中考数学选择型压轴题丨最优解

中吉数学 选泽型压轴题 最优解 聚集 二次函数、动点图像、几何折叠、圆综 合、相似解三角形、规律探究、新定义 代数含参 7大类21类核心题型 三年后上“强基”！ 中考数学选择型压轴题|最优解 中考数学选择型压轴题必考 题型说明 1.二次函数压轴 抛物线系数符号、对称轴、最值、区间范围、多结论判断、一次+反比例综合； 1.二次函数图像与系数多结论判断 2.二次函数动点最值与区间范围 3.一次函数+反比例函数综合 2.动点函数图象 几何动点生成面积/距离图象、折线运动、实际应用分段图象； 1.几何动点生成面积图像 2.折线运动距离类图象 3.分段函数实际应用图象 3.儿何折叠翻折 矩形、正方形、三角形折叠，求线段长、角度、折痕； 1.矩形折叠计算 2.正方形折叠求值 3.三角形折叠角度与边长 4.圆综合压轴 垂径定理、切线性质、圆周角、多结论判断、隐圆最值、内切外接圆计算； 1.圆多结论正误判断 2.隐圆最值问题 3.圆与几何综合计算 5.相似解三角形 平行线相似、一线三等角、面积比、30°45°/120°特殊角求值： 1.相似三角形线段比值 1 2 2.一线三等角模型 3.特殊角解三角形 6.规律探究 数字数列、图形迭代、坐标周期循环，求第项、第n个坐标； 1.数字数列规律 2.图形迭代规律 3.坐标周期规律 7.新定义代数含参 新定义函数几何、含参方程不等式、逻辑命题真假判断。 1.新定义函数几何 2.含参方程与不等式 3.逻辑命题多选判断 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第一大类二次函数压轴 题型特征 以抛物线为载体，考查开口符号判断、对称轴性质、顶点最值、区间取值范围、 多结论辨析、一次函数与反比例函数综合。 解题技巧 1.开口向上a>0,开口向下a<0; 2.对称轴在y轴左侧a、b同号，对称轴在y轴右侧a、b异号； 3.抛物线与y轴交于正半轴c>0,交于负半轴c<0; 4.顶点纵坐标是函数整体的最大值或最小值； 5.函数值大小比较：图像在上方，函数值更大； 6.利用对称轴找对称点，代入解析式判断代数式正负。 3 4 小类1.1二次函数图象与系数多结论判断 真题1【2024·四川绵阳】 题干抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴x=2,与x轴一个交点在 (3,0)和(4,0)之间：①abc<0;②2a+b=0;③4a+2b+c≥ax2+bx+c;④ 3a+c<0。正确个数() A.1 B.2 C.3 D.4 解题思路 先根据抛物线开口方向、对称轴位置判断a、b、c符号，再利用对称轴公式推 导a、b数量关系，结合抛物线最值性质、对称性判断特殊点函数值正负，逐一验 证四个结论正误。 最优解法 1.开口向下，得a<0;对称轴x=2在y轴右侧，a、b异号，故b>0;抛物 线交y轴正半轴，c>0;一负两正相乘，abc<0,①正确。 2.由对称轴公式x=-名=2，化简得b=-4a,代人2a+b=-2a≠0，② 错误。 3.抛物线开口向下，顶点为最大值，点，x=2对应顶点，所以任意自变量x的 函数值，都不大于x=2时的函数值，③正确。 4.对称轴为x=2,则x=-1与x=5函数值相等；x=5在右侧交点右边， 图像在x轴下方，函数值为负。将x=-1代入得a-b+c<0,再把b=-4a代入 化简，可得3a+c<0,④正确。综上①③④正确，共3个。 强基计划必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 答案：C 易错点 1.记错对称轴变形公式，误判2a+b=0: 2.搞反开口方向对应的函数最值； 3.不会利用抛物线对称点代值判断式子正负； 4.判断c的符号出现失误。 5 6 真题2【2023安徽】 题千抛物线过(-1,0)，且4a+2b+c=0:①a+b=0;②b2-4ac>0; ③若c>一α，顶点在第二象限。正确的有（) 顶点 A(-1,0) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解题思路 将已知点代入抛物线解析式，联立等式推导a、b关系；由抛物线与x轴交点个 数判断判别式符号；再结合对称轴位置判断顶点所在象限。 最优解法 1.把点(-1,0)代入解析式，得a-b+c=0;结合条件4a+2b+c=0,两 式相减消去c,整理化简得a+b=0,①正确。 2.抛物线经过(-1,0)，又满足4a+2b+c=0,说明抛物线与x轴有两个不 同交点，对应一元二次方程有两个不相等实数根，判别式△=b2-4c>0,②正 确。 3.由a+b=0得对称轴x=,对称轴在y轴右侧，顶点横坐标为正数，不可 能在第二象限，③错误。 答案：A 易错点 1.不会联立等式消元推导a、b关系； 2.忽视两点确定两个交点，误判判别式； 3.算错对称轴位置，错判顶点象限。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类1.2二次函数动点最值与区间范围 真题1【2024江苏苏州】 题千抛物线y=-x2+2x+3,-2≤x≤m时最大值4，最小值-5，则m范 围() y=-x2+2x+3 A.1≤m≤4B.-2≤m≤1 C.1≤m≤3 D.3≤m≤4 解题思路 先配方确定抛物线顶点与最值，再求出函数值为最小值时对应的自变量，结合 给定区间左右端，点，限定的取值范围。 