精品解析：湖南长沙市浏阳市2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

浏阳市2026年上学期期中质量监测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知的三条边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在下图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简 的结果为_______． 12. 已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 14. 如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为______________． 15. 古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为_____________． 16. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 计算下方图形中的值． 19. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，点F在边上，且．求证：． 20. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 21. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 22. 如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求直线，之间的距离； （3）求直线，之间的距离． 23. 如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的面积； （3）若，，连接，求线段的长． 24. 矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． 　 （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ； （2）当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （3）观察图3和图4，①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′=x，当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形． 25. 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： （1）的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． （2）若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； （3）实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浏阳市2026年上学期期中质量监测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义． ∴被开方数满足． 解得． 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足三个条件：1被开方数不含分数；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式；3分数中，分母不能还有根号，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B选项：，被开方数含分数，不是最简二次根式； C选项：，满足最简二次根式的三个条件，是最简二次根式； D选项：，分母含根号，不是最简二次根式． 3. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故正确． 4. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 5. 如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 6. 如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， ， 故点表示的数为， 故选：D． 7. 已知的三条边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理进行逐项判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：，且 ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：∵，， ， ∴ 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：∵， ∴ 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交边于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在下图的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，设，，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∵点D在直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 10. 如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【详解】解：①如图所示， 根据勾股定理得； ②如图所示， 根据勾股定理得； ③如图所示， 根据勾股定理得； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简 的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的面积为40，一条对角线长为10， ∴另一条对角线的长为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由、坐标求得，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为和， ，， ． 14. 如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义和性质，正多边形的内角和定理，正多边形的外角和定理，正确理解正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的每个外角都相等求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：是正六边形的外角， 是正五边形的外角， ， ， 故答案为：． 15. 古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的海伦公式，将的边长代入计算即可． 【详解】解：若一个三角形的三边长分别为2，3，4， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 16. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，，，则的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用三角形中位线定理可得，进而可得答案． 【详解】解：∵D为中点，，， ∴， ∵为的中位线，， ∴， ∴， 故答案为：1.5． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 计算下方图形中的值． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形的内角和为360°即可列出关于x的等式，解出x即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 19. 如图，四边形是平行四边形，点E在边上，点F在边上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质获取全等三角形的判定条件．依据平行四边形性质得，；结合已知，用证；由全等三角形对应边相等得． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ （平行四边形对边相等，对角相等）． ∵（已知）， 在 和 中，， ∴． ∴（全等三角形对应边相等）． 20. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 21. 已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，． ∴． 【小问2详解】 解：，由完全平方公式可得：． 【小问3详解】 解：，由平方差公式可得：． 22. 如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求直线，之间的距离； （3）求直线，之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． （3）过点作于点，进而根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 即，之间的距离为． 23. 如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的面积； （3）若，，连接，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）由是等边三角形，，可得，根据四边形是平行四边形，进而可得，即可证明平行四边形是矩形． （2）根据四边形是矩形，利用勾股定理即可求解； （3）作的延长线于点H．证明四边形是平行四边形．得，根据，得，进而可得，， 用勾股定理即可求解。 【小问1详解】 证明：是等边三角形，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形． ． 在中， ， ∴． 【小问3详解】 解：作的延长线于点H． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ， ，， ∴，， ∴， ∴． ． 24. 矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． 　 （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ； （2）当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （3）观察图3和图4，①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′=x，当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形． 【答案】（1）5；（2）；（3）见解析；3≤x≤5. 【解析】 【分析】（1）由于矩形对折，于是EF=AD=5； （2）根据折叠的性质得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C=4，设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）2+12=t2，解得t=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF； （3）①根据折叠的性质得到EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF=∠AFE，则有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根据菱形的判定即可得到结论； ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形. 【详解】解：（1）当A′与B重合时，如图1， 把矩形对折，所以EF=AD=5． 故答案为：5； （2）如图2， DC=AB=3，A′F=AD=5， 在Rt△A′CF中，A′C= ， 设AE=t，则BE=3-t，EA′=t， 在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1， ∵BE2+BA′2=EA′2， ∴（3-t）2+12=t2，解得t=， 在Rt△AEF中，AE=，AF=5， ∴EF=； （3）①如图4， ∵△AEF沿EF折叠到△A′EF， ∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AF∥EC， ∴∠A′EF=∠AFE， ∴∠A′FE=∠A′EF， ∴A′E=A′F， ∴AE=EA′=A′F=FA， ∴四边形AEA′F是菱形； ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3； 当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5， 四边形AEA′F是菱形， 故答案为：3≤x≤5. 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质． 25. 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： （1）的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． （2）若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； （3）实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】（1）； （2）或3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是； 【小问2详解】 解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或3． 【小问3详解】 解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∵ ∴、， 两式相减，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴的“整数区间”是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $