精品解析：2026年河南省焦作市武陟县二模数学试题

2026年初中学业水平模拟测试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图，下列哪个花瓶的表面可以大致看作下图中的平面图形绕虚线旋转一周得到的（ ） A. B. C. D. 3. 截至年月底，全国光伏发电装机容量正式突破亿千瓦，亿千瓦光伏装机约等于个三峡电站，这一数字标志着中国光伏从补充能源迈向主力能源，为全球能源绿色低碳转型树立标杆．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三根木条两两相交，，，固定木条b，c，逆时针转动木条a使得．则木条a应转动（） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，在中，对角线，交于点O，，点E为边上一点，且，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 若a，b为实数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示正面印有马年吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片，除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，这两张卡片正面恰好是吉祥物“驰驰”和“骋骋”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 炔烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有2个碳原子，2个氢原子，第2种如图②有3个碳原子，4个氢原子，第3种如图③有4个碳原子，有6个氢原子，…按照这一规律，当分子结构中有60个碳原子时，氢原子的个数是（ ） A. 120 B. 119 C. 118 D. 116 10. 如图1，点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．点P的运动路程为x，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校有排球m个，足球的数量是排球的一半，则足球的数量为________个． 12. 写出满足不等式组的一个整数解：________． 13. 学校利用校园闲置空地开辟蔬菜种植园，旨在通过实践活动培养学生的劳动技能和团队合作精神．同学们选定五种蔬菜进行种植，种植面积的扇形统计图（不完整）如图所示．若辣椒的种植面积是，根据统计图可知番茄的种植面积是________． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点C是以为直径的半圆上一点，且点A，B，C均在小正方形的顶点上，点D在上，，则的长为________． 15. 如图，，点M是边上的一点，，点N是直线上一点，连接，作点O关于的对称点，点P是的一个三等分点（靠近N点），当时，的长是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1） （2） 17. 某校组织经典诵读活动，八年级甲、乙两个社团各有6名同学参加，对他们在活动中的评价得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析如下． 得分统计表 统计量 甲社团 乙社团 平均数 7.83 7.83 中位数 8 a 方差 优秀率 b 根据以上信息，回答下列问题， （1）表格中的________；________；________（填“”“”或“”）． （2）请依据以上统计图表中的信息对甲、乙两个社团的表现进行评价． 18. 如图，四边形是菱形． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的中点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）以为直径的半圆O交于点E，在（1）的条件下，分别连接，．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴，y轴的正半轴上．反比例函数的图象与边分别交于点，． （1）填空：________；________． （2）取的中点F，连接． ①________． ②小航说：“若将沿折叠，点B的对应点恰好落在反比例函数图象上”，请判断小航的说法是否正确，并说明理由． 20. 学校综合实践小组测量学校附近某大楼（图1所示）的高度，图2是同学们绘制的测量示意图．在点C处用测角仪测得大楼顶端A的仰角，从C处沿方向前进到达F处，在F处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从F处沿方向前进到G处，站在G处恰好从平面镜中看到大楼顶端A的像，眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点B，C，F，G在同一水平线上，求大楼的高度． 21. 根据下表中提供的素材，完成问题解决中的任务． 主题 为快递公司设计采购方案 素材1 两种型号机器人的工作效率和价格如下表： 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量 每台机器人价格 A 1200件 a万元 B 1000件 b万元 素材2 计划购进A，B两种机器人共8台． 素材3 购买1台A型号机器人比购买1台B型号机器人多2万元，购买2台A型号机器人和3台B型号机器人共24万元． 问题解决： （1）任务一：求每种型号机器人的单价． （2）任务二：该公司采购预算为41万元，若使每小时总分拣量尽可能大，应如何采购两种机器人？ 22. 如图，抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为． （1）求抛物线的表达式． （2）将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象． （3）过x轴上一动点作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N． ①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围； ②t取何值时，的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）． 