第1卷 集合的概念与集合之间的关系（教师讲解卷）-2027年河北省对口升学《数学考点双析卷》

**基本信息** 以“考点双析”构建讲练闭环，分层考查集合概念与关系，培养抽象能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4、18题|空集判断、列举法表示、集合相等辨析|从集合定义出发，构建“元素-集合-表示方法”认知链| |关系判断|选择5、7、10题|子集、真子集关系及子集个数计算|由元素关系推导集合关系，形成包含关系的层级理解| |性质应用|选择6、13题，填空14题|非空集合元素性质、参数集合关系|结合集合性质进行逻辑推理，体现数学思维严谨性| |综合表示|解答15-17题|集合表示方法、解集列举、子集列举|整合概念与关系，实现从理解到应用的能力转化|

编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第1卷 集合的概念与集合之间的关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列集合中不是空集的是（   ） A． B． C． D． 2．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D．或 3．给出下列四个命题： ①是由4个元素组成的集合． ②集合表示不含有元素的集合． ③集合与是相同的集合． ④集合且是一个有限集．其中真命题的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列关系错误的是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则（   ） A．A B． C． D． 6．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 7．设集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．由小于9的正奇数构成集合中元素的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．用列举法表示的解集，结果是（    ） A．1 B．2 C．1，2 D． 10．集合的子集共有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．集合的所有子集为________________，其中它的真子集有________个. 12．集合共有________________个子集，有________________个真子集，有________________个非空真子集． 13．非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是___________. （1）    （2）    （3）若，，则    （4）若，、则 14．设，，若，则实数组成的集合________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．用适当的方法表示下列集合. (1)方程的解集； (2)大于2且小于6的所有有理数组成的集合； (3)由直线上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (4)方程组的解集. 16．已知，用列举法表示A. 17．已知集合，若，请写出集合的所有子集. 18．判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ （1）接近于2019的数； （2）大于2019的数； （3）育才中学高一(1)班视力较好的同学； （4）方程x2－2＝0在实数范围内的解； （5）函数y＝x2图象上的点. 试卷第2页，共3页 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第1卷 集合的概念与集合之间的关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列集合中不是空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合空集的定义，即可求解. 【详解】因为方程无实数解，所以集合，故选项A不符合题意； 因为无解，所以集合，故选项B不符合题意； 因为方程无解，所以集合，故选项C不符合题意； 因为时，，即集合，故选项D符合题意. 故选：D. 2．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先求解方程，得到方程的解，再根据列举法表示即可. 【详解】方程可转化为，解得或， 所以集合用列举法表示为. 故选：C. 3．给出下列四个命题： ①是由4个元素组成的集合． ②集合表示不含有元素的集合． ③集合与是相同的集合． ④集合且是一个有限集．其中真命题的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合集合中元素的特性，及集合的表示方法、集合的分类，即可求解. 【详解】因为集合中的元素具有互异性，故表示错误，有3个元素，故①错误； 集合中含有1个元素，故②错误； 集合与的元素不同，表示的是不同的集合，故③错误； 集合且表示的是小于100的自然数构成的集合，是一个有限集，故④正确； 故正确的命题个数是1个. 故选：A. 4．下列关系错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合元素与集合、集合与集合之间的关系，即可判断求解. 【详解】因为空集中没有元素，故，故选项A错误，符合题意； 因为0是自然数，故，故选项B正确，不符合题意； 因为空集是任何集合的子集，故，故选项C正确，不符合题意； 因为，故选项D正确，不符合题意； 故选：A. 5．已知集合，集合，则（   ） A．A B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的符号表示分析即可. 【详解】已知集合， 当时，， 当时，， 所以任意，必有， 而当时，， 所以， 故选：B. 6．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系分析求解即可； 【详解】由，则知， 当时，， 同理时,， 同理时,， 经过这一系列的推导后，又回到了最初设的元素， 说明集合中的元素在这四个元素之间循环出现, 又因为，则互不相等， 所以集合中有且仅有4个元素； 故选：C. 7．设集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为集合与集合之间不使用属于符号，所以BC错误， 因为集合，集合， 所以，故A正确，D错误. 故选：A. 8．由小于9的正奇数构成集合中元素的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】用列举法写出小于9的正奇数的集合，数元素个数即可. 【详解】小于9的正奇数构成的集合可以表示成， 因此集合中元素的个数是4. 故选:A. 9．用列举法表示的解集，结果是（    ） A．1 B．2 C．1，2 D． 【答案】D 【分析】先求方程的根，再根据列举法表示集合的要求书写即可. 【详解】由方程，可得， 所以的两根为1，2. 所以用列举法表示的解集为. 故选：D 10．集合的子集共有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由子集的定义求出集合的子集即可. 【详解】集合的子集有： 共个子集. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．集合的所有子集为________________，其中它的真子集有________个. 【答案】 ，，，，，，， 【分析】根据列举法写出子集，即可得出结果. 【详解】集合的子集有：，，，，，，，， 其中除外，都是的真子集，共个. 故答案为：，，，，，，，；. 12．集合共有________________个子集，有________________个真子集，有________________个非空真子集． 【答案】 8 7 6 【分析】若集合A中有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个，据此可求解. 【详解】集合A中有3个元素，所以其子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个． 故答案为：8，7，6 13．非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是___________. （1）    （2）    （3）若，，则    （4）若，、则 【答案】（1）（2）（4） 【分析】（1）用反证法，证明矛盾即可；（2）由开始类推，能得到所有自然数均属于集合，由题知，两者相除也属于集合；（3）和（4）属于同类型，因为加减乘除分别互为逆运算，所以也成立. 【详解】假设，则令， 则，， 令，， 则，， 令，， 不存在，即，矛盾， 所以，（1）对； 由题知，， 则，， ， ，（2）对； 因为， 若， 则，（3）错； 因为，， 所以， 又，，（4）对. 故答案为：（1）（2）（4） 14．设，，若，则实数组成的集合________. 【答案】 【分析】根据题意，先表示出集合A，结合子集的概念，讨论和两种情况，即可求解. 【详解】因为， 又， 当时，，符合题意； 当时，，所以， 所以或， 解得或； 综上所述，实数组成的集合. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．用适当的方法表示下列集合. (1)方程的解集； (2)大于2且小于6的所有有理数组成的集合； (3)由直线上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (4)方程组的解集. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意用列举法和描述法表示集合. 【详解】（1）解方程得，， ∴方程的解集用列举法表示为. （2）∵大于2且小于6的所有有理数有无数个， ∴用描述法表示该集合为. （3）用描述法表示该集合为. （4）解方程组，得， ∴方程组的解集用列举法表示为. 16．已知，用列举法表示A. 【答案】. 【分析】根据集合的描述，应用列举法写出集合即可. 【详解】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为. 17．已知集合，若，请写出集合的所有子集. 【答案】子集有： 【分析】由代入，可得方程，其解为1和，即，根据子集的概念可得到结果. 【详解】当时，， 因为方程的解为1和， 所以. 故集合的所有子集为：. 18．判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？ （1）接近于2019的数； （2）大于2019的数； （3）育才中学高一(1)班视力较好的同学； （4）方程x2－2＝0在实数范围内的解； （5）函数y＝x2图象上的点. 【答案】（1）（3）不能构成集合；（2）（4）（5）能构成集合. 【分析】根据集合的定义，结合集合中的元素的性质，即可容易判断. 【详解】(1)(3)由于标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合； (2)(4)(5)满足集合的定义，故可以构成集合. 试卷第8页，共8页 试卷第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $