、一个交点、两个交点的判定方法。 53 54 小类7.2含参方程与不等式 真题1【2024安徽】 题干：关于x的方程2-2+=0有两个不相等实数根，则m取值范围 () A.<1 B.>1 C.≤1 D.≥1 解题技巧 牢记判别式取值规则，不等根△>0，相等根△=0，无实根△<0。 最优解法 1.一元二次方程有两个不相等实数根，等价于判别式△>0。 2.计算判别式：△=(-2)2-4×1×=4-4。 3.列不等式4-4>0，化简得<1。 答案：A 易错点 不等号方向写错，混淆取值范围。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·江苏苏州】 题千：不等式组{之3无解，则a取值范围() A.≥3 B.≤3 C.>3 D.<3 解题技巧 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 最优解法 1.>表示数轴上a右侧所有数，<3表示3左侧所有数。 2.不等式组无解，说明两个范围没有重叠部分。 3.当≥3时，两段范围无交集，不等式组无解。 答案：A 易错点 漏掉等号，误选>3。 55 56 小类7.3逻辑命题多选判断 真题1【2024·湖南长沙】 题干：下列命题正确个数()》 ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②圆周角等于圆心角的一半； ③一元二次方程有实根则△≥0。 A.0 B.1 C.2 D.3 解题技巧 区分定理与假命题，牢记实数、几何基础概念。 最优解法 1.是课本定理，表述正确； 2.缺少“同一段弧”前提，任意圆周角与圆心角无此关系，命题错误： 3.一元二次方程有实数根，判别式必定大于或等于0，表述正确。综上共2个 正确命题。 答案：C 易错点 认为无限小数都是无理数，混淆概念。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023山东青岛】 题千下列命题中，属于真命题的是( ) A.相等的角是对顶角 B两直线平行，同旁内角相等 C垂直于同一直线的两直线平行 D.等角的余角相等 解题技巧 牢记几何定理完整条件，抓准易错限定词快速排除错误选项。 最优解析 A选项：相等的角不一定是对顶角，如两直角相等但不一定是对顶角，假命题。 B选项：两直线平行，同旁内角互补，不是相等，假命题。 C选项：缺少在同一平面内的前提，空间中垂直于同一直线的两条直线可能异 面、相交，假命题。 D选项：若∠=∠，则90°一∠=90°一∠，等角的余角一定相等，真 命题。 答案：D 易错点 忽略平面几何前提、混淆平行线性质结论。 57