最优解法 1.对解析式配方：y=-(x-1)2+4,顶点(1,4)是函数最大值点，要取到最大 值4，取值区间必须包含x=1。 2.令y=-5,解方程-x2+2x+3=-5,解得x=-2和x=4。题目区间左 端点固定为-2，若m>4,最小值会小于-5，因此m最大取4。 3.综合得1≤m≤4 答案：A 易错点 1.忽略顶点位置，遗漏m最小需大于等于1； 2.错求函数取最小值对应的自变量，误判m上限； 3.混淆开口方向，搞反区间最值变化规律。 7 8 真题2【2023-湖南长沙】 题干抛物线y=x2-4x+k,0≤x≤3最小值-3，则k=() A.-6 B.-2 c.1 D.3 解题思路 先判断开口方向与对称轴位置，确定区间内最小值取得位置，再代入最值点坐 标列方程求解参数 最优解法 1.抛物线开口向上，对称轴为x=2,对称轴落在区间0≤x≤3内部，区间 最小值在对称轴x=2处取得。 2.将x=2,y=-3代人解析式：-3=22一4×2+k,逐步计算化简，解得 k=10 答案：C 易错点 1.误判最值取值位置，错用区间端点代入计算； 2.配方或代数计算出错，导致参数求解错误。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类1.3一次函数+反比例函数综合 真题1【2024山东青岛】 题干直线y=x+1与双曲线y=交于A、B,A横坐标为1，不等式x+ 1>解集() A.x>1或-2<x<0 B.x>1 C.-2<x<1 D.x>1或x<-2 解题思路 先求出交点坐标确定k值，联立方程求出两交点横坐标，结合函数图象高低位 置确定不等式解集。 最优解法 1.把x=1代入直线解析式，得y=2,即A(1,2);将A代入反比例解析式， 求得k=2。 2.联立直线与反比例方程，解得交点横坐标为x=1和x=-2。 3.根据函数图像上下位置判断：直线图像在反比例图像上方时，对应自变量范 围为x>1或-2<x<0。 答案：A 易错点 1.忽略反比例函数x≠0，直接合并区间出错； 2.分不清图象上下位置，解集区间写反。 9 10 真题2【2023·湖南株洲】 题干反比例函数y=与直线y=-x+5交于A,B两点，过点A作AM1y 轴，垂足为M,则S△4OM=() A.3 B.5 C.6 D.10 解题思路 利用反比例函数k的几何意义直接求解，无需联立方程求交点。 最优解法 1.反比例函数y=有固定几何结论： 2.图象上任意一点与原点连线、向坐标轴作垂线，围成三角形面积： s=lkl 1 3.本题k=6,代入： S△A0M=2×6=3 4.跟一次函数解析式无关，不用求交点坐标。 答案：A 易错点 1.盲目联立解析式求点坐标，浪费解题时间； 2.记错面积公式，遗漏导致结果翻倍出错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第二大类动点函数图象 题型特征 几何图形上有动点沿边线匀速运动，带动图形面积、线段距离连续变化，判断 对应的函数图像走势。 解题技巧 1.动点每运动一段，对应图像一段变化； 2.面积、距离变大，图像上升；变小，图像下降；不变，图像水平； 3.匀速直线运动对应一次函数直线段，图形顶点、拐点处对应图像拐点。 11 12 小类2.1几何动点生成面积图象 真题1【2024四川成都】 题干如图，菱形ABCD边长为4，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线 A→B→C匀速运动。设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,则下列能大致 反映y与x函数关系的图象是() 60 A.先匀速上升，后匀速下降 B.先匀速上升，后保持水平不变 C.先增速上升，后水平不变 D.先匀速上升，再下降，再水平 解题思路 分两段讨论动点位置，结合三角形面积公式，依据底边与高的变化规律判断面 积变化趋势。 最优解析 1.在AB上运动：AD为定底边，高随x匀速增大，面积一次函数匀速上升； 2.在BC上运动：菱形中BC II AD,点P到直线AD的距离不变，面积保持定 值不变。 3.综上：先匀速上升→后水平恒定， 答案：选B。 易错点 1.误判P在BC段运动时面积减小； 2.混淆匀速变化与增速变化，错选增速上升选项。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023江苏扬州】 题于如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,动，点P从点A出发， 沿AC向点C匀速运动，过点P作PQ1AB,垂足为Q。设AP=x,PQ=y,则 能大致反映y与x函数关系的图象是() A从左到右单调递增的直线 B.从左到右单调递减的直线 C先递增后递减的折线 D.先递减后递增的折线 解题思路 利用直角三角形固定锐角三角函数值，建立线段之间的数量关系，判断函数增 减性与图象形状。 最优解析 1.在Rt△ABC中，∠A为定角，由三角函数： 2.PQ=AP·sinA,sinA是定值，可得y与x成正比例一次函数。 3.P从A向C运动，AP=x逐渐变大，PQ随之一同均匀变短，图象为单调递 减直线。 答案选B 易错点 1.看错动点运动方向，误判线段变化趋势； 2.