23. 如图，在中，，，点D是边上一动点（不与A，B重合），E是射线上一点，连接，保持，记，过点E作，垂足为点F． （1）观察猜想 如图1，当时，用等式表示线段的数量关系：________． （2）类比探究 当时，请依据题意在图2中补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟测试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 2. 如图，下列哪个花瓶的表面可以大致看作下图中的平面图形绕虚线旋转一周得到的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】面动成体，由题目中的图示可知：此图形旋转可成圆柱形的花瓶． 【详解】解：A花瓶可由所给图形旋转而成，故A正确． 3. 截至年月底，全国光伏发电装机容量正式突破亿千瓦，亿千瓦光伏装机约等于个三峡电站，这一数字标志着中国光伏从补充能源迈向主力能源，为全球能源绿色低碳转型树立标杆．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图，三根木条两两相交，，，固定木条b，c，逆时针转动木条a使得．则木条a应转动（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使，则需要，根据现在，即可求解． 【详解】解：要使，则需要， 由于现在，所以需要转动． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算一元二次方程根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况，掌握判别式判断根的情况的法则是解题关键． 【详解】解：由可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根． 6. 如图，在中，对角线，交于点O，，点E为边上一点，且，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取中点F，连接，可知，根据平行四边形的性质得到O是的中点，根据三角形中位线定理得到，可知，证明E是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：如图，取中点F，连接，可知， ∵在中，对角线，交于点O， ∴O是的中点， 是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即E是的中点， ∴． 7. 若a，b为实数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算的值，即可得到a与b的关系． 【详解】解：∵， ∴． 8. 如图所示正面印有马年吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片，除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，这两张卡片正面恰好是吉祥物“驰驰”和“骋骋”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“驰驰”和“骋骋”的结果有2种， ∴恰好抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为． 9. 炔烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有2个碳原子，2个氢原子，第2种如图②有3个碳原子，4个氢原子，第3种如图③有4个碳原子，有6个氢原子，…按照这一规律，当分子结构中有60个碳原子时，氢原子的个数是（ ） A. 120 B. 119 C. 118 D. 116 【答案】C 【解析】 【分析】）观察前面四幅图可知碳原子的个数为序号加1，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； 【详解】解：第1种化合物的分子模型中，碳原子的个数为：，氢原子的个数为：， 第2种化合物的分子模型中，碳原子的个数为：，氢原子的个数为：， 第3种化合物的分子模型中，碳原子的个数为：，氢原子的个数为：， 第4种化合物的分子模型中，碳原子的个数为：，氢原子的个数为：， ∴第n种化合物的分子模型中，碳原子的个数为：，氢原子的个数为个， 当，即时，氢原子的个数是． ∴当分子结构中有60个碳原子时，氢原子的个数是118个． 10. 如图1，点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．点P的运动路程为x，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接交于点，连接，求解，，结合图2可得：时，，，，可得在线段上，当重合时，满足，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵正方形边长为， ∴，， ∵为的中点， ∴，， 结合图2可得：时，，，， ∴， ∴在的垂直平分线上，即在线段上， ∵点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E． ∴当重合时，满足， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校有排球m个，足球的数量是排球的一半，则足球的数量为________个． 【答案】 【解析】 【详解】解：排球数量为个，足球的数量是排球的一半， ∴足球的数量为：． 12. 写出满足不等式组的一个整数解：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在解集范围内找出一个整数解即可． 【详解】解： 由②得，即 结合①可得不等式组的解集为 所以不等式组的一个整数解为（答案不唯一） 13. 学校利用校园闲置空地开辟蔬菜种植园，旨在通过实践活动培养学生的劳动技能和团队合作精神．同学们选定五种蔬菜进行种植，种植面积的扇形统计图（不完整）如图所示．若辣椒的种植面积是，根据统计图可知番茄的种植面积是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出总的种植面积，再求出番茄的种植面积所占的百分比，即可求解． 【详解】解：总种植面积为：， 番茄的种植面积所占的百分比为：， ∴番茄的种植面积为：． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点C是以为直径的半圆上一点，且点A，B，C均在小正方形的顶点上，点D在上，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆的半径求得，根据圆周角定理求出，得到，进而即可求解． 【详解】解：设圆心为点，连接，如图： 由网格可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，，点M是边上的一点，，点N是直线上一点，连接，作点O关于的对称点，点P是的一个三等分点（靠近N点），当时，的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据对称和平行的性质得到，用方程思想将线段设出来，过点作，在中，利用三角函数求出，再在和以及利用勾股定理和等量代换求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ， 过点作交于点， 在中，， ，，解得； ∵点是点O关于的对称点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， 则， ∵点P是的一个三等分点（靠近N点）， ∴，， 在和中，， 即，化简得， 在中，，即， 将代入， 化简得， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据立方根、负整数指数幂的运算法则计算即可得答案； （2）根据分式的加减法和除法法则化简即可得答案． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校组织经典诵读活动，八年级甲、乙两个社团各有6名同学参加，对他们在活动中的评价得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析如下． 得分统计表 统计量 甲社团 乙社团 平均数 7.83 7.83 中位数 8 a 方差 优秀率 b 根据以上信息，回答下列问题， （1）表格中的________；________；________（填“”“”或“”）． （2）请依据以上统计图表中的信息对甲、乙两个社团的表现进行评价． 【答案】（1）7.5；； （2）甲乙两社团平均得分相同，整体平均水平相当；甲社团优秀率更高，说明甲社团优秀人数更多；乙社团成绩方差更小，成绩更稳定，整体表现优于甲社团．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，求出甲社团9分及以上（优秀）人数，进而可求优秀率，根据数据波动性可判断、的大小关系； （2）根据已知数据进行评价即可． 【小问1详解】 解：乙社团6名同学得分从小到大排列：7，7，7，8，9，9，共6个数，中位数为第3、4个数的平均数，因此； 甲社团6名同学得分从小到大排列：5，6，7，9，10，10，9分及以上（优秀）共3人，因此优秀率； 观察数据分布：甲社团得分更分散，波动更大，因此； 【小问2详解】 解：甲乙两社团平均得分相同，整体平均水平相当；甲社团优秀率更高，说明甲社团优秀人数更多；乙社团成绩方差更小，成绩更稳定，整体表现优于甲社团．（答案不唯一，合理即可） 18. 如图，四边形是菱形． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的中点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）以为直径的半圆O交于点E，在（1）的条件下，分别连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据尺规作图作垂直平分线的作法画图即可； （2）根据三角形中位线定理得到，，连接，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，根据三线合一得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：点F如图所示： 【小问2详解】 解：由题意可知O为的中点， ∵F为的中点， ∴， 如图，连接， ∴， 即， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴，y轴的正半轴上．反比例函数的图象与边分别交于点，． （1）填空：________；________． （2）取的中点F，连接． ①________． ②小航说：“若将沿折叠，点B的对应点恰好落在反比例函数图象上”，请判断小航的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①；②正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）点代入，可求出反比例函数的解析式，再把点代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）①结合矩形的性质可得，，从而得到，再由点F为的中点，可得，即可求解；②过点作于点G，于点H，则四边形为矩形，根据特殊角的锐角函数值，可得，再由折叠的性质可得，从而得到，在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到点坐标为，即可解答． