21 回归教材专题(2) 中点四边形问题&数学活动(3) 矩形中的折叠模型-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

回归教材专题（二） 一教材P87 解题技巧 顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形 叫作中点四边形，中，点四边形的形状只与原四边形的 对角线的位置关系和数量关系有关，与原四边形的形 状无关.通常情况下，判定中点四边形的形状要抓住 两个关键点：①三角形中位线定理的应用；②原四边 形两条对角线的数量关系和位置关系，若原四边形的 对角线相等，则中，点四边形是菱形；若原四边形对角 线互相垂直，则中点四边形是矩形，反之，亦成立： 类型一确定中点四边形的形状 1.如图，点E,F,G,H分别是 四边形ABCD边AB,BC, CD,DA的中点，则下列说 法： B ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若AC=BD,则四边形EFGH是正方形； ④若AC与BD互相垂直且相等，则四边形 EFGH是正方形.其中正确的是 () A.③ B.④ C.①② D.②④ 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 于O,且AC=BD,点E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是 正方形 67八年级数学·下册 中点四边形问题 复习题T10的变式与拓展 类型二由中点四边形的形状确定原四边形的形状 3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得 到四边形EFGH,要使四边形EFGH是矩 形，应添加条件 () A.AB∥CD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB-DC G D E B 第3题图 第4题图 4.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 BC,AC,AD,BD的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足 的条件是 类型三运用中点四边形计算 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD =8,点E,F,G,H分别是各边中点，则四边 形EFGH的面积是 G B 第5题图 第6题图 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E, F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则 四边形EFGH的周长等于 数学活动（三） 类型 图示 模型解读 条件：将矩形ABCD沿对角 基 线AC折叠，得到△AEC. 本 结论：①△AEC≌△ABC △AEF≌△CDF;②AC垂 型 直平分BE;③△AFC是等 腰三角形，AF=CF 条件：将矩形ABCD折叠， 使点B的对应点E恰好落 变 在边AD上. 形 结论：①△CBF≌△CEF; ②CF垂直平分BE;③△CBE 是等腰三角形，CB=CE, 条件：将矩形ABCD折叠，使 G 变 AB落在对角线AC上.结论： 形 ①△ABE≌△AFE;②AE垂 二 直平分BF;③△AEG是等腰 三角形，AG=EG 条件：将矩形ABCD折叠，使 点B与点D重合，结论：①四 变 边形DGEF与四边形BAEF 形 全等，△DGE≌△DCF:②EF 三 垂直平分BD;③△DEF是 等腰三角形，DE=DF! 遇折叠，得全等，将折叠前后的线段转移，集 基本 中在一个直角三角形中，利用勾股定理列方 方法 程求解 【对点训练】 1.如图，在矩形ABCD中，E为 DC边上一点，把△ADE沿AE 翻折，使点D恰好落在BC边上 的点F处，AB=23,AD=4,则EC的长为 A.23 3 B.1 D.√3 矩形中的折叠模型 2.如图，在矩形纸片ABCD A 中，已知AD=8,折叠纸片 使点B落在对角线AC上 R 的点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的 长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重 合，折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE= 3,BF=1,则AC的长为 () A.26 B.2√2 C.√6 D.4√6 E BX 第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边 OB,OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在 BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰 好落在边OB上的点E处，若OA=8,OB= 10,则点D的坐标是 5.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10, 将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处， 若EA'的延长线恰好过点C,则BE的值为 第5题图 第6题图 6.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠， AE,EF为折痕，AB=√3，∠BAE=30°.折叠 后，点B落在EC1边上的点B,处，点C落在 AD边上的点C1处，则BC的长为· 助学助散优质高数68OE,OA=2AC,OE=EF,∴AC=ER.菱形AECF是正方形.9.B10.D 11.212.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.∠B=∠D,AB=BC=DC=AD. E,F分别为AB.AD的中点BE=?AB,DF=号AD.BE=DF.△BCE≌ △DCF(SAS).(2)解：当ABBC时，四边形AEOF是正方形.理由如下：.E,O F分别为AB,AC,AD的中点，∴.易得AE=OE=OF=AF,OE∥BC.,∴.四边形AE OF是菱形.，AB⊥BC,OE∥BC,.OE⊥AB.,,∠AEO=90°.，∴.菱形AEOF是正方 形.13.(1)证明：作EM⊥BC于M,ENCD于N,则四边形EMCN是矩形， ∠MEN=90°.·点E是正方形ABCD对角线上的点，.EM=EN.四边形DEFG 是矩形，∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN=∠MEF=90°一∠FEN.在△DEN和△FEM (∠DNE=∠FME=90°， 中，EN=EM, .△DEN≌△FEM(ASA).∴.EF=DE.四边形 ∠DEN=∠FEM, DEFG是矩形，∴.矩形DEFG是正方形；(2)解：CE⊥CG,理由如下：，四边形 DEFG和四边形ABCD都是正方形，∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∠CDG+∠CDE= ∠ADE+∠CDE=90°..∠CDG=∠ADE.在△ADE和 AD=CD. △CDG中，∠ADE=∠CDG,∴.△ADE≌△CDG(SAS)..∴.∠CAD=∠DCG=45° DE-DG ∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°.∴.CE⊥CG;(3)解：由(2)知，△ADE ≌△CDG,.∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√2AB=√2XW2=2. 模型构建专题（三）与正方形有关的几种几何模型 1.解：BE=AF.理由如下：四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90°= ∠D.∴.∠BAG+∠EAG=90°..AF BE,,∴.∠BGA=90°=∠ABG+∠BAG.,. ∠ABG=∠EAG.∴.△ABE≌△DAF.∴.BE=AF.2.(1)证明：如图1中，，四边 形ABCD是正方形，.∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD..'BF⊥AE,∴.∠AMF 90°..∠AFB十∠DAE=∠AED十∠DAE=90°，，∠AFB=∠AED.又∠BAF= ∠ADE,AB=AD,∴.△ABF≌△DAE(AAS).∴.BF=AE;(2)结论：PQ=AE.理 由：如图2中，AE⊥BF,PQ⊥AE,∠ANP=∠AMF=90°..BF∥PQ.:四边 形ABCD是正方形，∴.AD∥BC..四边形BFPQ是平行四边形.，BF=PQ.BE =AE,∴.PQ=AE.(3)连接PE.:四边形ABCD是正方形，AB=AD=8.PD =3,∴.PA=AD-DP=8-3=5.,PQ⊥AE,AN=NE,.PA=PE=5..'∠D= 90°，∴.DE=√PE-PD=√52-32=4..AE=√AD+DE=√82+4=4V5, .PQ=AE=4W5.3.(1)= (2)44.95.(1)证明：.四边形ABCD是正 方形，.AB=DA,∠BAD=90°.：BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠DGA=90°.∴ ∠ABF+∠BAF=90°.，∠BAF+∠DAG=90°，∴.∠ABF=∠DAG.∴.△ABF≌ ADAG..BF=AG.AF=DG..AF=AG+GF=BF+GF,..DG=BF+GF;(2) 解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=10,∠ABC=90°，，点E是BC的中点， BE=2BC=5.在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=V10+F=5V5.:BFLAE, SaE=ZAE·BF=号AB·BE∴BF=AB:BE-10X5 AE 5√/5 =2√5.在Rt△ABF中， AF=/AB-BF=/10-(2√5)2=45.由(1)可知：DG=AF=45,AG=BF= 2√5，∴.GF=AF-AG=2√5.在Rt△DGF中，DF=DG+GF= √/(45)2+(25)2=10.6.证明：在AB上截取BM=BE,连接ME.,·正方形 ABCD,.AB=BC,∠BCD=∠B=90°.BM=BE,∴.∠BME=∠BEM=45°. CF平分∠DCG,·∠FCG=2∠DCG=45°.∴∠AME=∠ECF=135°.：∠AEF= ∠B=90°，∴.∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=90°.∴.∠CEF=∠MAE..AB BC,BM=BE,.∴.AM=EC..△AME≌△ECF(ASA).∴.AE=EF.7.证明：过点 F作FH⊥BC,交BC的延长线于点H.:∠AEF=90°，∴∠AEB十∠FEH=90°.： ∠ABE=90°，.∠AEB+∠BAE=90°..∠BAE=∠FEH.又AE=EF,∠ABE= ∠EHF,.△ABE≌△EHF.∴.BE=HF,AB=EH=BC..BC-EC=EH-EC,即 BE=CH.∴.HF=CH..∠HCF=∠HFC=45°，∠DCF=45°..CF是正方形AB CD外角的平分线.8.解：延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.,四边形ABCD 是正方形，，.AB=AD,∠ABE=∠D=∠BAD=90°..∴.∠ABG=∠ABE=∠D 90..△ABG≌△ADF(SAS)..AG=AF,∠BAG=∠DAF.:∠DAF+∠BAE= 90°-45°=45°，∴.∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°.∴.∠EAG=∠EAF.又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG=BE+BG=BE+DF.设正方形的边长为x, 则CE=x-3,DF=x-4.∴.EF=BE+DF=x-1.在Rt△CEF中，CE+CF= EF2,∴.（x一3)十4=(x-1).∴.x=6..正方形的边长为6. 回归教材专题（二）中点四边形问题 1.B2.证明：设EF交BD于M,EH交AC于N.,AC⊥BD,∴.∠AOB=∠AOD =90°.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，.EF∥AC,EH∥BD,EF= 2AC=GH,EH=2BD=FG.又AC=BD,.EF=GH=EH=FG.∴四边形EF GH是菱形..·EF∥AC,EH∥BD,,.∠EMO=∠AOD=90°，∠ENO=∠AOD= 90°.∴.∠FEH=360°一90°×3=90°.又菱形EFGH,,.菱形EFGH是正方形.3.C 4.AB=CD5.126.20 数学活动（三）矩形中的折叠模型 1.A2.D3.A4.(10,3)5.456.3 难点强化专题（二）特殊四边形中线段的最值问题（选用） 1.32.1.2【例】解：连接BN,连接BM交AC于N',连接DN'..四边形ABCD 是正方形，.点B与点D关于直线AC对称..DN=BN..DN+MN=BN+MN ∴.当B,N,M共线，即N与N'重合时，DN+MN有最小值，BM的长即为DN+MN 的最小值.CD=4,DM=1,.CM=CD-DM=4-1=3.在Rt△BCM中，BM √BC+C=√4+3=5.故DN+MN的最小值是5.3.134.√2 综合与实践（二）设计校园停车位 解：任务1：图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，理由如下：在 图1中，AB⊥AD,CD⊥AD,.AB∥CD..AB=CD,.四边形ABCD是平行四边 形.，AB⊥AD,.∠BAD=90°..平行四边形ABCD是矩形；在图2中，∠G 120°，∠H=60°，，∴.∠G+∠H=180°，.EG∥FH,,EG=FH,,∴.四边形EFHG是 平行四边形.∴.图1中停车位的形状是矩形，图2中停车位的形状是平行四边形：任 务2：①设置垂直停车位时，，空地长32m,宽14m,垂直停车位长6m,宽2.5m,通 道宽度不小于3.5m,∴.14÷2.5=5.6，即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5 个.又32÷(6十3.5)≈3（列），即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列，∴.当设 置垂直停车位时，最多可以设置5×3=15（个）；②设置倾斜停车位 时，过点G作GP⊥FH于P,过点H作HQ⊥EF交EF的延长线于 Q,如图所示：：四边形EFHG为平行四边形，倾斜线长6m,倾斜线 之间的距离为2.5m.∴.HF=GE=6m,GH=EF,GH∥EQ,GP=2. 5m.∴.∠HFQ=∠GHF=60°.在Rt△HFQ中，∠FHQ=90° ∠HFQ=30°，∴.FQ=。HF=3m,由勾股定理，得HQ=/HF-FQ=3√3≈3× 1.73=5.19(m).在Rt△GHP中，∠HGP=90°-∠GHF=30°，∴.GH=2HP,由勾 股定理，得GH-HP=GP,即(2HP)-Hp=2.53.HP=53 6 (m).∴.GH= 2HP=5y3≈5×1.73≈2.88(m..每行设置的停车们位是：(32-3)÷2.88≈ 10(个).5.19十3.5十5.19=13.88<14，.可以设置两行倾斜停车位，共有10×2 20(个).答：学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位， 第二十一章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】解：(1)720°(2)，AF∥BE,∠A=110°，.∠ABE=180°-110°=70°.. ∠ABC=100°，.∴.∠CBE=100°-70°=30°..DE∥AB,∴.∠BED=∠ABE=70°.又 CD∥BE,∴.∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°，∠D=180°-∠BED=180°-70 =110°.(3)360【例2】(1)证明：F是CD的中点，.CF=DF.CE∥AB交BF 延长线于点E,∴.∠CEF=∠DBF,∠ECF=∠CDB..△CEF≌△DBF(AAS); (2)证明：由(1)得△CEF≌△DBF,∴.CE=DB.,∠ACB=90°，D是斜边AB的中 点，.CD=DB=AD..CE=AD.又CE∥AD,.四边形ADCE是平行四边形. CD=AD,∴.平行四边形ADCE是菱形；(3)解：连接DE,则DE⊥AC.BC⊥AC DE∥BC,CE∥DB,.四边形BCED是平行四边形.∴.DE=BC=4.:S菱形cE= 2×4AC=6,…AC=3.∴AB=V√AC+BC=V3+4=5.∴.AB的长是5；(4) 当AC=BC时，四边形ADCE是正方形.理由如下：：AC=BC,D是AB的中点， ∠ADC=90°.由(2)知四边形ADCE是菱形，∴.菱形ADCE是正方形. 考点过关 1.C2.B3.D4.C5.C6.67.C8.D9.(1)证明：点O,D分别是边 AB,BC的中点，∴.OD是△ABC的中位线..OD∥AC.AE∥BC,.四边形AEDC 是平行四边形.∴AE=CD.点D是边BC的中点，∴.BD=CD.∴.AE=BD..四边 形AEBD是平行四边形：(2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下： AB=AC,点D是BC边上的中点，∴.AD⊥BC..∠ADB=90°.由(1)可知，四边形 AEBD是平行四边形，∴.平行四边形AEBD是矩形.10.A11.C12.4√313.5 14.70°15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC,BC∥AD..∠ADE ∠CBF..DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS)；(2)解：连接AC交BD于点O., 四边形ABCD是正方形，BD=10,AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=AC..OA= OC-OB=OD=2BD=5.:DE-BF,OF=OE.·四边形AECF为平行四边形。 又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形.，四边形AECF的周长为4AF=434,∴.AF =/34.在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF=√AF2-OA2=W/(/34)-5=3. EF=2OF=6,即EF的长为6.16.解：(1)PE=PCPE⊥PC(2)CE=√2PA.理 由如下：由(I)知，PE=PC,PE⊥PC,△PEC是等腰直角三角形..CE=√2PE, PA=PE,..CE=2PA.(3)CE-PA.