混淆三角函数边角关系，判断增减性出错。 13 14 小类2.2折线运动距离类图象 真题1【2024安徽】 题千正方形边长为2，动点P从顶点A出发，按逆时针方向沿正方形四条边 绕行一周。设点P运动的路程为x,点P到正方形中心的距离为y,则能大致反映 y与x函数关系的图象是() A.四段完全相同，每段先减小后增大的光滑曲线 B.四段完全相同，每段先增大后减小的光滑曲线 C.四段水平直线交替变化 D.持续单调起伏无规律四段曲线 解题思路 结合正方形中心位置，分析动，点在单条边上运动时，到中心距离的变化规律， 再推广至四条边整体趋势。 最优解析 正方形中心到各顶点、各边中点距离固定： 1.动点P在任意一条边上：从顶点往边中点走，到中心距离逐渐减小； 2.从边中点往下一个顶点走，到中心距离逐渐增大； 3.四条边结构完全一致，所以整体是四段形状相同、每段先减后增的光滑曲线。 答案选A 易错点 1.搞反顶点、中点与中心的距离大小关系，颠倒增减趋势； 2.误认为距离为定值，错选水平直线图象。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023山东青岛】 题千如图，等边△ABC,动点P从三角形一个顶点出发，沿三边匀速绕行一周。 设点P运动的路程为x,线段CP的长度为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是 A.三段形状相同，每段先减小后增大的对称曲线 B.三段形状相同，每段先增大后减小的对称曲线 C.三段单调上升直线 D.以上都不是 解题思路 分三段依次分析动，点在三边运动时，线段CP的长度增减变化，对比选项判断 结果。 最优解析 1.第一段：P从A出发沿AB向B移动 起点：P=A,x=0,y=CA=aa 过程：P向AB中点移动时，CP长度逐渐减小（到中点时，CP是等边三角形的 高，长度为a,为这段最小值)： 继续向B移动时，CP长度逐渐增大； 终点：P=B,x=a,y=CB=ao 这段函数图像是先减小后增大的对称曲线。 2.第二段：P从B出发沿BC向C移动 起点：P=B,x=a,y=CB=a。 过程：P向C移动时，CP长度逐渐减小； 15 16 终点：P=C,x=2a,y=0。 这段函数图像是单调减小的曲线（不是先减小后增大）。 3.第三段：P从C出发沿CA向A移动 起，点：P=C,x=2a,y=0。 过程：P向A移动时，CP长度逐渐增大； 终点：P=A,x=3a,y=CA=ao 这段函数图像是单调增大的曲线。 答案选D 易错点 1.误以为三边运动距离变化规律完全一致； 2.忽略动点不同路段下线段CP端点位置差异，统一判定为先减后增。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类2.3分段函数实际应用图象 真题1【2023·四川绵阳】 题干某蓄水池蓄水过程分为三个阶段：第一阶段：只进水、不出水；第二阶 段：进水口、出水口同时打开；第三阶段：只出水、不进水。下列能大致刻画蓄水 池蓄水量y随时间x变化的图象是() A.缓升→陡升→匀速下降 B.陡升→缓升→匀速下降 C.陡升→平缓不变→陡降 D.缓升→平缓不变→匀速下降 解题思路 根据进水、出水状态判断水量增减快慢，结合直线倾斜程度确定图象走势。 最优解析 1.只进水不出水：只进不出，水量增加最快，折线陡升； 2.进出水同时开：进水速率>出水速率，水量仍在增加但变慢，折线缓升； 3.只出水不进水：只出不进，水量匀速减少，折线匀速下降。 综上变化：陡升→缓升→匀速下降 答案：选B。 易错点 1.搞错单进水与双口同开的增速快慢； 2.误以为进出同开时水量保持不变。 17 18 真题2【2022·四川成都】 题干某市自来水公司收费标准： 设每月用水量为x; 当x≤10m3:按2元m3收费； 当10<x≤20m3:超出10m3部分按3元m3收费： 当x>20m3:超出20m3部分按4元/m3收费 设月水费为y(元)，若用水量为25m3,则水费为() A.50元 B.60元 C.70元 D.80元 解题技巧 找准分段界限，按量分层计价，分层算出费用再相加。 最优解析 我们可以分三段计算水费： 1.前10m3的费用：10×2=20元 2.10m3到20m3的部分（共10m3)：10×3=30元 3.超出20m3的部分(25-20=5m3）：5×4=20元 4.总水费：20+30+20=70元 答案：选C。 易错点 1.全部水量统一用高价计算 2.算错每一段实际用水体积 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2020·山东青岛】 题干某快递公司收取快递费规则： 寄件重量在1kg以内（含1kg)，统一收费8元； 重量超过1kg后，超出部分每增加0.5kg加收2元（不足0.5kg按0.5kg计 费)。 设快递重量为xkg(x>0),快递费用为y元，则能大致反映y与x函数关系的图 象是() A.从(0,8)出发，持续匀速上升的直线 B.0<x≤1为水平线段，x>1呈阶梯式上升的分段折线 C.从(1,0)出发，向右上方倾斜的直线 D.先下降后上升的曲线图象 解题技巧 先定区间定固定费用，再看计费单位，按档判断图像走势。 最优解析 1.0<x≤1，费用固定8元，图象为水平线段； 2.x>1,费用按0.5千克为单位分段加价，呈阶梯上升； 只有B符合实际计费图象特征。 答案：B 易错点 易当成正比例直线上升，忽略按重量区间阶梯收费的特点。 19 20 第三大类几何折叠与翻折 题型特征 以矩形、正方形、三角形翻折为背景，利用折叠前后图形全等、边角对应相等， 结合勾股定理求解线段长度、角度大小。 解题技巧 1.折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等； 2.求未知线段常设边长为x,用相等关系表示其余线段； 3.构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解； 4.角度计算利用等角代换、三角形内角和、外角性质推导。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类3.1矩形折叠计算 真题1【2024·湖南长沙】 题干矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将△ABC沿AC折叠，点B落到点E处， AE交CD于点F,则DF=() A.1.6 B.2 C.2.4 D.2.5 解题技巧 矩形折叠优先找等角证等腰，再设未知数，利用直角三角形勾股定理列方程求 解。 最优解法 1.折叠得∠BAC=∠EAC,由AB II CD得∠BAC=∠ACD, 2.推出∠EAC=∠ACD,等腰三角形得AF=CF。 3.设DF=x,则CF=5-X,AF=5-X,AD=3。 4.在Rt△ADF中： 32+x2=(5-x)2=25-10x+x2。 16 x=10=1.6 答案：A 易错点 分不清折叠后相等角与相等线段，设边错误，勾股定理列式颠倒直角边与斜 边。 21 22 真题2【2023·江苏扬州】 题干矩形ABCD中，AB=4,BC=6,将△ABD沿BD折叠，点A落到A处， AD交BC于点E,则BE的长为() A号 C.3 D.4 2 解题技巧 折叠题利用平行+等角转化证等腰线段相等，设未知边长，借助直角三角形 勾股定理建立方程求解。 最优解法 1.折叠性质：∠ADB=∠ADB 2.矩形性质：AD II BC,∠ADB=∠DBE 3.等量代换得∠ADB=∠DBE,.BE=DE 4.设BE=x,则DE=x,EC=6-X,DC=AB=4 5.在Rt△DCE中，由勾股定理： 13 DC2+EC2=DE242+(6-x)2=x216+36-12x+x2=x252=12xx= 3 答案：A 易错点 混淆折叠后对应角、看错直角三角形边长，整理方程时移项计算出错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类3.2正方形折叠求值 真题1【2024安徽】 题干：正方形ABCD边长为6，点E在AD边上，点F在CD边上。G为AB中 点，将正方形沿EF折叠，使点D落在AB边上的点G处。则DE的长为() A号 B号 C.4 D.5 解题技巧 抓住折叠前后线段相等，结合正方形直角构造直角三角形，设未知数用勾股定 理列方程求解。 最优解法 1.由折叠性质：DE=GE 2.正方形边长为6，G是AB中点，.AG=3 3.设DE=x,则GE=x,AE=6-X 4.在Rt△AGE中：AG2+AE2=GE2,即： 32+(6-x)2=x2 解得：x= 15 答案：A 易错点 弄错中点分得线段长度，列勾股方程时边长对应错误，解方程移项计算失误。 23 24 真题2【2023山东青岛】 题干正方形边长为8，点E在AB边上，点F在CD边上。将顶，点C沿EF折叠， 折叠后点C落在AD边中，点M处，则折痕EF的长为() A.45 B.8V2 C.5v3 D.10 解题技巧 正方形折叠遇求折痕长，常作垂线构造全等直角三角形，转化边长后用勾股定 理计算。 最优解法 1.设正方形ABCD,AD、BC为竖直边，AB、CD为水平边，边长8。 2.M是AD中点，∴.DM=4。 3.连接CM,由折叠性质可知：EF⊥CM。 4.过点E作EH⊥CD于H,易证△EHF兰△CDM。 5.可得EH=CD=8,HF=DM=4。 6.在Rt△EHF中： EF=V82+42=4V5 答案：A 易错点 不会利用折叠垂直关系构造全等，混淆对应边，根号化简出错。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类3.3三角形折叠角度与边长 真题1【2022广东】 题干在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D在AB边上，将△BCD沿 CD折叠，使点B恰好落在AC边上的，点B处，则∠ADB的度数是() B ⊙ A.20°B.30°C.40°D.50° 解题技巧 折叠优先锁定相等角度，结合直角三角形角度关系与外角定理快速求角 最优解法 解析 1.在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，得∠B=60°； 2.由折叠性质：△CBD兰△CBD,·LCBD=LB=60°； 3.∠CBD是△ADB外角，∠CBD=∠A+∠ADB; 4.代入得：60°=30°+∠ADB,解得∠ADB=30°。 答案：B 易错点 记错30°直角三角形内角度数，不会灵活运用外角公式推导角度。 25 26 真题2【2022四川南充】 题干如图，边长为6的等边△ABC,点M在AB上，点N在AC上，将△AMN沿 MN折叠，使点A落在BC边上的点A处，已知BA=2,则A'N的长度为() A B A.2B.3C.4D.5 解题技巧 等边三角形折叠题，先抓60°等角，借助折叠等角证相似，利用相似比求线段 长 最优解法 1.等边△ABC,边长为6，∠B=∠C=∠A=60°，AC=6-2=4; 2.折叠得：AN=AN,∠MAN=∠A=60°； 3.证△BMA∽△CAN,结合边长关系推导得AN=4。 答案：C 易错点 不会利用60°角推导相似关系，混淆对应边比例导致计算错误。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第四大类圆综合压轴 题型特征 考查垂径定理、圆周角定理、直径直角性质、切线性质，结合隐圆轨迹、线段 最值、几何边长计算。 解题技巧 1.直径所对的圆周角为90°； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等； 3.直径垂直于弦，平分弦且平分弦所对的两条弧； 4.遇到切线连接过切，点的半径，半径与切线互相垂直； 5.定点定长、定角对定线段可构造隐圆； 6.圆外一点到圆上点最值：圆心距加半径为最大值，圆心距减半径为最小值。 27 28 小类4.1圆多结论正误判断 真题1【2024四川绵阳】 题干AB是⊙O直径，CD是弦，AB⊥CD于E,下列：①CE=DE;②弧AC= 弧AD;③∠ACB=∠ADB;④CE=AE。正确有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题技巧 熟记垂径定理、直径圆周角性质，逐一对照结论快速判定对错。 最优解法 1.根据垂径定理：直径垂直于弦，必定平分弦、平分弦所对的弧，故①②正确。 2.同一段弧所对的圆周角相等，故③正确。 3.CE是弦的一半，AE是直径上的一段线段，无必然相等关系，④错误。综上 共3个正确。 答案：C 易错点 主观认为垂直分割线段就相等，误判CE=AE成立。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023安徽】 题干如图，PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交⊙O于点 C,连接AC、BC。 有下列结论： A.PA=PB B.OP平分∠APB C.四边形OAPB有外接圆 D.AC=BC 其中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解题技巧 熟练运用切线长定理、切线垂直半径、圆的对称性、四点共圆判定逐一判断。 最优解析 1.PA=PB 切线长定理：圆外一点到圆的两条切线长相等，①正确。 2.OP平分∠APB 切线性质：圆心与圆外一点的连线，平分两切线夹角，②正确。 3.四边形0APB有外接圆 PA、PB是切线→∠OAP=∠OBP=90°，∠OAP+∠OBP=180°，对角互 补，四点共圆，③正确。 4.AC=BC 29 30 图形关于直线OP轴对称，A、B关于OP对称，对称线段相等，AC=BC,④ 正确。 四个结论全都正确。 答案：D 易错点 想不到直角对角互补证共圆，忽略圆轴对称性质误判线段不等。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类4.2隐圆最值问题 真题1【2024江苏苏州】 题干矩形ABCD,AB=2,BC=3,P在矩形内且∠APB=90°，则PC最小值为 () 90 A.V5-1 B.5 C.2 D.3 解题技巧 见直角定角找隐圆，直径定轨迹，利用点到圆心距离减半径求线段最小值。 最优解法 1.固定线段AB,动点P满足∠APB=90°，由圆周角定理，P的轨迹是以AB 为直径的隐圆。 2.取AB中点为圆心，计算圆心到点C的距离，再减去圆的半径，即可得PC 最小值V5-1。 答案：A 易错点 不会识别定弦定角隐圆模型，误用普通几何方法求解。 31 32 真题2【2023·湖南长沙】 题干Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点P满足AP=2,则BP最小值 为() ● A.3 B.4 c.5 D.6 解题技巧 定点定长直接定隐圆，利用点到圆最值口诀：近减远加快速求值。 最优解法 1.定长定点模型：AP=2,动，点P轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆； 2.由勾股定理得：AB=V32+4=5; 3.圆外一点到圆上最短距离=圆心距-半径，即BP最小=5-2=3。 答案：A 易错点 分不清最短、最长距离公式，容易错用加法计算。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类4.3圆与几何综合计算 真题1【2024山东青岛】 Rt△ABC,∠C=90°，内切圆半径r=1,AB=5,则△ABC周长为() A.12 B.13 C.14 D.15 解题技巧 熟记直角三角形内切圆半径公式，直接求出两直角边之和，快速算周长。 最优解法 1.直角三角形内切圆半径公式：r=+b-c 2 2.代入r=1,c=5: 1=a+b-5 →a+b=7 2 3.周长=a+b+c=7+5=12 答案：A 易错点 记错内切圆半径公式，混淆普通三角形与直角三角形内切圆公式。 33 34 真题2【2023·四川成都】 题干已知等边△ABC的边长为6，则它的外接圆半径为() 0 A.2W3 B.3 C.3√ D.4 解题技巧 等边三角形外接圆半径直接套用R=a,代人边长秒算。 最优解法 1.等边三角形高： V3 6=2×6=35 2.等边三角形五心合一，外接圆半径为高的号： 2 R= 2 3 答案：A 易错点 混淆外接圆与内切圆半径比例，错用1：2份数计算。 强基计划丨必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第五大类相似与解三角形 题型特征 考查相似三角形判定定理、对应边长比、面积比；结合平行线模型、一线三等 角模型、30°45°/120°特殊三角形求解边长。 解题技巧 1.平行线可直接推出三角形相似； 2.相似三角形对应角相等、对应边成比例，列比例式即可计算； 3.相似三角形面积比等于对应边长比的平方； 4.一线三等角结构，可直接判定两三角形相似： 5.特殊三角形先拆分角度，再利用边角关系推导边长。 35 36 小类5.1相似三角形线段比值 真题1【2024安徽】 题干平行四边形ABCD,E为BC中点，AE交BD于F,则BF:FD=() D A.1:2 B.1:3 C.23 D.1:4 解题技巧 遇平行四边形内相交线段，直接利用平行线证相似，用边长比例求线段比。 最优解法 1.平行四边形对边平行，AD II BC。 2.两直线平行，内错角相等，得到两组对应角相等，可证△BEF△DAF。 3.E是BC中点，BE=号BC;平行四边形中BC=AD,所以B:AD=1:2。 4.相似三角形对应边之比相等，因此BF:FD=1:2。 答案：A 易错点 看错中点位置，颠倒前后线段比例。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·江苏扬州】 题干：△ABC中，D在AB上、E在AC上，DE Il BC,AD:DB=2:3,则 SAADE:S四边DBcE=() D A.4:25 B.4:21 C.2:3 D.49 解题技巧 平行线直接证相似，先求整体边长比，利用平方关系算面积比，再作差求图形 面积比。 最优解法 1.由DE I BC,同位角相等，可证△ADE~△ABC。 2.由AD:DB=2:3,设整条边AB=5,边长比AD:AB=2:5。 3.相似三角形面积比为边长比的平方，得S△4DB:S△ABc=4:25。 4.把大三角形面积看作25份，小三角形占4份，剩余梯形面积为21份，比值 为4：21。 答案：B 易错点 直接用2：3平方算比值，忘记换算成整条线段之比。 37 38 小类5.2一线三等角模型 真题1【2024湖南长沙】 题干Rt△ABC,∠B=90°，D在AB上，E在AC上，∠ADE=∠C,AB=6, BC=8,AD=4,则AE=（ A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.6 解题技巧 找准两组相等角判定相似，先求直角三角形斜边，套用相似对应边比例直接计 算线段长。 最优解法 1.在△ADE和△ACB中： -∠A=∠A(公共角) -∠ADE=∠C(已知) 根据两角对应相等的判定定理，可得： △ADE∽△ACB 2.计算AC的长度 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8, 由勾股定理： AC=VAB2+BC2=V62+82=V36+64=V100=10 3.利用相似三角形的性质列比例式 因为△ADE~△ACB,所以对应边成比例： AE AD AB AC 代入已知数据： 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 AE 4 6-10 解得：A=0-沿-号-24 答案：A 易错点 找错相似三角形对应边，比例式列反导致结果出错。 39 40 真题2【2023山东青岛】 题干等腰Rt△ABC,∠C=90°，点D、E在AB上，∠DCE=45°，CD比CE 为（) A.1:V2 B.1:1 C.V3:1 D.2:1 解题技巧 等腰直角三角形内含45°角题型，常用旋转全等构造等量关系，快速证线段相 等。 最优解法 1.已知等腰Rt△ABC,∠C=90°，所以AC=BC,∠A=∠B=45°。 又因为∠DCE=45°，所以∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°。 2.我们可以用旋转法来证明： 将△BCE绕点C顺时针旋转90°，使BC与AC重合，得到△ACF。 此时： CF=CE,∠ACF=∠BCE,∠CAF=∠B=45°。 ∠DAF=∠A+∠CAF=45°+45°=90°。 ∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=45°=∠DCE. 3.在△DCE和△DCF中： CD=CD ∠DCE=∠DCF CE=CF 所以△DCE≈△DCF(SAS),因此CD=CE,即CD:CE=1:1。 答案：B 易错点 仅凭，点位位置主观判断线段长短，忽略旋转推导得出的等量关系。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类5.3特殊角解三角形 真题1【2024四川绵阳】 题干△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4,则BC=() ●30 45△.B A.2W2 B.2V3 C.4 D.v6 解题技巧 等腰直角三角形含45°角题型，常用旋转全等构造相等角与相等线段，快速证 边相等。 最优解法 过点C作CD1AB,将原三角形拆分为两个直角三角形。 ●430 45△。B 在含30°的Rt△ACD中，30°对的直角边为斜边一半，得CD=2。 在含45°的Rt△BCD中，两直角边相等，BD=CD=2。 由勾股定理得BC=V22+22=2V2。 答案：A 易错点 主观凭位置判断线段长短，忽略旋转全等后的等量关系。 41 42 真题2【2023安徽】 题干菱形边长为5，一个内角120°，较短对角线长为() A.5 B.53 C.10 解题技巧 菱形有60内角，必出等边三角形，短对角线直接等于边长。 最优解法 菱形邻角互补，一个内角120°，相邻内角为60°。 较短对角线正对60°内角，与菱形两条邻边围成三角形。 该三角形两边都是菱形边长5，夹角60°，为等边三角形。 等边三角形三边相等，故短对角线长度等于边长5。 答案：A 易错点 混淆长短对角线对应角度，误把长对角线长度当作答案。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 第六大类规律探究 题型特征 分数字数列规律、图形个数规律、坐标循环周期三类；通过列举前几项，分析 增减变化、循环周期，求解第n项、第n个图形、第n个点坐标。 解题技巧 1.数字数列：列举前3项，看差值、倍数，推导通用公式； 2.图形规律：数前3个图形数量，看每次增加个数，套用等差通项； 3.坐标周期：先确定循环节点个数，用总数除以周期，由余数确定位置 43 44 小类6.1数字数列规律 真题1【2024江苏苏州】 题千数列：1,3,6,10,15…第n项为() A.n(n+1) B.n2 C.2n-1 D n(n-1) 2 2 解题技巧 识别三角数数列，直接套用连续自然数求和公式即可。 最优解法 1.列举前几项：第1项1，第2项1+2，第3项1+2+3，第4项1+2+3+4。 2.规律：第n项等于从1开始连续n个自然数相加。 3.自然数求和公式：第n项=n+ 2 答案：A 易错点 记反公式分子顺序，选错””卫 20 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·湖南长沙】 题干数列：2,4,8,16…第10项为（) A.512 B.256 C.1024 D.2048 解题技巧 成倍增长数列为等比数列，底数不变，项数为指数直接计算。 最优解法 1.观察数列：第1项21，第2项22，第3项23，第4项24。 2.规律：第n项为2的n次方。 3.第10项：210=1024。 答案：C 易错点 数错项数，代入指数出错。 45 46 小类6.2图形迭代规律 真题1【2024山东青岛】 题干正方形逐层摆放，第1层1个，第2层5个，第3层9个…第n层个数 为() A.4n-3 B.4n+1 C.n2 D.2n-1 解题技巧 图形数量依次等差递增，直接用等差数列通项公式推导。 最优解法 1.列举数量：第1层1，第2层5，第3层9，后一层比前一层恒多4。 2.数列为首项1、公差4的等差数列。 3.代入等差通项公式，得个数=4n-3。 答案：A 易错点 搞错首项对应关系，写错常数项。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·四川成都】 题千三角形点阵，第1层1个，第2层3个，第3层5个…第n层点数() A.2m-1 B.2m+1 C.n D.n2 解题技巧 图形点数依次加2，直接套用奇数通项公式即可。 最优解法 1.列举每层点数：1、3、5，为连续奇数。 2.每一层比上一层多2个，符合奇数数列特征。 3.连续奇数通用通项：第n层点数=2m-1。 答案：A 易错点 混淆奇偶数列通项，误写成2+1。 47 48 小类6.3坐标周期规律 真题1【2024安徽】 题干：在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，按照 (1,0)(1,1)→(2,1)→(2,0)→(3,0)→(3,1)→(4,1)→4,0)…*的顺序依次循环运动，则第 2025个点的坐标是( A.(1013,0) B.(1012,1) C.(1013,1) D.(1012,0) 解题技巧 先锁定周期长度，用总数除以周期看余数定纵坐标，再根据组数推算横坐标。 最优解法 1.周期：4个点一组； 2.2025÷4=506组余1，余数1对应周期第一个点，纵坐标为0； 3.506组走完横坐标1012，再加1得横坐标1013。 答案：A 易错点 算错周期对应横坐标数值，混淆余数对应的点位特征。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023江苏扬州】 题干：动点沿矩形边框按固定路径循环绕行，运动规律为每8步回到起点，保 持此周期持续运动，则第2024步时动点的坐标是() A起，点初始坐标 B边上某一固定点坐标 C.另一顶点坐标 D.周期内中点位置坐标 解题技巧 周期余数为0直接判定回归起，点，快速锁定答案。 最优解析 1.确定周期：运动周期为8步； 2.列式计算： 2024÷8=253余0 3.周期规律：余数为0，代表刚好走完整数个完整周期，动点回到起始起点位 置。 答案：选A 易错点 误把余数0当成周期最后一个非起点点位，判断位置出错。 49 50 第七大类新定义与代数含参 题型特征 以新定义概念、含参数一元二次方程、不等式组、命题真假判断为载体，仅用 课本基础知识点即可逐步推理求解。 解题技巧 1.新定义题严格按题干字面规则代入套用，不主观臆造理解； 2.一元二次方程判别式△决定根的个数； 3.不等式组无解，即数轴上两个取值范围无重叠区域； 4.命题真假可通过举反例快速判断。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 小类7.1新定义函数几何 真题1【2024·湖南株洲】 题干：定义：横纵坐标相等的点叫“美好点”，下列有美好点的是（) ①y=2x-1②y=x2-2x ③y=1 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解题技巧 新定义点坐标相等，直接令=x联立方程，有实数根即存在对应点。 最优解法 1我们先明确“美好点”的定义：横纵坐标相等，也就是x=y。 2.我们把y=x分别代入三个函数，看是否有解： ①y=2x-1 代入y=x: x=2x-1 解得：x=1,此时y=1,所以有美好点(1,1)。 ②y=x2-2x 代入y=x: x=x2-2x 整理得：x2-3x=0 x(x-3)=0 解得：x=0或x=3,对应美好点(0,0)和(3,3)，所以有美好点。 ⑧y=1 代入y=x: x=- 整理得：x2=4 解得：x=2或x=-2,对应美好点(2,2)和(-2，-2)，所以有美好点。 3.综上，①②③都有美好点 51 52 答案：D 易错点 解分式方程忘记验根，误判反比例函数无符合条件的，点。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·四川绵阳】 题干：定义“相伴函数”：两函数图象有唯一公共点，下列互为相伴函数的 是( A.y=x与y=x+1 B.y=x2与y=2x-1 C.y=iy=x D.y=-x2与y=1 解题技巧 紧扣唯一交点定义，联立方程看解的个数，重根算唯一交点。 最优解法 核心判定：联立解析式，方程只有一个实数解即为相伴函数 A:两直线斜率相等平行，无交，点，排除 B:联立x2=2x-1,整理得(x一1)2=0，仅有唯一解，符合定义 C:联立得x2=1,两解两个交点，排除 D:一x2=1无实数解，无交点，排除 答案：B 易错点 分不清无交点、一个交点、两个交点的判定方法。 53 54 小类7.2含参方程与不等式 真题1【2024安徽】 题干：关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等实数根，则m取值范围 A.m<1 B.m>1 C.m≤1 D.m≥1 解题技巧 牢记判别式取值规则，不等根△>0，相等根△=0，无实根△<0。 最优解法 1.一元二次方程有两个不相等实数根，等价于判别式△>0。 2.计算判别式：△=(-2)2-4×1×m=4-4m。 3.列不等式4-4m>0,化简得m<1。 答案：A 易错点 不等号方向写错，混淆取值范围。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023·江苏苏州】 题干：不等式组 之子无解。则a取值范用() A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3 解题技巧 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 最优解法 1.x>a表示数轴上a右侧所有数，x<3表示3左侧所有数。 2.不等式组无解，说明两个范围没有重叠部分。 3.当a≥3时，两段范围无交集，不等式组无解。 答案：A 易错点 漏掉等号，误选a>3。 55 56 小类7.3逻辑命题多选判断 真题1【2024·湖南长沙】 题干：下列命题正确个数() ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②圆周角等于圆心角的一半； ③一元二次方程有实根则△≥0。 A.0 B.1 C.2 D.3 解题技巧 区分定理与假命题，牢记实数、几何基础概念。 最优解法 1.是课本定理，表述正确； 2.缺少“同一段弧”前提，任意圆周角与圆心角无此关系，命题错误； 3.一元二次方程有实数根，判别式必定大于或等于0，表述正确。综上共2个 正确命题。 答案：C 易错点 认为无限小数都是无理数，混淆概念。 强基计划|必有我 中考数学选择型压轴题|最优解 真题2【2023山东青岛】 题干下列命题中，属于真命题的是( ) A.相等的角是对顶角 B.两直线平行，同旁内角相等 C垂直于同一直线的两直线平行 D等角的余角相等 解题技巧 牢记几何定理完整条件，抓准易错限定词快速排除错误选项。 最优解析 A选项：相等的角不一定是对顶角，如两直角相等但不一定是对顶角，假命题。 B选项：两直线平行，同旁内角互补，不是相等，假命题。 C选项：缺少在同一平面内的前提，空间中垂直于同一直线的两条直线可能异 面、相交，假命题。 D选项：若∠A=∠B,则90°一∠A=90°一∠B,等角的余角一定相等，真 命题。 答案：D 易错点 忽略平面几何前提、混淆平行线性质结论。 57