精品解析：山东泰安市2026届高三下学期考前检测数学试题

高三四轮检测数学试题 2026.05 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，若，则（ ） A. 1或3 B. 或1 C. 0或 D. 1或 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 甲连续投篮两次，事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立 C. 若一组数据“，，⋯，”的方差为3，则“，，⋯，”的方差为29 D. 若三名男生体测成绩的平均分为80，方差为6，两名女生的平均分为75，方差为4，则这五人的平均分为78，方差为 10. 已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 以为直径的球的表面积为 D. 若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为 11. 双曲线的左，右焦点分别为，，渐近线为，，过作圆的切线，为切点，直线交双曲线右支于点、为线段的中点，则下列选项正确的是（） A. 直线的倾斜角为或 B. 以为直径的圆与圆相交 C. D. 动点到的距离为，到的距离为，，则动点的轨迹为两条直线，且这两条直线的斜率之积为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________． 13. 将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________． 14. 将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中，，，，，六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，符合条件的有两个，求的取值范围． 16. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 17. 如图，在三棱锥中，，，且，，，． （1）求长； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知正项数列中，，． （1）证明：； （2）已知． （i）讨论函数的单调性； （ii）证明：时，． 19. 如图，已知椭圆的长轴．短轴分别为，，．，，，为线段上的动点（不含端点）．直线与轴交于点，直线与交于点． （1）求过点且与椭圆相切的一条直线的方程； （2）证明：点在椭圆上； （3）记，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三四轮检测数学试题 2026.05 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】或或 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“”. 3. 已知函数，若，则（ ） A. 1或3 B. 或1 C. 0或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的条件求出参数 ，再计算向量的模长. 【详解】已知 ，，且 ， 因此：，解得：. 所以，则 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于的一元二次方程，即可求得的值，结合角的象限从而求得． 【详解】因为， 所以，即， 化简得，解得（舍去）或， 因为，所以. 6. 已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若数列为递增数列，则成立，即充分性成立； 若，又， 当时，符合条件，但“数列不为递增数列”，故必要性不成立， 综上，“数列为递增数列”是“”的充分不必要条件． 7. 已知函数为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 8. 已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由切线垂直于半径得圆心纵坐标与横坐标满足，整理已知圆方程得出圆心与半径，依据三条公切线推出两圆外切，利用点到直线距离表示圆半径，结合两点距离公式建立等式化简得到，结合为自然数且半径不为零确定取值，再代入面积公式求出面积相加得到结果. 【详解】圆与直线相切于点，切线斜率为. 故圆心与连线垂直于切线，斜率为. 设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式. 圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即. 设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得. 圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解； 时，，得，舍去； 时，，恒成立. 结合，为自然数，得. 圆面积，时，；时，. 故满足条件的所有圆的面积之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 甲连续投篮两次，事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立 C. 若一组数据“，，⋯，”的方差为3，则“，，⋯，”的方差为29 D. 若三名男生体测成绩的平均分为80，方差为6，两名女生的平均分为75，方差为4，则这五人的平均分为78，方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据相关系数性质即可得；对B：得到所有可能事件，结合互斥事件与对立事件定义即可得；对C：根据方差性质计算即可得；对D：根据平均数与方差的公式计算即可得. 【详解】对A：当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确； 对B：甲连续投篮两次，可能事件有“两次均未命中”、“恰好命中1次”与“两次均命中”， 故事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立，故B正确； 对C：若一组数据“，，⋯，”的方差为3， 则“，，⋯，”的方差为，故C错误； 对D：这五人的体测成绩的平均分为， 这五人的体测成绩的方差为，故D正确. 10. 已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 以为直径的球的表面积为 D. 若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量共线判断A；利用空间向量证明平面，进而结合棱锥的体积公式求解判断B；利用空间向量求出，进而可得以为直径的球的半径为，进而结合球的表面积公式求解判断C；连接分别交平面于点，连接，易得，进而结合相似求解判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设，，即， 则，设平面的一个法向量为， 则，取，得. 对于A，若平面，则，即存在非零实数使得， 则，无解，所以不存在点，使得平面，故A错误； 对于B，由于，则， 因为平面，所以平面， 而点为线段上的动点，则点到平面的距离为定值，而为定值， 则为定值，故B正确； 对于C，因为， 所以以为直径的球的半径为， 则以为直径的球的表面积为，故C正确； 对于D，由B知，平面，连接分别交平面于点， 连接，由于平面平面，平面，则， 由于，则，所以， 由C知，，则， 因此，若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为，故D正确. 11. 双曲线的左，右焦点分别为，，渐近线为，，过作圆的切线，为切点，直线交双曲线右支于点、为线段的中点，则下列选项正确的是（） A. 直线的倾斜角为或 B. 以为直径的圆与圆相交 C. D. 动点到的距离为，到的距离为，，则动点的轨迹为两条直线，且这两条直线的斜率之积为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定基本参数，再逐一分析每个选项. 【详解】已知双曲线方程为，则，，，故， 焦点，，渐近线方程：. 选项A，过作圆的切线，设切线斜率为，切线方程为. 圆心到切线的距离等于半径：，解得，故直线的倾斜角为或，A正确； 选项B，是的中点，是的中点， 故是的中位线，. 根据双曲线定义：，即， 故. 以为直径的圆的圆心为（中点），半径，圆心距. 圆心距与半径的关系：，故两圆位置关系为外切，而非相交，B错误； 选项C，在中，，，故. 又， 因此：，C正确； 选项D设动点，渐近线，，则：. 由，得，去掉绝对值符号可得两条直线： 和， 整理得斜率分别为：， 斜率之积：，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】由可得，又， 则. 13. 将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________． 【答案】240 【解析】 【分析】利用次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行， 例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行， 令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前项和为， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当，去除两端的“1”可得， 则此数列前21项的和为． 14. 将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中，，，，，六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为__________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】先得到6不能与4或5相邻，结合组合知识进行求解 【详解】任意相邻两数之积不超过20，则6不能与4或5相邻， 故6的两侧可以为1，2，可以为1，3，也可以为2，3； 又6的两侧共有种情况安排， 综上，任意相邻两数之积不超过20的概率为； 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，符合条件的有两个，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及恒等变形化简得，结合三角形内角得到角； （2）法一：由正弦定理得，即有两解，且，进而得到，再求即可；法二：根据结论求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 又，则， ， 为的内角， ； 【小问2详解】 法一：， ， 有两解， 又， ， ， ， 法二：有两解， ， 即， ． 16. 为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛． （1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为． （i）求的分布列及其数学期望； （ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望． 【答案】（1）（i）分布列见解析，2；（ii） （2）244.8元 【解析】 【分析】（1）（i）分析可知的可能取值有1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望；（ii）根据题意结合条件概率公式运算求解； （2）的可能取值为0，100，200，600，结合二项分布求对应概率和期望. 【小问1详解】 （i）由题意可知：的可能取值有1，2，3， 则；；； 所以的分布列为 X 1 2 3 P 且的期望； （ii）由条件概率公式得. 【小问2详解】 设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y，则的可能取值为0，100，200，600， 则； ； ； ； 所以， 所以乙获得的奖金的数学期望为244.8元. 17. 如图，在三棱锥中，，，且，，，． （1）求长； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：构造矩形，再利用线面垂直的判定定理与性质定理结合勾股定理计算即可得；法二：借助空间向量线性运算及模长与数量积的关系计算即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，分别求出平面与平面的法向量，再用空间 向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 法一：过点作，且，连接，， ，， 在中，， 即， 且，，∴四边形为矩形， ，， 又，，平面，， 平面，又，平面， 平面，， ∴在中，； 法二：， ， ，，，，，， ， ； 【小问2详解】 法一：结合（1）法一，以为原点，，所在直线分别为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得，，， ，， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得，，， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 法二：以为原点，，所在直线为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，，， ，，， 又，， 又，， 即，得，则可得， ，，又， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得，， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，得， ， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知正项数列中，，． （1）证明：； （2）已知． （i）讨论函数的单调性； （ii）证明：时，． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式. （2）（i）求出函数的导数，按分类讨论的符号即可；（ii）利用单调性可得，再利用累加法推理得证. 【小问1详解】 设函数，求导得 函数在上单调递减，，则当时，恒成立， 由，得，而，因此，数列单调递减， 所以 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，求导得， 设函数，， 当，即时，，，函数在上单调递增； 当，即时，有两个不相等实根，， 函数对称轴，，，则， 当或时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减. （ii）由（i）知，当时，在上单调递增， 则当时，，即，由（1）知， 因此，即，则，即， 于是，当时，， 所以当时，. 19. 如图，已知椭圆的长轴．短轴分别为，，．，，，为线段上的动点（不含端点）．直线与轴交于点，直线与交于点． （1）求过点且与椭圆相切的一条直线的方程； （2）证明：点在椭圆上； （3）记，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由轴长求出得椭圆方程，设切线斜率联立椭圆方程，利用相切求斜率得切线，也可直接看出竖直线切线. （2）依据动点所在直线设参数坐标，依次求出点坐标与两条相交直线方程，联立解出坐标，代入椭圆式子验证成立即可证得结论. （3）把两个三角形面积之比转化为纵坐标差值之比，代入参数化简得到代数式，借助均值不等式结合参数范围，求出比值的取值范围. 【小问1详解】 椭圆长轴，得；短轴，得. 椭圆的方程为. 点，直线代入椭圆方程得，即，仅有一个交点. 故过点且与椭圆相切的一条直线方程为. 若直线斜率存在，设过的切线斜率为，切线方程为. 整理得，将其代入椭圆方程： 化简可得：. 直线与椭圆相切，则，即，解得. 代入直线方程：，化简得. 综上，切线方程为或. （写对其中一个即可得分） 【小问2详解】 由椭圆方程得，，直线的方程为. 设，其中. 直线：，方程为. 令，得，即. 直线：；直线：. 联立方程解得，. 代入椭圆方程：. 故点在椭圆上. 【小问3详解】 由面积关系，，因此. 将，，代入化简得：. 由，根据均值不等式，. 故，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $