21 难点强化专题(2) 特殊四边形中线段的最值问题(选用)&综合与实践(2) 设计校园停车位-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

GH是菱形..·EF∥AC,EH∥BD,,.∠EMO=∠AOD=90°，∠ENO=∠AOD= 90°.∴.∠FEH=360°一90°×3=90°.又菱形EFGH,,.菱形EFGH是正方形.3.C 4.AB=CD5.126.20 数学活动（三）矩形中的折叠模型 1.A2.D3.A4.(10,3)5.456.3 难点强化专题（二）特殊四边形中线段的最值问题（选用） 1.32.1.2【例】解：连接BN,连接BM交AC于N',连接DN'..四边形ABCD 是正方形，.点B与点D关于直线AC对称..DN=BN..DN+MN=BN+MN ∴.当B,N,M共线，即N与N'重合时，DN+MN有最小值，BM的长即为DN+MN 的最小值.CD=4,DM=1,.CM=CD-DM=4-1=3.在Rt△BCM中，BM √BC+C=√4+3=5.故DN+MN的最小值是5.3.134.√2 综合与实践（二）设计校园停车位 解：任务1：图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，理由如下：在 图1中，AB⊥AD,CD⊥AD,.AB∥CD..AB=CD,.四边形ABCD是平行四边 形.，AB⊥AD,.∠BAD=90°..平行四边形ABCD是矩形；在图2中，∠G 120°，∠H=60°，，∴.∠G+∠H=180°，.EG∥FH,,EG=FH,,∴.四边形EFHG是 平行四边形.∴.图1中停车位的形状是矩形，图2中停车位的形状是平行四边形：任 务2：①设置垂直停车位时，，空地长32m,宽14m,垂直停车位长6m,宽2.5m,通 道宽度不小于3.5m,∴.14÷2.5=5.6，即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5 个.又32÷(6十3.5)≈3（列），即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列，∴.当设 置垂直停车位时，最多可以设置5×3=15（个）；②设置倾斜停车位 时，过点G作GP⊥FH于P,过点H作HQ⊥EF交EF的延长线于 Q,如图所示：：四边形EFHG为平行四边形，倾斜线长6m,倾斜线 之间的距离为2.5m.∴.HF=GE=6m,GH=EF,GH∥EQ,GP=2. 5m.∴.∠HFQ=∠GHF=60°.在Rt△HFQ中，∠FHQ=90° ∠HFQ=30°，∴.FQ=。HF=3m,由勾股定理，得HQ=/HF-FQ=3√3≈3× 1.73=5.19(m).在Rt△GHP中，∠HGP=90°-∠GHF=30°，∴.GH=2HP,由勾 股定理，得GH-HP=GP,即(2HP)-Hp=2.53.HP=53 6 (m).∴.GH= 2HP=5y3≈5×1.73≈2.88(m..每行设置的停车们位是：(32-3)÷2.88≈ 10(个).5.19十3.5十5.19=13.88<14，.可以设置两行倾斜停车位，共有10×2 20(个).答：学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位， 第二十一章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】解：(1)720°(2)，AF∥BE,∠A=110°，.∠ABE=180°-110°=70°.. ∠ABC=100°，.∴.∠CBE=100°-70°=30°..DE∥AB,∴.∠BED=∠ABE=70°.又 CD∥BE,∴.∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°，∠D=180°-∠BED=180°-70 =110°.(3)360【例2】(1)证明：F是CD的中点，.CF=DF.CE∥AB交BF 延长线于点E,∴.∠CEF=∠DBF,∠ECF=∠CDB..△CEF≌△DBF(AAS); (2)证明：由(1)得△CEF≌△DBF,∴.CE=DB.,∠ACB=90°，D是斜边AB的中 点，.CD=DB=AD..CE=AD.又CE∥AD,.四边形ADCE是平行四边形. CD=AD,∴.平行四边形ADCE是菱形；(3)解：连接DE,则DE⊥AC.BC⊥AC DE∥BC,CE∥DB,.四边形BCED是平行四边形.∴.DE=BC=4.:S菱形cE= 2×4AC=6,…AC=3.∴AB=V√AC+BC=V3+4=5.∴.AB的长是5；(4) 当AC=BC时，四边形ADCE是正方形.理由如下：：AC=BC,D是AB的中点， ∠ADC=90°.由(2)知四边形ADCE是菱形，∴.菱形ADCE是正方形. 考点过关 1.C2.B3.D4.C5.C6.67.C8.D9.(1)证明：点O,D分别是边 AB,BC的中点，∴.OD是△ABC的中位线..OD∥AC.AE∥BC,.四边形AEDC 是平行四边形.∴AE=CD.点D是边BC的中点，∴.BD=CD.∴.AE=BD..四边 形AEBD是平行四边形：(2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下： AB=AC,点D是BC边上的中点，∴.AD⊥BC..∠ADB=90°.由(1)可知，四边形 AEBD是平行四边形，∴.平行四边形AEBD是矩形.10.A11.C12.4√313.5 14.70°15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC,BC∥AD..∠ADE ∠CBF..DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS)；(2)解：连接AC交BD于点O., 四边形ABCD是正方形，BD=10,AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=AC..OA= OC-OB=OD=2BD=5.:DE-BF,OF=OE.·四边形AECF为平行四边形。 又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形.，四边形AECF的周长为4AF=434,∴.AF =/34.在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF=√AF2-OA2=W/(/34)-5=3. EF=2OF=6,即EF的长为6.16.解：(1)PE=PCPE⊥PC(2)CE=√2PA.理 由如下：由(I)知，PE=PC,PE⊥PC,△PEC是等腰直角三角形..CE=√2PE, PA=PE,..CE=2PA.(3)CE-PA.难点强化专题（二） 特殊四边形中线段的最值问题（选用） 类型一一条线段的最值问题 【例】如图，正方形ABCD的边长为4，点M在 模型展示 DC上，且DM=1,N是AC上一动点，求 问题：如图，已知直线1外一定点 A和直线1上一动点B,求A,B之间距 DN+MN的最小值. 离的最小值 【方法指导】由正方形的对称性可知点B与点D关于 解决思路：通常过，点A作直线l的 直线AC对称，连接BM交AC于N',点N即为所求. 垂线段AB,利用垂线段最短解决问题，即连接直线外 在Rt△BCM中，利用勾股定理求出BM的长即可. 一点和直线上各，点的所有连线中，垂线段最短。 1.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，BD= 12,点P是AD边上一动点，则OP的最小值 为 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3, AC=4,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,M为EF的中点，则AM的最 小值是 类型二线段和的最小值问题 模型展示 (1)“两定点十一动点”型线段和最小问题 问题：如图，两定，点A,B位于直线同侧，在直线 【针对训练】 l上找一点P,使PA十PB的值最小 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=24,BD 作点B关于直线L的对称点B' 连接AB,与直线1交于点P =10,点E,F分别是边AB,BC的中点，点P B 在AC上运动，在运动过程中，存在PE十PF 解决思路：将两定，点由同侧转化为异侧，作点B 的最小值，则这个最小值是 关于直线l的对称点B',连接AB,与直线1的交，点 即为点P (2)“一定点十两动点”型线段和最小问题 问题：如图，点P是∠AOB内一 点，在OA上找一点M,在OB上找一 第3题图 第4题图 点N,使△PMN周长的值最小. 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°， 解决思路：作，点P关于OB的对 点P,Q分别是BC,BD上的动点，则CQ+ 称点P1,关于OA的对称点P2,连接PP2交OA于点 PQ的最小值为 M,交OB于点N,则点M,N即为所求， 69八年级数学·下册 综合与实践（二）设计校园停车位 【背景材料】“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学 校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供 一个增设停车位的方案. 素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32m,宽14m. 素材2： 停车位布置方式 垂直停车位 倾斜停车位 00g 示意图 车位标准尺寸 长6m,宽2.5m 倾斜线长6m,倾斜线之间的距离为2.5m 通道 通道宽度不小于3.5m 任务1兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位.垂直停车位如图1，AB⊥AD, CD⊥AD,AB=CD;倾斜停车位如图2，EG=FH,∠G=120°，∠H=60°.请分别判断所设计的两种 停车位的形状，并选择一种说明理由. 图1 图2 任务2为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多 的设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考 数据：√3≈1.73) 助学助教优质高数70