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）， ∵矩形的两边分别在x轴，y轴的正半轴上，点， ∴，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴； ② 正确，理由如下： 如图，过点作于点G，于点H，则四边形为矩形， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点坐标为， 对于，当时，， ∴点在反比例函数的图象上， ∴小航的说法正确． 20. 学校综合实践小组测量学校附近某大楼（图1所示）的高度，图2是同学们绘制的测量示意图．在点C处用测角仪测得大楼顶端A的仰角，从C处沿方向前进到达F处，在F处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），随后从F处沿方向前进到G处，站在G处恰好从平面镜中看到大楼顶端A的像，眼睛到地面的高度，已知测角仪的高度，，，，点B，C，F，G在同一水平线上，求大楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于M，则四边形是矩形，得到，，，根据等角对等边得到，证明，得到，进而得到，求出，即可求出大楼的高度． 【详解】解：如图，延长交于M，则四边形是矩形． ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，，，， ，， ， 解得， ， 答：大楼的高度为． 21. 根据下表中提供的素材，完成问题解决中的任务． 主题 为快递公司设计采购方案 素材1 两种型号机器人的工作效率和价格如下表： 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量 每台机器人价格 A 1200件 a万元 B 1000件 b万元 素材2 计划购进A，B两种机器人共8台． 素材3 购买1台A型号机器人比购买1台B型号机器人多2万元，购买2台A型号机器人和3台B型号机器人共24万元． 问题解决： （1）任务一：求每种型号机器人的单价． （2）任务二：该公司采购预算为41万元，若使每小时总分拣量尽可能大，应如何采购两种机器人？ 【答案】（1）A型号的机器人单价为6万元，B型号的机器人单价为4万元 （2）应购买A型机器人4台，B型机器人4台．每小时最大分拣量为8800件 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设每小时的总分拣量y件，购进A种型号机器人x台，则购进B种型号的机器人台，依题意，列出不等式，求出x的取值范围，再列出y关于x的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答，即可。 【小问1详解】 解：任务一：依题意得， 解得： 答：A型号的机器人单价为6万元，B型号的机器人单价为4万元； 【小问2详解】 解：任务二：设每小时的总分拣量y件，购进A型号机器人x台，则购进B型号的机器人台， 依题意得：， ， 因为，所以y随x的增大而增大 所以当时， 所以 答：应购买A型机器人4台，B型机器人4台．每小时最大分拣量为8800件． 22. 如图，抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为． （1）求抛物线的表达式． （2）将这条抛物线平移，平移后抛物线的顶点落在原点．请写出一种平移方法及平移后抛物线的表达式，并画出平移后的抛物线对称轴右侧部分的图象． （3）过x轴上一动点作y轴的平行线，和（1）（2）中两条抛物线的交点分别为M，N． ①通过观察图象发现，点P在某个范围内运动时的长不大于1，请直接写出此时t的取值范围； ②t取何值时，的长不大于n（n为大于0的常数），请直接写出答案（答案用含n的代数式表示）． 【答案】（1） （2）先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；；图见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，根据平移后抛物线的顶点落在原点，确定平移规则即可，描点法画出函数图象即可； （3）①观察图象找到时的两个值，数形结合即可得出结果；②根据题意得到，得到，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线（b，c为常数）经过点，且对称轴为， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； ∵平移后抛物线的顶点坐标为， ∴原抛物线先向左移动1个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可； 此时抛物线的解析式为； 画出图象如图： 【小问3详解】 解：①观察图象可知，当时，， 当时，， 故当时，的长不大于1； ②由题意，， ∴， ∵的长不大于n（n为大于0的常数）， ∴， ∴， ∴. 23. 如图，在中，，，点D是边上一动点（不与A，B重合），E是射线上一点，连接，保持，记，过点E作，垂足为点F． （1）观察猜想 如图1，当时，用等式表示线段的数量关系：________． （2）类比探究 当时，请依据题意在图2中补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析；不成立，正确结论为：，证明见解析 （3）1或 【解析】 【分析】（1）过点C作于点G，证明，可得，从而得到，即可解答； （2）过点C作于点G，证明，可得，从而得到，即可解答； （3）分两种情况，结合（1）（2）中的结论解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点G， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，补全图形，如下图： 过点C作于点G， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点G，则， 当时，由（1）得：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，由（2）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $