10.1计数原理讲义——2027届高三数学一轮复习

第一节　计数原理

知识清单

1.两个计数原理

(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．

(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．

2．排列与组合的概念

3.排列数与组合数

(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____________的个数，用符号________表示．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____________的个数，用符号________表示．

4．排列数、组合数的公式及性质

【常用结论】

　排列数、组合数常用公式

＝.

.

(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.

.

＋＋…＋＋＝.

自主诊断

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(　　)

(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)

(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)

(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)

2．(人教A版选修三P6例5改编)给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给________个程序模块命名．

3．(人教A版选修三P20T3改编)一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则共有________种不同的停放方法．

4．(人教A版选修三P26T3改编)壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各一张，一共可以组成________种币值．

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命题点一　两个计数原理的应用

例1 (1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　)

A．48个    B．52个

C．60个    D．120个

(2)

有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同区域)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方法有(　　)

A．48种    B．64种

C．96种    D．144种

(3)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

学霸笔记：(1)一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．

(2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．

(3)对于较复杂的两个原理综合应用问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．

　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P12T8(1)改编)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是(　　)

A．12    B．24

C．64    D．81

(2)(衔接·人教A版选修三P27T17改编)如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法．

命题点二　排列问题

例2 (1)(2026·大连一模)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100 m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有(　　)

A．8种     B．14种

C．18种     D．24种

(2)(链接·2022年新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)

A．12种    B．24种

C．36种    D．48种

(3)(2026·佛山模拟)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有(　　)

A．120种     B．144种